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增补运动公理 落实变换教学210013江苏教育学院数学系 章飞章飞（1970- ），男，江苏如皋人，硕士，江苏教育学院数学系副教授，义务教育课程标准实验教科书数学7-9年级（北师大版）分册主编，时代数学学习（教研版）主编，主要从事中学数学课程与教学研究。摘 要：义务教育阶段加强几何变换教学具有现实意义；几何变换的教学遭遇尴尬境地；建议课程标准增加运动公理。关键词：课程标准，变换，运动公理现行义务教育课程标准，在空间与图形部分加强了几何变换的教学地位和容量。那么，这样设计的原因何在？具体实施状况如何？如何适时完善（调整）以促进课程目标更好地达成，成为课程设计者亟待思考的话题。1可爱的变换变换，学生并不陌生。生活中随处可见各种运动变化，如汽车的行驶、门窗的推移、人体的各种运动等，这些都可以看作一个几何变换，它们构成了学生的现实生活经验基础。同时，对于变换，学生也不乏活动经验。从幼儿时期开始，他们就进行了大量的搭积木、拼图等游戏活动，这些活动，一方面发展了学生的空间想象能力，同时也是学生感受变换的一个好的活动机会。在拼摆活动中，小孩常常拿着图片不停地摆弄，其中就涉及到平移、旋转、反射等变换，并能初步感受到这些变换的本质与差别（如学生可能有这样的经验，无论如何移动和旋转某个图片都无法放到目标位置，而只有翻折过来才能完成任务）。因此，学习变换，学生有基础。其次，变换学习对于学生的未来发展具有重要意义。变换，在后续的数学学习、研究中，在学生未来的生活、工作中，都具有广泛的运用。如高中阶段将学习矩阵与变换，大学将学习拉普拉斯变换等，而工程运用上，操控机器人的运动、计算机中各种图形的运动，需要将这些运动用相应的数学表示出来，这些都离不开变换，医院所使用的CT机就利用了数学上的拉东变换等。因而，变换具有发展性。此外，初中阶段学习变换，还有助于发展学生的几何直觉、有助于几何结论的探索。笔者对现行课程标准中圆的有关结论进行过这样的尝试，发现：借助变换的有关知识，可以十分便捷地研究初中阶段关于圆的几乎所有定理；而且借助几何变换，既降低了问题的难度，也提升了学生对圆的理解水平1。变换，“前”有坚实的基础，“后”有持续的发展，“现”有充实的研究内容，并有助于其他内容的学习，实为难得的极好学习材料！因此，初中阶段学习“图形与变换”的有关内容是必要的、可行的，也得到了广大教师的认可。2尴尬的变换虽然多数教师认为，几何变换有助于发展学生的几何直觉、有助于几何图形性质的探索、有助于具体几何问题的解决，在初中阶段学习变换是必要可行的。但具体教学实践中，笔者发现，很多教师并没有真正重视几何变换的教学。原因何在呢？笔者访谈发现，很多教师反映：变换固然可以促进图形的认识，但课程标准中没有将变换的有关结论作为基本的几何事实（公理），而且课程标准最终是要求学生能基于课程标准所罗列的那些公理进行严格的几何证明的，这样，不管前面借助变换探索图形性质多么方便，最终仍然要落实到严格证明而以变换为依据的证明是不严格的、“不合法”的（至少现行课程标准没有明确其合法性）；各种学业考试中，借助变换进行证明是难能得到认可的。为此，教师们认为，日常教学不敢强化变换的工具作用，否则学生形成了以变换探索几何图形性质的思维定势，中考中习惯于利用变换解决问题，对于学生的“发展”可能是适得其反（至少从考试这个角度看）。基于这样的心理，教师自然难以重视变换的教学，变换的教学遭遇这样一个尴尬的境地。3初步设想面对尴尬的境地，如何应对，是摆在课程设计人员面前的一个现实问题。笔者认为，初中阶段舍弃变换有关内容的学习，无疑有点“因噎废食”了；我们需要设法将变换的工具作用合法化，鼓励教师、学生利用变换探索图形的性质，利用变换解决具体的问题！