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FundamentalsofFuturesandOptionsMarkets 7thEd Ch1 Copyright JohnC Hull2010 期权定价 1 主要内容 期权价值的构成 内在价值与时间价值期权价格的影响因素 影响方向 期权价格的上限与下限看涨期权与看跌期权的平价关系二叉树模型B S期权定价模型期权价格敏感性指标 影响程度 作业 假设与符号 假设不存在交易成本 所有交易盈利都适用同一税率 投资者进行无风险借贷或者投资的利率是一样的 符号St 当期t股票价格K 施权价格T 期权到期的时点t 当期时点ST 时点T的股票价格r 无风险利率 股票收益率波动的标准差c C 欧式及美式看涨期权价格p P 欧式及美式看跌期权价格D 期权期限内股息在t时的贴现值 期权价值的构成 内在价值与时间价值 期权价值PVt取决于以下两个方面PV 内在价值IV 时间价值TV内在价值IV 只有实值期权的内在价值大于零 在履行期权合约时可获得的总利润 当处于虚值为0对于看涨期权 IV Max 0 St K 对于看跌期权 IV Max 0 K St 严格地讲 应该把收益折现到目前时刻t时间价值TV为期权合约剩余有效期可能带来的期权增值而付的期权费 其与剩余有效期成正比 与未来价格波动成正比 期权价格的影响因素 影响方向 哪些因素会影响期权价格呢 除期权的供求关系外 影响期权内在价值及时间价值的因素影响期权价格的因素影响持有者现在的收益及未来可能增值水平的所有因素标的资产市场价格St 执行价格K 资产收益 分派股息 标的资产未来价格波动率 剩余有效期 T t 无风险利率r 现货价格St与执行价格K 期权内在价值 对于看涨期权 IV Max 0 St K 对于看跌期权 IV Max 0 K St 现货价格对于看涨期权来说 现货价格越高 到期时盈利的可能数额也就越高 因而期权价格就越高 对于看跌期权来说 现货价格越高 到期时盈利的可能数额也就越低 因而期权价格越低 执行价格对于看涨期权来说 施权价越高 到期时的盈利空间越低 从而期权价格越低 对于看跌期权来说 施权价越高 到期时的盈利空间越高 从而期权价格越高 标的资产收益 如派发股息 标的资产将支付股息将使资产价格如何变化 资产价格将下降资产价格下降怎样影响期权的价格呢 对于看涨期权来说 期权获利能力变弱 期权价格降低 对于看跌期权来说 期权获利能力变强 期权价格提升 标的资产未来价格波动率与剩余有效期 T t 标的资产未来价格波动率期权的特点在于以较低的价格规避了不利风险 同时保留了有利风险 不管是对于哪一种期权来说 价格波动性越剧烈 盈利的可能性就越高 期权价格也越高 剩余有效期 T t 对于欧式期权来说 由于施行期权的时点是唯一 因此期限越长对期权的拥有者来说不一定越好 比如在T1之后 T2 看涨期权标的物资产价格明显下降 对于美式期权来说 在到期之间随时可以执行期权 因此期限越长意味着选择越多 对期权的拥有者越有利 无风险利率r 无风险利率1无风险利率提升时 投资者要求的投资收益更高 现货价格如何变化 现货价格变小 这使看涨期权价值下降 使看跌期权价值上升2无风险利率越高 收到的将来现金流贴现值也越低协议价的折现值变小 这使看涨期权价值上升 使看跌期权价值下降3两种因素综合 得出无风险利率与期权价格的关系一般情况下 贴现效应大于预期收益效应当无风险利率上升时 看涨期权价格上升 而看跌期权价格下降 影响期权价格的因素 期权价格的上限与下限 欧式与美式看涨期权上限欧式与美式看跌期权上限套利原则 成本与无风险收益成正比 欧式与美式看涨期权下限欧式与美式看跌期权下限 期权价格的上限与下限的理解 商品价格的上限是多少 消费者愿意接受的最高价为其带来的最大效用 或购买其它商品的成本商品价格的下限是多少 生产者愿意接受的最低价生产商品的所有成本 期权上下限的总结 以欧式为主 看涨期权多头的最大利润 看涨期权空头的最大损失MAX ST Ke r T t 0 看涨期权的上下限上限 S S 下限 S Ke r T t MAX S Ke r T t S K 看跌期权多头的最大利润 看涨期权空头的最大损失MAX Ke r T t ST 0 