（新课标）高考数学一轮复习 第三章 三角函数、三角恒等变换、解三角形 第8讲 解三角形应用举例习题.doc

2017高考数学一轮复习 第三章 三角函数、三角恒等变换、解三角形 第8讲 解三角形应用举例习题a组基础巩固一、选择题1若点a在点b的北偏西30，则点b在点a的()a北偏西30b.北偏西60c南偏东30d东偏南30答案c解析如图，点b在点a的南偏东30.2(2015湖南长沙一模)一学生在河岸紧靠河边笔直行走，经观察，在河对岸靠近河边有一参照物与学生前进方向成30角，学生前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75角，则河的宽度为()a50(1) mb.100(1) mc50 md100 m答案a解析如图所示，在abc中，bac30，acb753045，ab200.由正弦定得，得bc100，所以河的宽度为bcsin7510050(1)m.3如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头a出发匀速驶往河对岸的码头b.已知ab1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头a驶到码头b所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()a8 km/hb.6 km/hc2 km/hd10 km/h答案b解析设ab与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin，从而cos，所以由余弦定理得(v)2(2)212221，解得v6.选b.4(2015黑龙江哈尔滨模拟)如图，两座相距60 m的建筑物ab，cd的高度分别为20 m,50 m，bd为水平面，则从建筑物ab的顶端a看建筑物cd的张角为()a30b.45c60d75答案b解析依题意得ad20 m，ac30 m，又cd50 m，所以在acd中，由余弦定理，得coscad.又0cad180，所以cad45，所以从顶端a看建筑物cd的张角为45.5如图，一栋建筑物ab的高为(3010)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔cd.在它们之间的地面点m(b，m，d三点共线)处测得楼顶a，塔顶c的仰角分别是15和60，在楼顶a处测得塔顶c的仰角为30，则通信塔cd的高为()a30 mb.60 mc30 md40 m答案b解析如图，在rtabm中，am20 m.过点a作ancd于点n，易知manamb15，所以mac301545，又amc1801560105，从而acm30.在amc中，由正弦定理得，解得mc40 m，在rtcmd中，cd40sin6060 m，故通信塔cd的高为60 m.6一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达b处，在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是南偏东70，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b，c两点间的距离是()a10海里b.10海里c20海里d20海里答案a解析如图所示，易知，在abc中，ab20，cab30，acb45，根据正弦定理得，解得bc10(海里)二、填空题7在相距2千米的a，b两点处测量目标c，若cab75，cba60，则a，c两点之间的距离是_千米.答案解析如图所示，由题意知c45，由正弦定理得，ac.8已有a船在灯塔c北偏东80处，且a船到灯塔c的距离为2 km，b船在灯塔c北偏西40处，a、b两船间的距离为3 km，则b船到灯塔c的距离为_km.答案1解析如图，由题意可得，acb120，ac2，ab3.设bcx，则由余弦定理可得：ab2bc2ac22bcaccos120，即3222x222xcos120，整理得x22x5，解得x1(另一解为负值舍掉)9一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔p的南偏西75且距灯塔68海里的m处，下午2时到达这座灯塔东南方向的n处，则这只船的航行速度为_.答案(海里/小时)解析如图所示，在pmn中，mn34，v(海里/小时)10如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为_m(取1.4，1.7)答案2 650解析如图，作cd垂直于ab的延长线于点d，由题意知a15，dbc45，acb30，ab5042021 000(m)又在abc中，bcsin1510 500()cdad，cdbcsindbc10 500()10 500(1)7 350.故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m)三、解答题11在斜度一定的山坡上的一点a测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15，如图所示，向山顶前进100 m后，又从b点测得斜率为45，设建筑物的高为50 m求此山对于地平面的斜度的余弦值.答案1解析在abc中，bac15，cba18045135，所以acb30.又ab100 m，由正弦定理，得，即bc.在bcd中，因为cd50，bc，cbd45，cdb90，由正弦定理，得，解得cos1.因此，山对于地平面的斜度的余弦值为1.12在海岸a处，发现北偏东45方向，距a处(1)n mile的b处有一艘走私船，在a处北偏西75的方向，距离a处2n mile的c处的缉私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船此时，走私船正以10n mile/h的速度从b处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？答案东偏北30方向分析本例考查正弦、余弦定量的建模应用如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在d处相遇，则可先在abc中求出bc，再在bcd中求bcd.解析设缉私船用t h在d处追上走私船，则有cd10t，bd10t，在abc中，ab1，ac2，bac120，由余弦定理，得bc2ab2ac22abaccosbac(1)2222(1)2cos1206.bc.且sinabcsinbac.abc45.bc与正北方向垂直cbd9030120，在bcd中，由正弦定理，得sinbcd.bcd30.即缉私船沿东偏北30方向能最快追上走私船b组能力提升1一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点a测得水柱顶端的仰角为45，沿点a向北偏东30前进100 m到达点b，在b点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()a50 mb.100 mc120 md150 m答案a解析设水柱高度是h m，水柱底端为c，则在abc中，a60，ach，ab100，bch，根据余弦定理得(h)2h210022h100cos60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.2某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50秒，升旗手应以_(米/秒)的速度匀速升旗.答案0.6解析在bcd中，bdc45，cbd30，cd10，由正弦定理，得bc20.在rtabc中，abbcsin602030(米)所以升旗速度v0.6(米/秒)3如图，某人在垂直于水平地面abc的墙面前的点a处进行射击训练已知点a到墙面的距离为ab，某目标点p沿墙面上的射线cm移动，此人为了准确瞄准目标点p，需计算由点a观察点p的仰角的大小若ab15 m，ac25 m，bcm30，则tan的最大值是_(仰角为直线ap与平面abc所成角)答案解析如图，过点p作pdbc，垂足为d.平面mcb平面abc，且平面mcb平面abcbc，pd平面abc.连接ad，pad为由点a观察点p的仰角.设cdx，bcm30，pdx.在rtabc中，ab15，ac25，sinacb，cosacb.由余弦定理得ad.tan，当0，即x时，tan最大，最大值为.4衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为abc，abd，经测量adbd7米，bc5米，ac8米，cd.(1)求ab的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？(1.732，1.414)答案(1)7(2)86600元解析(1)在abc中，由余弦定理，得cosc.在abd中，由余弦定理，得cosd.由cd，得cosccosd.ab7，ab长为7米(2)小李的设计建造费用较低，理由如下：sabdadbdsind，sabcacbcsinc.adbdacbc，sabdsabc.故选择abc建造环境标志费用较低adbdab7，abd是等边三角形，d60.sabc10101.73217.32.总造价为5 00017.3286 600(元)5如图，游客从某旅游景区的景点a处下山至c处有两种途径一种是从a沿直线步行到c，另一种是先从a沿索道乘缆车到b，然后从b沿直线步行到c.现有甲、乙两位游客从a处下山，甲沿ac匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从a乘缆车到b，在b处停留1 min后，再从b匀速步行到c.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路ac长为1 260 m，经测量，cosa，cosc.(1)求索道ab的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在c处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？答案(1)1040 m(2)min(3)，分析(1)利用正弦定理来解；(2)利用余弦定理构造函数，然后再求最值；(3)根据速度、路程、时间三者之间的关系求范围解析(1)在abc中，因为cosa，cosc，所以sina，sinc.从而sinbsin(ac)sin(ac)sinacosccosasinc.由，得absinc1 040(m)所以索道ab的长为1 040 m.(2)设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离a处130t m，所