为此，我们需要在公理系统中寻求变换的位置。平面几何公理体系，历史上较多使用建立在全等（合同）基础上的欧几里德公理体系。在原有欧几里德公理体系中，要促使教师认识到：变换的逻辑正确性，放手让学生使用变换，必须对变换有关结论进行严格的证明。这样设计无疑有点“舍近求远”了，如，对于“平移前后的对应线段相等”，需要借助平行四边形的性质与判别定理，证明平移前后的线段可以形成一个平行四边形，利用平行四边形的性质得出对应线段平行且相等，这样相对比较繁琐；同时，势必将变换的学习放到平行四边形的学习之后，借助变换发现有关图形性质的教学目标就难以实现了，变换的工具作用难以实现。这可能有违于设计者的初衷，也难能达成变换学习的目标，与其如此，毋宁舍去不学了。与欧几里德公理系统完全对等的，也可以由运动出发建立我们熟悉的平面几何系统2。如果以此作为初中阶段几何学习内隐的主线，变换自然就成为几何学习的基础，这样，可以较好地利用学生的活动经验和生活经验，发挥变换的工具作用。但这个体系同样存在许多值得商榷的地方：如，是否要介绍各种运动之间的内在联系、有关运动的公理群？利用合同公理可以便捷解决的问题（如三角形全等的判别）在该系统中是否还可以便捷的获得（实际上，在操作层面上，运动十分直观形象，但以运动的观点研究一个具体的静态几何图形，相对于以静止的合同公理为基础的欧氏系统而言，学生是有一定困难的）？此外，这样的课程设计，概念体系将面临巨大变化，如平行四边形的概念，可能就不再如果去那样“两组对边分别平行的四边形了”，而需要借助于运动得到，在当前教师培训难以到位的状况下，这样的变动是十分冒险的。看来，两种体系各有优势。除了非此即彼的选择外，我们可以尝试，兼容并蓄，兼顾两者的优势，形成新的便于教学的公理体系。具体的，笔者建议，在现行课程标准中增加一个关于变换的公理：平移、旋转、反射变换前后的图形全等。平面几何有关知识内容的展开顺序可以如下：（1）基本的平面图形（包括线、角以及平行、相交等简单位置关系）-(2)全等图形（包括全等图形的概念与性质、三角形全等的判别）-(3)各种变换的概念、性质、运用以及图形变换下的对称性（轴对称、中心对称、旋转对称等）-(4)以合同公理和运动公理为基础进行一些图形性质的探索（如借助反射研究等腰三角形，借助平移、旋转研究平行四边形，借助反射、旋转研究圆）。当然，具体教材设计可以有多样的选择，如可以在(3)的基础上展开（4）的研究，也可以分散学习（3）中各个变换，每学习一个变换，相应地利用该变换研究一些相关图形的性质。可能有研究者认为，兼具合同公理和运动公理，破坏了公理体系的独立性。确实，独立性、完备性、相容性是数学科学建立公理体系的三个基本原则。但作为义务教育阶段课程内容的数学公理体系，应有别于作为科学的数学公理体系。作为课程教学内容的公理体系，首要原则是相容性原则，这是保证其科学性的基础，运动公理与合同公理的相容性是数学界公认的事实；而完备性和独立性从来不是作为教学任务的课程体系的必然要求，相反设计课程体系时，往往更多考虑学生学习的便利与效率，针对学生的学力水平，可能会采用扩大了的公理体系，如原来的大纲教材中“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”、“平面内经过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线”等本身都是定理，由于考虑到学生学力状况，将其默认为公理了，学生也没有提出疑问。可能有研究者认为，如果同时认可运动公理和合同公理，在感受公理化过程中，学生可能会发现两者之间并不独立，这个问题如何处理。笔者认为，如果确有部分学生发现两者之间不独立，这是值得我们庆欣的。此外，笔者认为，对义务教育阶段的学生而言，感受公理化的要求偏高3。