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第二章 傅立叶变换分析方法1 引言系统(或信号)时域描述: 线性差分方程, 单位脉冲响应.频域描述: 傅立叶变换, Z变换.=时域特征 频域特征 滤波器频域特征 滤波后信号2 序列的傅立叶变换1. 定义: ;称为的傅立叶变换, 也称频谱函数.简记 =FTx(n); 注意1当定时,是n的序列,注意2 结果是的连续函数.2. 的FT存在 ;3. 傅立叶反变换:.简记 x(n)=IFT.4. 的幅频, 相频表示:例1 求的FT.解 , 例2 求的傅立叶变换.解 对任给一个, 有 当N=4时, 有当时的各点, 见右图.其值意义为:原序列在各数字频率上的分量.由于当时, 序列变化最剧烈,即数字频率最高值为.cos(npi)图: n=-3 -2 -1 0 1 2 3 4; stem(n,cos(n*pi);X(ejw)的程序计算说明: 对每个w有对各个有: %X(ejw)的作图xn=1 1 1 1; n=0:3;k=0:100; w=pi/50*k;xw=xn*(exp(-j*pi/50).(n*k);magx=abs(xw);magx2=magx,magx; w2=w-2*pi,w,; %拼成2piangx=angle(xw); angx2=angx,angx;%X(ejw)的幅频图subplot(2,1,1);plot(w2,magx2);%X(ejw)的相频图subplot(2,1,2);plot(w2,angx2); %也可直接作出Xw=0:2*pi/100:2*pi;plot(w,abs(sin(2*w)./sin(w/2);Warning: Divide by zero.3 序列的傅立叶变换性质1. 周期性 (关于w)2. 线性性设, ,则.().证 按定义即得.3. 时移,频移 设, 则;.证 由定义得(i) .(ii) .例1 求的FT.解 .4. 共轭对称(1) 时域上对称(关于n)(0) 称是对称序列: 若(i) 称是共轭对称序列: 若(ii) 称是共轭反对称序列: 若(2) 频域上对称(关于w)(i)称是共轭对称函数: 若;(ii)称是共轭反对称函数若;例2 分析的对称性.解 因, 故共轭对称.共轭对称序列的虚实分解: 实部偶+j虚部奇;由,得.共轭反对称序列的虚实分解: 实部奇+j虚部偶例3 分析对称性.解 = 共轭反对称, 实部奇, 虚部偶.(3) 实的FT为共轭对称(主要)设, 则(易得, 对纯的FT为共轭反对称) (4) 复序列的FT性质(介绍)设 作FT得时域中虚实分解=频域中共轭对称与反对称分解5. 时域卷积 (=频域乘积)前有 , 现有 令，得6. (时域乘积=)频域卷积设, 则有即 .7. 帕斯维尔(Parseval)(时频能量守恒).证 设 及,则有 .令,得.部分性质汇总在表2
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