看跌期权的上下限上限 Ke r T t K 下限 Ke r T t S MAX Ke r T t S K S 看涨期权价格的上限 欧式 美式都适用 看涨期权多头可以花S持有股票到期 也可以用c C 购买看涨期权 如果期权费高于S 直接持有股票到期最经济 因此只有c S C S 才能吸引期权购买者如何理解上限S近似理解为多头 需求方 的最大效用当c S C S 如何套利呢卖出一个看涨期权 收入c C 买入一个现货 支出S到时至少还收获K 看跌期权价格的上限 欧式 美式都适用 看跌期权的价值 PV 施权价 PV 股票价格 p Ke r T t P K 如何理解上限Ke r T t K 近似理解为多头 需求方 的最大效用当p Ke r T t P K 如何套利呢卖出一个看跌期权 收入p P 到时最多支出K 分析思路 在无套利情况下 两个投资组合的收益与成本应该保持一致 收益高的组合 理应成本高成本高的组合 理应收益高成本相等 理应收益相等收益相等 理应成本相等否则 以上均存在套利空间套利策略 借入效率低的组合后卖掉 买入效率高的组合获得收益后 还借入的低效率组合或直接卖掉已拥有的效率低的组合 买入效率高的组合 欧式 美式 看涨期权的下限 两个资产组合 锁定未来拥有一个股票的价格 组合A 一个欧式看涨期权多头 期权到期时K收入的零息债券多头组合B 买入欧式看涨期权对应的股票到期时组合A的价值Max StK 组合B的价值St 无套利情况下 组合A的成本 组合B的成本c Ke r T t S 从而 c S Ke r T t 怎么理解下限max S Ke r T t 0 近似看成看涨期权空头的提供期权产品的净成本美式看涨期权的下限max S Ke r T t 0 C c S Ke r T t C S K S Ke r T t S K 欧式美式看涨期权下限 套利例子 假设股票A现价20元 某欧式看涨期权施权价为18元 离到期还有一年时间 期间无股息 无风险利率为10 问该看涨期权的最低价格是多少 假如该期权目前报价3 00元 你将如何操作进行套利 该看涨期权的价值下限为S Ke r T t 20 18e 0 1 1 3 71报价低于价值下限 即cK思路借入股票后卖掉 获得S 20 元 买入看涨期权 支出c 3 元 并将S c 17 元按无风险利率借贷出去 收益大于到期时股票最高购买价K 若对于美式看涨期权 当c K S 如何套利呢 借入股票卖掉 同时买入美式看涨期权 马上以最多K购入股票 欧式美式看跌期权的下限 两个资产组合 锁定未来卖出一个股票的价格 组合C 一个欧式看跌期权多头 买入期权对应的股票组合D 期权到期时有K收入的零息债券到期时组合C的价值Max StK 组合D的价值K无套利情况下 组合A的成本 组合B的成本p S Ke r T t p Ke r T t S如何理解下限max Ke r T t S 0 近似看成看跌期权空头的提供期权产品的净成本美式看跌期权的下限max K S 0 P p Ke r T t S P K S K S Ke r T t S 欧式美式看跌期权下限 套利例子 假设股票A现价20元 某欧式看跌期权施权价为24元 离到期还有一年时间 无风险利率为10 问该看跌期权的最低价格是多少 假如该期权目前报价1 00元 你将如何操作进行套利 该看涨期权的价值下限为Ke r T t S 24e 0 1 20 1 71报价低于价值下限 即p Ke r T t Sp S Ke r T t p S er T t K思路借入p S 21 购买股票和看跌期权 期权到期时卖出股票收益至少为K 24 只需还 p S er T t 若美式看跌期权的市场价p 其下限K S时 如何套利 思路借入p S 21 购买股票和看跌期权 马上卖出至少获利K24 看跌 看涨平价关系式 欧式期权 两个资产组合组合A 一个欧式看涨期权多头 期权到期时K收入的零息债券多头组合C 一个欧式看跌期权多头 买入期权对应的股票到期时如果ST K 则组合A和组合B的价值均为ST如果ST K 则组合A和组合B的价值均为K无套利情况下 组合A的成本 组合c的成本c Ke r T t p S如果股票在持有期有股息现值I组合A中的零息债券变为到期时有 K Ier T t 收入c Ke r T t I p