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线性代数在企业与天文模型的应用1企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设x1为煤矿本周内的总产值，x2为电厂本周的总产值，x3为铁路本周内的总产值，则 （4.1）即即矩阵A称为直接消耗矩阵，X称为产出向量，Y称为需求向量，则方程组（4.1）为即， （4.2）其中矩阵E为单位矩阵，（E-A）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设D=（1，1，1）C.矩阵B称为完全消耗矩阵，它与矩阵A一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D称为总投入向量，它的元素是矩阵C的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C，向量Y，X和D，可得投入产出分析表4.1. 表4.1 投入产出分析表 单位：元煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿电厂铁路总投入计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量X，于是可计算矩阵C和向量D，计算结果如表4.2. 表4.2 投入产出计算结果 单位：元煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿036505.9615581.5150000102087.48电厂25521.872808.152833.002500056163.02铁路25521.872808.150028330.02总投入51043.7442122.2718414.522 小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.49597871011m）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1 坐标数据x1x2x3x4x5X坐标5.7646.2866.7597.1687.408y1y2y3y4y5Y坐标0.6481.2021.8232.5263.360由Kepler（开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为.问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x1, y1）, （x2, y2）, （x3, y3）, （x4, y4）, （x5, y5）.由Kepler第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为.为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴和短半轴计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长.根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:所以,椭圆长半轴:;椭圆短半轴: ;椭圆半焦矩:.计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵使用计算机可求得从而的特征值于