当然，这只是笔者个人的一些设想，具体设计还有待多方实验与验证，课程改革的顺利推进需要大胆的设想与切实的实验支撑。参考文献：1 章飞 利用几何变换探索圆有关性质的一些尝试，时代数学学（教研版）2005年第7、8合期P45-46。2 F.克莱因（德）著 舒湘芹等译 高观点下的初等数学（第二卷.几何）P203-266 湖北教育出版社，1989年11月。3 章飞 初中阶段几何改革的争议分析与策略思考，时代数学学（教研版）2005年第9、10合期P44-46。为了便于说明观点，笔者将前期发表的两篇文章附上，供评阅：利用几何变换探索圆有关性质的一些尝试章飞几何变换，在现实生活中具有广泛的应用，学生对此具有比较好的生活经验基础；同时几何变换也有助于发现有关几何事实。因此，现行一些课程标准实验教科书较早地引入了平移、旋转、反射等几何变换，以期以变换为工具进行几何图形性质的探索。当然，教学实施中，如何更好地发挥几何变换的作用，还有待于广大老师实践探索。下面笔者权且抛砖引玉，给出借助几何变换研究圆有关性质的几个案例。1 观察图1，由其轴对称性可以比较方便地探究垂径定理及其有关逆定理。2 观察图2，在直线的平移过程中，整个图形的轴对称性没有发生变化，而且对称轴也保持不变。在画出其对称轴后，可以引导学生发现切线的性质（切线与过切点的直径垂直）以及直线与圆位置关系的判别方法（比较圆心到直线的具体与半径的大小）。3 固定圆O1，在平移圆O2的过程中，整个图形是否仍然保持轴对称，其对称轴如何？通过这个问题的思考，学生可以十分自然地得到连心线（连心线所在直线就是对称轴），从而得到两圆位置关系的判别方法。4 当然，利用圆的轴对称性，还可以帮助学生解决一些问题。如图4，ABCD，图形是否轴对称，连接A、B、C、D四点，你能得到哪些结论？如果学生得到了AC=BD，还可以研究其的逆问题：如图5，AC=BD，图形是否是对称图形，连接A、B、C、D四点，你又能得到哪些结论？当然，图5中弦AC、BD不交，如果它们相交，则成为图6的情形。这时是否仍有相同的结论呢？图4图5 图65 借助旋转、平移可以得到等弧所对的圆心角相等、等弦对等弧、等弧对等弦。6 图7中两圆相切，过切点的两直线与圆分别相交于A1、B1、A2、B2，借助位似有关知识可以很快判别图中图77两圆相离时，两圆同样是位似的，位似中心是公切线的交点（O1O2所在直线上分O1、O2成的两点），如图8。据此可以便捷地得到切线长的计算方法，同样也可以以此作出公切线。8借助位似，还可以得到一些作图方法。如，要求过已知角O内部的一点A作一个圆，使它与角O的两边都相切。同时满足这两个条件比较困难，可以先作出满足其中一个条件(与两边都相切)的圆P,显然所作圆与圆P是位似的，连接OA,交圆P于B1、B2两点，图9作出了符合条件的一个圆（圆O1）事实上，借助变换的有关知识，可以研究初中阶段关于圆的几乎所有定理；而且借助几何变换，既降低了问题的难度，也提升了学生对圆的理解水平。想来，在其它几何图形性质研究中，也可以大量借助几何变换，权作抛砖引玉，希冀老师们多多探索、交流。初中阶段几何改革的争议分析与策略思考江苏教育学院数学系（210013） 章 飞2005年“两会”期间，姜伯驹院士等两会代表分别向政协、人大提交提案，建议教育部门立即修订义务教育数学课程标准，停止推行数学新课程标准。那么，新课程标准及其实施中到底出现了哪些问题，其根源何在，这些成为当前课程改革中亟待研究的问题。笔者根据数年来教科书编制的感受，从初中几何课程改革的角度谈些想法。1回顾与比较对于几何学习的内容和教学目标，九年制义务教育初级中学数学教学大纲（初审稿）明确指出：“几何课程是在小学学过的直观的几何初步知识的基础上，比较系统地研究基本的平面几何图形和进一步介绍一些直观的空间图形知识。