S 复合证券 持有期间无股息时 无套利时的平价关系c Ke r T t p S平价关系的变形c p S Ke r T t p c Ke r T t SS c Ke r T t pKe r T t p S cS c Ke r T t p 平价关系应用一 如c p S Ke r T t 间接计算期权 标现货及无风险证券的合理价格 成本 平价关系应用二 分解组合从而复制 如S c Ke r T t p 等式右边表示 存入Ke r T t 做空看跌期权 组合的成本等式左边表示 做多现货 做空看涨期权 组合的成本可以证明二者的到期时损益一样 移项相当于在基础公式两边加减同样的成本 也相当于在策略A与B的基础上增加同一个投资品 最终的收益当然一样 看跌 看涨平价关系式 欧式期权 套利例子一 某股票现价为20元 施权价为21元 离到期尚有一年的欧式看涨和看跌期权价格分别为3 00元和1 00元 无风险利率为10 问以上数据是否符合期权平价公式 如果不是 你将如何进行套利 组合A成本c Ke r T t 3 00 20e 0 1 21 10组合B成本p S 1 20 21 组合A成本大于组合B套利策略c Ke r T t p S p S c er T t K 大收小支法1卖出看涨期权收获c 再借入Ke r T t 用p S买入看跌期权和股票 到期时支出与收益相同 法2卖掉股票和看跌期权 购买看涨期权 余下的钱购买无风险证券 到期最多花K买入股票归还 看跌 看涨平价关系式 欧式期权 套利例子二 某股票现价为20元 施权价为20元 离到期尚有一年的欧式看涨和看跌期权价格分别为2 00元和1 00元 无风险利率为10 问以上数据是否符合期权平价公式 如果不是 你将如何进行套利 组合A成本c Ke r T t D 2 00 20e 0 1 20 10组合B成本p S 20 1 00 21 00 组合A成本小于组合B套利策略 c Ke r T t K同前例子一 看跌 看涨平价关系式 美式期权 没有股息时 可以证明S K C P S Ke r T t 期权定价 思路利用期权与现货构造一个未来收益为常数的无风险投资组合 在无套利的情况下 该投资组合的收益率为市场无风险收益率 如何说明投资组合未来收益函数 sT T 为常数 二叉树 未来收益为离散函数 各情况下收益相等 B S 未来收益为连续函数 收益关于sT的偏导为0欧式与美式期权定价先讲且主要讲欧式期权现货期权与期货期权定价先讲且主要讲现货期权 二叉树定价 主要以股票期权为例 未来收益为常数的证券组合收益率欧式期权二叉树定价 N 2 对风险中性世界相关概念的理解和应用多步欧式期权二叉树定价 N 2 相关参数的求解其它标的物期权定价美式期权二叉树定价定价 未来收益为常数的证券组合收益 现在用S购买一个证券组合 未来T时刻的证券组合收益在任何情况下均为常数Sc 请问该证券组合的合理收益率应该是多少应该是无风险利率 否则存在套利空间1在同样收益下 用低效率策略借钱 用部分钱做多高效率的组合 未来以高效率组合的收益抵消低效率策略的支出2以低效率借钱 用在高效率上 未来以高效率部分收益归还低效率借钱成本如何构造无风险收益证券组合 在未来每一种情况下证券组合的收益均相等例子 D为多少时 组合 D股股票多头 1看涨期权空头 才是无风险收益证券组合呢 假设各证券收益均服从两点分布 此时一份期权只包括一股股票 美式期权二叉树定价 对于看涨看跌均成立 D可正可负 股票当前价格为21美元 2年后股价要么23美元 要么18美元 无风险利率为8 请问行使价格为22美元的期限为2年后的美式式看涨期权的当前价格f是多少 到期日的内在价值等于期权价格 美式期权可以到期前在任意时刻行权 在二叉树假设下 美式期权除了和欧式一样在到期时行权 价值同欧式期权 也可以在签定合约时马上行权 MAX 0 S0 K 美式期权的价值就是这两类选择价值的最大值 本题中到期行权价值为前面中的欧式期权价格f0 马上行权的价值为0 所以该美式期权价格为f0 欧式期权二叉树定价 对于看涨看跌均成立 D可正可负 股票当前价格为S 21 美元 T时后 2年后 股价要么Su 23 美元 此时期权价格为 u 要么Sd 18 美元 此时期权价格为 d 无风险利率为r 8 请期限为T的欧式期权的当前价格f是多少 