函数的奇偶性与周期性检测题.doc

函数的奇偶性与周期性检测题一、选择题（每小题5分，共50分）1 已知函数yf(x)是定义在R上的任意不恒为零的函数，则下列判断：f(|x|)为偶函数；f(x)f(x)为非奇非偶函数；f(x)f(x)为奇函数；f(x)2为偶函数其中正确判断的个数有()A1个 B2个 C3个 D4个解析 对于，用x代替x，得f(|x|)f(|x|)，所以正确；对于，用x代替x，得f(x)f(x)f(x)f(x)，所以错误；对于，用x代替x，得f(x)f(x)f(x)f(x)，所以正确；易知错误答案B2已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为 ()A1 B0 C1 D2解析(构造法)构造函数f(x)sin x，则有f(x2)sinsin xf(x)，所以f(x)sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)sin 30，故选B.答案B3定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x2)，当x3,5时，f(x)2|x4|，则下列不等式一定成立的是 ()Aff Bf(sin 1)f(cos 1)Cf(sin 2)解析当x1,1时，x43,5，由f(x)f(x2)f(x4)2|x44|2|x|，显然当x1,0时，f(x)为增函数；当x0,1时，f(x)为减函数，cos，sin ，又f（-）f（）f（），所以ff 答案A4已知函数f(x)则该函数是 ()A偶函数，且单调递增 B偶函数，且单调递减C奇函数，且单调递增 D奇函数，且单调递减解析当x0时，f(x)2x1f(x)；当x0时，f(x)12(x)12xf(x)当x0时，f(0)0，故f(x)为奇函数，且f(x)12x在0，)上为增函数，f(x)2x1在(，0)上为增函数，又x0时12x0，x0时2x1时由f(x)=得2x-1=x=.故当x0时不等式f(x-1)的解为x.则由f(x)为偶函数知当x0时是单调函数，则满足f(2x)f（）的所有x之和为_解析 f(x)是偶函数，f(2x)f（），f(|2x|)f），又f(x)在(0，)上为单调函数，|2x|，即2x或2x，整理得2x27x10或2x29x10，设方程2x27x10的两根为x1，x2，方程2x29x10的两根为x3，x4.则(x1x2)(x3x4)8.答案 814设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时f(x)，则2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3,4)时，f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_解析由已知条件：f(x2)f(x)，则yf(x)是以2为周期的周期函数，正确；当1x0时0x1，f(x)f(x)1x，函数yf(x)的图象如图所示：当3x4时，1x40，f(x)f(x4)x3，因此正确不正确答案15. f(x)是定义在R上不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x+2)=(x+2)f(x),则f(2015)=_解析：由xf(x+2)=(x+2)f(x)得=，令g(x）=，则g(x+2)=g(x)所以g(x)是周期为2的周期函数，所以f(2015)=f(1).令x=-1,则=，因为f(x)是偶函数，所以f(-1)=f(1),从而得f(1)=0,所以f(2015)=0三、解答题16(12分）已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)yf(x)xf(y)(1)求f(1)，f(1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)yf(x)xf(y)，所以令xy1，得f(1)0，令xy1，得f(1)0.(2)令y1，有f(x)f(x)xf(1)，代入f(1)0得f(x)f(x)，所以f(x)是(，)上的奇函数17（13分已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值(1)证明令xy0，知f(0)0；再令yx，则f(0)f(x)f(x)0，所以f(x)为奇函数(2)解任取x1x2，则x2x10，所以f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，所以f(x)为减函数而f(3)f(21)f(2)f(1)3f(1)6，f(3)f(3)6.所以f(x)maxf(3)6，f(x)minf(3)6.18.（14分）设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(，)内函数f(x)的单调增(或减)区间解析 (1)由f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得：f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)故知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.(3)函数f(x)的单调递增区间为4k1,4k1(kZ)，单调递减区间4k1,4k3(kZ)19（16分）已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x2)f(x)(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)x，求使f(x)在0,2 014上的所有x的个数(1)证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数(2)解当0x1时，f(x)x，设1x0，则0x1，f(x)(x)x.f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)x，即f(x)x.故f(x)x(1x1)又设1x3，则1x21，f(x2)(x2)又f(x)是以4为周期的周期函数f(x