2012矩阵论B标准(或参考)答案及评分标准.pdf

附件 2 标 准 或参考 答 案 及 评 分 标 准 课程编号 003203 课程名称 矩阵论 B 一 填空题 每题 3 分 共 30 分 1 在 3 F x中 由基底 2 1 xx到基底 2 1 1 1 xx 的过渡矩阵为 答案 001 012 111 2 设 2 3 C 的子空间 0 00 yz Ax y z x y zC x 则A的一组基底为 答案 001011 100000 3 设 H AA 12 n 是矩阵A的特征值 则 2 2 mA 答案 2 1 n i i 4 设 3 V为三维酉空间 123 为 3 V的一组标准正交基 3 x yV 且 123 1 26xi 123 1 3 yi 则x与y的内积 x y 答案 2 5 设 3100 4100 0021 0010 A 则A的若当标准形J 答案 1 11 1 11 第 页 6 设 4 3 2 1 1001 0210 0120 1001 xA则 F A 2 A Ax 答案 14 2 A 3 Ax 8 7 设 011 1 901 1 AB 则 A B 的所有互异特征值是 答案 0 6 6 8 设 0 k k A 为矩阵级数 其中 11 63 41 36 A 则 A 0 k k A 和S 答案 5 6 52 2 853 9 设 3 3 sin sin t t ett A t tte 则 1 0 A t dt 答案 3 3 11 1 cos1 1 32 11 cos1 1 1 23 e e 10 设 R2按照某种内积构成欧式空间 它的两组基为 12 11 11 和 12 06 212 且 i 与 j 的内积为 1112 1 15 21 1 22 3 则 21 的度量矩阵 为 答案 21 12 二 计算题 55分 1 10分 已知矩阵空间 2 2 R 的线性变换T将 2 2 R 的基 1234 10111111 00001011 AAAA 变换为基 1234 01101111 11110110 BBBB 1 分别求T在基 下的矩阵A和基 下的矩阵B 2 求 R T和 N T的维数 解 1 取 2 2 R 的简单基为 11122122 EEEE 则有 1234111221221 A A A AEEEEC 1234111221222 B B B BEEEEC 其中 12 11110111 01111011 00111101 00011110 CC 设 12341234 B B B BA A A A C 则 1 12 1100 0110 0011 1110 CC C 于是 123412341234 TA A A AB B B BA A A A C 则AC 123412341234 TB B B BTA A A ACB B B BC 则BC 6 分 2 因为det 30C 所以 dim 4R TrankC 2 分 dim 0N T 2 分 2 8分 若 1111 1001 0110 A 求齐次线性方程组AX 的解空间 N A的正交补 解 对A坐初等行变换 11111001 10010110 01100000 A 得到 N A的一组基 12 1001 0110 TT 4 分 设 1234 xxxxxNA 则 12 0 0 TT xx 解得 12 1001 0110 TT 3 分 所以 12 NAL 1 分 3 10 分 已知二次型 21 2 3 2 2 2 1321 1 22 1 1 xxaxxaxaxxxf 的秩为 2 1 求a的值 2 求正交变换Qyx 化 321 xxxf为标准形 解 1 二次型的矩阵 110 110 002 aa Aaa 的秩 2 所以04 aA 从而0 a 2 分 2 2 110 110 2 002 EA A的特征值 2 21 0 3 1 分 方程组0 1 XAE 的基础解系为 T 0 1 1 1 T 1 0 0 2 正交 方程组0 3 XAE 的基础解系为 T 0 1 1 3 3 分 单位化 321 得到 T e 0 1 1 2 1 1 T e 1 0 0 2 T e 0 1 1 2 1 3 2 分 取 321 eeeQ 1 分 则正交变换Qyx 化 321 xxxf为标准形 2 3 2 2 2 1321 022 yyyxxxf 1 分 4 10 分 设矩阵 211 212 112 A 求A的若当标准型J 并求相似变换矩阵T 使得 1 TATJ 解 2 1 1 1 EA 则A的初等因子为 2 1 1 2 分 则A的若当标准型为 100 011 001 J 1 分 设相似变换矩阵为T 则 1 ATJT 即 123123 100 011 001 ATA t ttt tt 则有 11 22 323 Att Att Attt 1 分 解方程 111111 222000 111000 AE 基础解系为 12 11 1 0 01 2 分 取 12 11211221 2 1 1 0 kk ttkkk k 1 分 将 2 t代入方程 32 AE tt 增广阵为 1212 1122112 212 111111 2220002 1110002 kkkk AEkkkkk kkk 当 12 2 1kk 时方程有解 1 分 于是 2 1 2 1 t 再求方程的一个特解 3 1 0 0 t 1 分 则 111 020 110 T 且 1 ATJT 1 分 5 10分 求矩阵 111 242 335 A 的谱分解 解 2 111211211 242042042 335235024 2 6 EA 故A的特征值为 123 2 6 2分 当2 时 求得特征向量为 12 11 1 0 01 当6 时 求得特征向量为 3 1 2 3 所以 1 1 1232 3 111 222 111 331 102 444 013 111 444 PP 4分 取 1 112 2 511 111444 11 111 222 10 331222 01 331 444 444 H 2分 取 233 111 444 1 111111 2 444222 3 333 444 H 2分 则 12 26AHH 6 7 分 设 12 T n x ijn n Aa 为是对称阵 12 T n b 为n维向 量 c为常数 求 TT f xx Axb xc 对x的导数 解 2 TT df xd x Axd b xdc Axb dxdxdxdx 7 分 三 证明题 1 10分 设 12 m n n AC 则 1 12 n R Aspan 2 dim R ArankA 3 dim dim R AN An 证明 1 12 nn n R AAx xCy yx xC 1122 n nn y yxxxxC 12 n span 4分 2 由 12 n R Aspan 再由定理知 12 12 dim dim n n R Aspan rankrankA 3分 3 由于 N A 是方程组 0Ax 的解空间 所以dim N AnrankA 所以由 2 dim N AnrankR A 即dim dim R AN An 3分 2 证明 5分 对任意 m n ij m n AaC 规定 max max Mij i j Am na 证明 MA是 m n C 上的一种矩阵范数 且它与向量1范数相容 证明 1 若0A 则 0 M A 若0A 则 max max 0 Mij i j Am na 正定性成 立 1分 2 对任意的kC 有 max max max max ijij MM i ji j kAm nkakm nakA 1分 3 对任意的 n l BC 有 max max max max max max max ijij M i j ijij i j ijij MM i ji j ABm nab m nab m nabAB 1分 4 对任意的 n l BC 有 1 max max max max max max max max max n ikkj M i j k ikkj i k