方法1构造无风险收益组合 D股股票多头 1期权空头SuD u SdD d 2无风险收益组合的收益率等于无风险利率 SD f erT SdD d f FundamentalsofFuturesandOptionsMarkets 7thEd Ch1 Copyright JohnC Hull2010 对风险中性世界相关概念的理解和应用 对于二叉树定价公式的理解风险中性世界中 任何证券或组合价格要么以概率p上升为S0u 要么以概率1 p下降到S0d 可证其预期收益率为无风险收益率应用先用无风险收益组合中的标的价格求p 再求f例子 用期权标的物 股票 32 FundamentalsofFuturesandOptionsMarkets 7thEd Ch1 Copyright JohnC Hull2010 增加二叉树的时间步数 一步二叉树的不足只利用了现在与到期时 对冲时 的数据 精确度不高 尤其是离到期或对冲较远时 到期时只有两个情境 与现实差异大 多步二叉树 到期时3个以上的情境 把期权的期限分割成N段 N 1 从前往后 第i段有至多2i个二叉树 从后往前依次计算各段的期权价格 二步二叉树例子股票当前价格为21美元 1年后股价要么23美元 要么18美元 如果1年后股价为23 18 美元 2年后股价要么25 23 美元 要么17 15 美元 无风险利率为8 请问行使价格为22美元的期限为2年的欧式看涨期权的当前价格f是多少 33 多步欧式期权二叉树定价 一般 三步为例 其它类似 Sf Sufu Sdfd Suufuu Sddfdd Sudfud 从最后的节点往前按单步二叉树计算 34 看跌期权的定价与套利 股票当前价格为21美元 3个月后股价要么23美元 fu 要么18美元 fd 无风险利率为8 请问行使价格为22美元的期限为3个月后的欧式看跌期权的当前价格f是多少 到期日的内在价值等于期权价格 法一 构造无风险组合计算D股股票多头 1份看跌期权空头 D为负 法二 看涨看跌平价公式c Ke r T t p S法三 期权期望值的无风险折现方法若该期权市场价f f0 如何套利呢 组合的收益率大于无风险收益率 用无风险收益率借入资金21D f0 做多N份 1 组合成本 到期时一份组合的收益刚好用于还本付息 若该期权市场价f1 组合成本 到期时一份组合的收益刚好用于还本付息 若该期权市场价f f0 如何套利呢 组合的收益率小于无风险收益率 做空组合收益21D f 全部存在银行 到期存款的本息大于做多组合的成本 Delta的本质及各步Delta计算 Delta的本质1期权的短头寸方为了实现无风险组合而买入股票的数量2股票期权价格的变化与标的股票价格变化之比 采用期权与股票进行无风险对冲时 应该从左到右顺时计算并调整组合中所持股票数量 Delta的本质及各步Delta计算 动态Delta对冲 股票当前价格为21美元 1年后股价要么23美元 要么18美元 如果1年后股价为23 18 美元 2年后股价要么25 23 美元 要么17 15 美元 无风险利率为8 如何实现组合无风险收益呢 现在的DeltaD0 fu fd 23 18 1年后的Delta1年后股价为23美元时 D1 fuu fud 25 17 1年后股价为18美元时 D1 fdu fdd 23 15 若D1 D0 则增加D1 D0份股票 减少D0 D1 u d p的计算 其它标的物期权定价 有股息的股票期权定价股指期权定价外汇期权定价期货期权定价思路先利用标的物求p 再利用p及r对未来期权期望折现1与无股息股票相比 有股息股息 股指 外汇的购买成本为S I或Se qDt2与无股息股票相比 期货期权相对现货期权在期初 购买标的物的购买成本为0 在期货的 购买成本 为Fe rDt Dt为期权的期限 而非期货的期限 期货式期权 期权期货 定价 思路本质上是期货 定价与期货一致不过此时S为期货到期时交割的期权在此时的价格这个期权价格用一般的期权定价公式可得 美式期权二叉树定价 以两步 每个步长1年 K 52的美式看跌期权为例 同时与欧式比较 从树图的最后末端向开始的起点倒推计算 在每个节点检验提前执行是否最佳 决定行使时间从左到右 在树的底部期 到期日 权价格为欧式期权价格 在较早节点 期权价格为以下数量的最大值 