北大随机过程课件：第 5 章 第 1 讲 高斯随机过程.pdf

1 高斯随机过程高斯随机过程 1 定义 定义 高斯过程 如果随机过程 Ttt 的有限维分布都是高斯分布 则称它为高斯随机过程或 正态过程 高斯过程是二阶矩过程的一个重要子类 复高斯过程 如果随机过程是一个复高斯过程 则在 n 个时刻抽样得到 n 个复随机变量 也就是 说 n 个时刻抽样组成了 2n 维实高斯分布随机矢量 宽平稳实高斯随机过程 如果随机过程 t 是宽平稳实高斯随机过程 它的均值是常数 相关函数仅与时 间差 ik tt 有关 不再单独依赖于 k t和 i t 随机过程 t 的一切有限维分布都不随 时间平移而改变 即 t 是严平稳随机过程 2 性质 性质 定理 1 若 2 1 n k nnn 为 k 维实高斯变量 均方收敛于 k 21 即对每个分量说有 kiE i n i n 1 0lim 2 则 也是高斯分布的随机矢 量 定理 2 若高斯过程 Ttt 是在 T 上均方可导的 则 Ttt 也是高斯过程 定理 3 若 Ttt 是在 T 上均方可积的高斯过程 则 t a duut Tta 及 b a duuthut Tba 也是高斯过程 2 结论 1 高斯随机过程可以用它的任意有限维分布来描述 高斯随机过程可以用它的均值和协方差矩阵来描述 研究高斯随机过程 就是研究它的均值和协方差函数 即均值和相关函数 结论 2 高斯随机过程经过任意一个线性系统 或线性运算 包括微分 积分 后 仍然是 一个高斯过程 它的统计特性完全可以用它的均值和协方差函数来描述 只要研究 它的均值和协方差函数 就研究了相应的高斯过程 3 高斯马尔可夫过程 高斯马尔可夫过程 定义 1 设有零均值实随机过程 t 它是高斯过程 又是马尔可夫过程 定理 1 对于高斯马尔可夫过程 有 cov 22 3221 3131 ttC ttCttC ttttC 证明 122312 11 12323 312 11 321112 23 31 32132131 32132131 31 3131 cov 121 23121 11223 321 321 dxdxttExxfxfx dxdxdxxxfxxxfxfx dxdxdxxfxxfxxfxx dxdxdxxxxfxx dxdxdxxxxfxx ttE ttttC 利用高斯分布的条件均值的表达式 有 2 22 23 2 22 23 23 x ttC ttC x ttE ttE ttE 于是有 3 12212 11 22 23 122 22 23 12 1131 121 121 dxdxxxxfxfx ttC ttC dxdxx ttC ttC xxfxfxttC 12112 12 22 23 112 dxdxxfxxfxx ttC ttC 22 3221 ttC ttCttC 定理 2 设 2 1 0 nn 为高斯分布平稳实随机序列 则 0 CanC n 0 0 C 1 0 an为 n 是马尔可夫过程的充分必要条件 证明 必要性的证明 t 是高斯马尔可夫过程 22 3221 31 ttC ttCttC ttC 设 321 ttt 有 0 2312 22 2312 13 C ttCttC ttC ttCttC ttC 设 1223 ttsttt 0 C tCsC stC 由此得到 0 1 1 C CnC nC n n a C C C C C nC C C C nC C nC 0 1 0 1 0 2 0 1 0 1 0 2 设 0 1 C C a 可以得到 0 CanC n 充分性的证明 4 如果有 0 CanC n 设 21 nnn 0 0 0 0 21 21 21 C nCnC nC C nC C nC aaa C nC nnn 即满足了马尔可夫条件 定理 3 设 t 是一个均方连续平稳实高斯分布的随机过程 C为其协方差函数 则 0 0 C eC a a tt 1020 tWtW 为 高斯分布的随机变量 其概率密度为 2 exp 2 1 12 2 12 1020 tt 1 2 10 1010101020 101010201020 t tWE tWtWEtWtWtWE tWtWtWtWEtWtWE 设0 21 tt 21020 ttWtWE 因此有 min 121020 tttWtWE 普通的维纳过程 定义 2 普通的维纳过程 如果 10 tWttW 则 ttWE 为常数称为偏 移系数 ttWEtDWtWD 2 2 0 2 0 2 2 为常数 称为过程的强度 tW的一维概率密度是 6 2 exp 2 1 2 2 2 0 现研究 t duu 0 的统计特性 均值 tt duuEduuE 00 0 相关函数 设0 12 tt 1 2 0 2 0 0 2 0 0 0 000 1 12 12 1221 t dudvvu dudvvuE dudvvuEdvvduuE t t t t t t ttt 设0 21 tt 2 2 00 21 tdvvduuE tt 7 因此有 21 2 00 min 21 ttdvvduuE tt t duu 0 是一个维纳过程 维纳过程的微分是一个白高斯噪声过程 白