本课程将严密的逻辑性和合理的直观性相结合，通过各种图形的概念、性质、作（画）图及运算等方面的教学，发展学生的运算能力、逻辑思维能力和空间观念，并使他们初步获得研究几何图形的基本方法”1P567。对于逻辑思维能力，大纲又作了进一步的阐述，“逐步培养学生会观察、分析、综合、比较、抽象和概括；能够运用归纳、演绎和类比的方法进行推理；逐步做到简明地阐述自己的思想和观点；注意培养良好的思维品质”1P523，并指出“数学教学中，发展逻辑思维能力是培养能力的核心”1P523。原来教学大纲也注意到归纳、类比等合情推理能力的发展，但由于在具体内容的学习中没有做出明确的要求，因此，教科书的编制和教学实施中，教师更多地关注结论及其证明过程（特别是形式化的表述），即更多关注的是“是什么”和“为什么”两个方面的问题；而较少关注“怎么想到研究该问题”、“如何获取这个结论”这两个问题，忽视学生具体知识结论的探究过程。这样，学生对几何的理解是难能全面的，学生的几何直觉发展相对缓慢；对部分学生而言，几何学大厦更多的是一些几何结论的堆砌，而教学中一些偏难怪题，也造成部分学生数学学习兴趣的下降。新课程标准调整了课程目标和具体教学内容：“本学段中，学生将探索基本图形（直线形、圆）的基本性质及其相互关系，进一步丰富对空间图形的认识和感受，学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念”。2P37对于推理与论证的学习，课程标准指出，可以从以下几个方面展开：“在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理的思考与表达；在积累了一定的活动经验与图形性质的基础上，从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想”。2P37通过上面的课程内容与课程目标的比较，可以发现，新课程标准增加了几何变换等学习内容；课程目标上，提高了空间观念的发展要求，明显加强了合情推理能力的发展和感受公理化的思想。2现状与根源和逻辑推理能力一样，合情推理能力是推理能力的重要组成部分，在科学研究和现实生活中，发挥着极为重要的作用；数学学习过程中，合情推理与逻辑推理往往协同作用。例如，对于“三角形的内角和定理”，可能需要学生根据现实背景思考为什么要研究三角形的内角和，如何研究？对于这个问题，学生最朴素的思路也许是测量，在一定的测量活动的基础上，学生可以发现：好像不同三角形的内角和大致相等，都在1800左右；在教师的指导下，学生可以形成猜想：三角形的内角和是1800；当然，猜测的结果未必可靠，需要对这个猜测进一步验证或者严格证明。由于1800是一个平角，验证时，可以引导学生将三角形的三个角集中到一起，看看是否组成一个平角，这就是所谓的拼接方法。借助拼接，学生会更为相信自己的猜测，但拼接也未必可靠，拼接后是否确实组成一个平角，仍是基于学生的观察，因此，还需要严格证明。但正是由于有了拼接的基础，严格证明思路的获得就显得水到渠成了，只要设法将三个角相对集中到一个顶点处即可。在这个活动过程中，测量基础上的归纳是合情的；拼接验证活动中，已经开始借助逻辑分析了；而后续的证明，自然是逻辑的，但其推理思路的获得则又直接借助于上面的猜测和验证活动。这样一个过程中，合情推理和逻辑推理协同作用，同时也让学生感受到各自的作用，感受到严格证明的必要性。因此，课程标准加强合情推理能力的发展，应是大家的共识，而非争议的焦点。事实上，对于合情推理，过去的大纲也有所提及，过去一些优秀教师也鼓励学生从事一定的探索活动。但由于大纲没有明确将其作为一个课程目标，多数教师认为教学的最终目标是定理的掌握与运用，所谓的探索活动是为定理的掌握服务的，是“可有可无”的。