2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念学案新人教B版.docx

21.1曲线与方程的概念学 习 目 标核 心 素 养1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念(重点、易混点)3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法.1.通过曲线与方程概念学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助数形结合理解曲线的方程和方程的曲线，提升学生的直观想象和逻辑推理素养.1曲线与方程的概念一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)0之间具有如下关系：曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)0的解；以方程F(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上那么，方程F(x，y)0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线思考1：如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上”，会出现什么情况？举例说明提示如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界如方程y表示的曲线是半圆，而非整圆思考2：如果曲线C的方程是F(x，y)0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？提示若点P在曲线C上，则F(x0，y0)0；若F(x0，y0)0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是F(x0，y0)0.2两条曲线的交点坐标曲线C1：F(x，y)0和曲线C2：G(x，y)0的交点坐标为方程组的实数解1方程xy2x2y2x所表示的曲线()A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称 D关于直线xy0对称C将(x，y)代入xy2x2y2x方程不变，故选C.2下列各组方程中表示相同曲线的是()Ax2y0与xy0B.0与x2y20Cylg x2与y2lg xDxy0与ylg 10x答案D3如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是()AB CD答案D曲线与方程的概念【例1】分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程xy0之间的关系解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2的解；但以方程|x|2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上因此，|x|2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy5；但以方程xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足xy0；反之，以方程xy0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是xy0.解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是真命题，下列命题中正确的是()A方程f(x，y)0的曲线是CB方程f(x，y)0的曲线不一定是CCf(x，y)0是曲线C的方程D以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上B“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”，但“以方程f(x，y)0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确2方程4x2y26x3y0表示的图形是()A直线2xy0B直线2xy30C直线2xy0或直线2xy30D直线2xy0和直线2xy30C方程可化为(2xy)(2xy3)0，即2xy0或2xy30.表示两条直线2xy0或2xy30.曲线与方程关系的应用【例2】已知方程x2(y1)210.(1)判断点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值解(1)12(21)210，()2(31)2610，点P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，点Q(，3)不在方程x2(y1)210表示的曲线上(2)点M在方程x2(y1)210表示的曲线上，x，ym适合上述方程，即2(m1)210，解得m2或m，m的值为2或.(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题3若曲线y2xy2xk0过点(a，a)(aR)，求k的取值范围解曲线y2xy2xk0过点(a，a)，a2a22ak0.k2a22a22.k，k的取值范围是.由方程判断其表示的曲线探究问题如何证明已知曲线C的方程是f(x，y)0?提示用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x，y)0，证明中分两个步骤：第一步，设M(x0，y0)是曲线C上任一点，证明(x0，y0)是方程f(x，y)0的解；第二步，设(x0，y0)是方程f(x，y)0的任一解，证明点M(x0，y0)在曲线C上【例3】方程(2x3y5)(1)0表示的曲线是什么？思路探究将方程转化为或10，再判断曲线形状解因为(2x3y5)(1)0，所以可得或者10，也就是2x3y50(x3)或者x4，故方程表示的曲线为一条射线2x3y50(x3)和一条直线x4.1(变换条件)把方程换成“21(2x3y5)0”，其表示什么曲线？ 解由21(2x3y5)0得2x3y50(x3)表示一条射线2(变换条件)把方程换成“(2x3y5)log2(x2y)30”，其表示什么曲线？解由(2x3y5)log2(x2y)30得或者x2y8，也就是2x3y50(x10)或者x2y8，故方程表示的曲线为一条射线2x3y50(x10)(去除端点)和一条直线x2y8.方程表示的曲线的判断步骤提醒：(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线(2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想1思考辨析(1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是yx.()(2)方程0表示直角坐标系中第一、三象限的角平分线()(3)条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”，条件乙：“曲线C是方程f(x，y)0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件()提示(1)(2)xy0表示直角坐标系中第一、三象限的角平分线(3)必要不充分条件2若P(2，3)在