此时假设只能在开始 中间及到期时行权 由方程式求出的值 买卖期权市场价 提前执行所得的收益 行权收益 从上到下 现货市价 期权市场价 提前行权收益 505 0892 601 414 8 409 46312 720 3220 484 41 B S定价 未来价格连续的无限步二叉树方法 即IN sT 为正态分布 二叉树的不足及与B S定价的关系B S的假设几种不同情况下的B S期权定价公式对B S期权定价公式的理解 二叉树的不足及与B S定价的关系 二叉树定价的不足其假设未来资产价格分布为有限离散 不符合事实 利用的信息较少 定价不够准确 尤其对于美式期权定价 美式期权只能在离散点行权 B S定价与二叉树定价的关系1B S假设未来资产价格变动符合几何布朗运动 B S定价是二叉树定价中未来情境数及步数取无穷大的极限值2B S定价与二叉数定价类似采取构造无风险证券组合 再利用无风险证券组合收益率为无风险利率进行求解 B S的假设 除加粗部分外 其它都是二叉树定价的假设 期权的标的股票为一有风险的资产 其现行价格为S 这种资产可以卖空 期权是欧式期权 其执行价格为K 期权期限为T 以年表示 在期权到期日之前 标的股票无任何收益 如股息 利息等 的支付 于是 标的股票价格的变动是连续的 且是均匀的 既无跳空上涨 也无跳空下跌 B S的假设 存在一个固定的无风险利率 投资者可以以此利率无限制的借入或贷出资金 不存在影响收益的任何外部因素 如税负 交易成本及保证金等 于是 标的股票持有者的收益仅来源于价格的变动 标的股票价格的波动率为一已知常数 标的股票价格的变动符合 和 为常数的几何布朗运动 8 期权 衍生品 价格只受现货价格st和t决定 隐含假设 2020 1 16 几何布朗运动 维纳过程 满足下列两个性质的随机变量Wt服从维纳过程 也称为标准布朗运动 Brownianmotion 性质1在短时间 t内 变量 W为 其中 性质2在任意不同短时间内 变量 W相互独立 46 44 2020 1 16 性质1表明变量 W本身也服从正态分布 即 性质2说明Wt服从马尔科夫随机过程 不难证明 在一个较长时间内 变量W也服从正态分布 其中 47 44 广义的几何布朗运动 伊藤过程 及股价变动分布 广义几何布朗运动伊藤过程假设未来股价满足以下伊藤过程 表示收益率的期望的标准差 8 期权 衍生品 价格只受现货价格st和t决定 隐含假设 二叉树定价与B S定价思路对比 股票当前价格为S 21 美元 T时后 2年后 股价要么Su 23 美元 此时期权价格为 u 要么Sd 18 美元 此时期权价格为 d 无风险利率为r 8 请期限为T的欧式期权的当前价格f是多少 方法1构造无风险收益组合 D股股票多头 1期权空头SuD u SdD d 2无风险收益组合的收益率等于无风险利率 SD f erT SdD d f B S定价思路 衍生品价值V V S t 构造无风险投资组合F V S 收益率应该为无风险收益率r下面求解dF把dF F代入 得B S M微分方程关于t S求定积分可得B S定价公式 几种不同情况下的期权定价模型 现货欧式看涨期权的定价模型其中 几种不同情况下的期权定价模型 期货欧式看涨期权的定价模型其中 T为期权到期日距今剩余时间 而非期货到期日 几种不同情况下的期权定价模型 欧式看跌期权的定价模型现货欧式看跌期权价格的布莱克 斯科尔斯模型 期货欧式看跌期权价格的布莱克 斯科尔斯模型 如何获得B S期权定价公式的参数 知道所有参数可以求期权价格标的资产市场价格 执行价格 到期时间 无风险利率和资产价格波动率除资产价格波动率外 其它数值容易获得资产价格波动率1历史波动率 历史收益率的标准差 In si si 1 近似收益率 计算出方差年方差 方差 365 数据周期2隐含波动率 利用相同标的期权相关数据和定价公式反求示的波动率 对B S期权定价公式的理解 期权价格及投资组合价格风险期权价格未来可能会发生变化哪些因素会导致未来期权价格变化 标的资产市场价格 执行价格 到期时间 无风险利率和资产价格波动率这些因素对期权价格的影响方向这些因素对期权价格的影响程度金融期权价格敏感性指标 期权价格敏感性指标 影响程度 Delta 或 Gamma 或 Theta Vega 或 Rho Delta中性 Ga