正是为了避免这种状况的再现，课程标准明确提出合情推理的要求，要求学生经历一些几何结论的探索与证明过程，也就是说将一些定理的探索过程本身也作为一个教学目标，“逼迫”教师引导学生从事这样的探索性活动。显然，加强合情推理能力的发展，并非争议的焦点。争议的焦点在于如何将合情推理与逻辑推理有机结合起来。正如上面所分析的，合情推理与逻辑推理往往协同作用，因而，两者是一个统一的整体，而非人为分裂的两个过程或部分。因此，某个阶段专事探索，过一个阶段进行证明，确有不妥之处。既然如此，现行很多教科书为什么选择了这种“先探索后证明”、“两阶段”的教材设计方式呢？笔者认为，这有必要重新审视几何教学的另一个教学目标：感受公理化。公理化思想，是理性精神的一个重要体现。但为了感受公理化过程，需要学生从大量几何事实中选择部分作为公理，并以此为基础推导其它几何事实。而选择的前提是存在，因此，教学中，经历“探索大量的几何事实”和“对大量几何事实的整理与公理化”两个阶段，就成为一种必然，也就是说，“两阶段”的教材设计是达成感受公理化这一课程目标的必然要求。需要说明的是，原有义务教育教科书，虽然也以公理为基础，推导出若干定理、推论等，但公理往往是分步呈现的，到了某个部分，相关的公理出场了，这样学生认识到的公理，更多的是“不证自明的”或者无法用前面定理证明的，可以随时增加进去的，这样很容易给学生一个错觉，后面遇到一个较难证明而又显然的结论，是否也可以增选为公理。因此，原来教科书难以让学生感受公理化的过程。此外，“两阶段”的教材设计，凸显了探索过程，“逼迫”教师加强探索过程的教学。因为，教科书某一部分只进行几何事实的探索，不要求严格证明，这样教师必须带领学生经历几何事实的探索过程，使得探索过程本身作为一个重要的课程目标得以较好的实现。从这些意义上讲，“两阶段”的教材设计，并没有降低要求，一定程度上反而提高了要求。可是，教学中，这样的预想并没有能得以较好地实现。由于教师培训不到位，一些教师甚至不知后面还有相关的证明；当然，多数老师了解后面还有证明，但难以认同这个做法；还有部分教师对中考改革心存顾虑。正由于上述诸多原因，多数教师直接将两个部分合二为一。这样，造成探索阶段课时不够，部分教师做加法，加班加点；部分教师做减法，删减了有关探索过程。而后面感受公理化阶段，由于前面已经进行了严格证明，再行证明自是重复，只能直接跳过去。这样预想的教学目标（感受公理化、凸显探索过程）没能较好实现，而且确实造成了一定的教学混乱。3 应对与展望面对现状，如何应对，是摆在一线教师和课程研制人员面前的一个现实问题。作为一线教师，笔者建议，仍然按照教科书的设计思路展开教学，否则，如上面所分析的，既造成了一定的教学混乱，又可能造成学生探索过程的缺失。当然，教学过程中要尽量规避或缩小这种教材设计与生俱来的缺点，为此，要注意：（1）探索阶段，要让学生亲身经历探索过程，并确信所探索结论的合理性。为此，需要进行必要的说理（这里的说理，也是一种证明，只是可能没有形式化的证明那么规范而已）。（2）感受公理化阶段，不能简单化地认为只是重复证明过去所发现的结论，否则学生会厌烦的；教学中，可以选择证明其中部分结论，而将其他结论放到课后让学生自行证明，这样可以减少知识不必要的重复；同时，课堂上关注所证明定理的变式训练，让学生感受到逻辑推理本身也具有一定的发现功能，实际上，这也是一种学法的训练。而课程研制人员，需要思考：（1）如何更好地实现现有的课程目标？在上面所分析的原因中，教师对教科书体系的不了解，只是前进中的一个小问题，可以通过教师培训相关活动而得以弥补，如在教师用书和教师培训活动中进一步明确，让刚开始接触新课程的教师对整个教科书体系有一个全貌性的认识，这并非难事；教师对于中考考查的担忧，也是难免的，但如果这样的目标定位是合适的，可以加强中考改革，通过中考内容的调整，引导教师的教学，也是能逐步为教师所接受的