广东工业大学线性代数试题A卷2(含答案).pdf

广东工业大学试卷用纸 共3页 第1 页 学学院 院 专专业 业 学学号 号 姓姓名名 装订线 广东工业大学考试试卷广东工业大学考试试卷 A A 课程名称课程名称 线性代数试卷满分试卷满分 100 分分 考试时间考试时间 20102010年年 1 1 月月 5 5 日日 第第1919周周 星期星期二二 题号一二三四五六七八九十总分 评卷得分 评卷签名 复核得分 复核签名 一 一 填空题 每小题填空题 每小题 4 分 共分 共 20 分分 1 函数 x xx x xf 12 1 312 中 3 x的系数为 2 设 01 11 30 01 21 AA 2 1 A0 0A A 则 1 A 3 设A是4 3 矩阵 且 2R A 而 102 020 103 B 则 R AB 4 设矩阵A与 3 3 2 B相似 则 EA 5 若2 为可逆阵A的特征值 则 1 2 1 3 A 的一个特征值为 二 二 选择题选择题 每小题 每小题 4 分 共分 共 20 分分 1 下列命题正确正确的是 A 若ABE 则A可逆且 1 AB B 方阵AB的行列式阶子式 ABBA 广东工业大学试卷用纸 共3页 第2 页 C 若方阵AB不可逆 则 A B都不可逆 D 若n阶矩阵A或B不可逆 则AB必不可逆 2 设A为n阶矩阵 A为其伴随矩阵 则 Ak A A n k B n k A C 1 n n kA D n n kA 1 3 若非齐次线性方程组 Axb中方程个数少于未知数个数 那么 A Axb必有无穷多解 B 0 Ax必有非零解 C 0 Ax仅有零解 D 0 Ax一定无解 4 设 有 向 量 组 1 1 1 2 4 2 0 3 1 2 3 3 0 7 14 4 1 2 2 0 与 5 2 1 5 10 则向量组的极大线性无关组是 A 231 B 241 C 251 D 2451 5 设A B为 n 阶实对称可逆矩阵 则下面命题错误错误的是 A 有可逆矩阵P Q使得APBQ B 有可逆矩阵P使得BAABPP 1 C 有可逆矩阵P使得 221 APBP D 有正交矩阵P使得BAPPAPP T 1 三 计算行列式 三 计算行列式 6 分分 设 4322 3211 4311 3151 A 计算 44434241 AAAA 的值 其中 4 3 2 1 4 iA i 是代数余子式 四四 10 分 分 设矩阵X满足关系2 AXAX 其中 423 110 123 A 求X 五五 10 分分 设线性方程组为 532 4 03 321 321 321 xxx bxaxx xxx 问 a b取何值时 方程组无 解 有唯一解 有无穷多解 在有无穷多解时求出其通解 六六 10 分分 设 k 21 是0 Ax的一个基础解系 不是0 Ax的解 即0 A 广东工业大学试卷用纸 共3页 第3 页 讨论 向量组 k 21 线性相关还是线性无关 七七 10 分分 设 460 350 361 A 问 A 能否对角化 若能对角化 则求出可逆矩阵P 使得 1 P AP为对角阵 八八 共 共 14 分 证明题 分 证明题 1 6 分 分 若A为n阶幂等阵 AA 2 求证 n EArAr n 2 8 分 分 设A是nm 实矩阵 0 是m维实列向量 证明 1 秩 AArAr T 2 非齐次线性方程组 TT AAxA 有解 广东工业大学试卷用纸 共3页 第4 页 广东工业大学试卷参考答案及评分标准广东工业大学试卷参考答案及评分标准 A A 课程名称课程名称 线性代数 考试时间考试时间 20102010年年 1 1月月5 5 日日 第第1919周周 星期星期 二二 三 三 填空题 每小题填空题 每小题 4 分 共分 共 20 分分 1 2 2 1100 1000 00 3 1 0 0001 3 2 4 280 5 3 4 四 四 选择题选择题 每小题 每小题 4 分 共分 共 20 分分 12345 DCBBD 五 五 解 解 分 分 分 66 5 32 11 16 320 110 126 11 2060 0160 1260 3151 3 1111 3211 4311 3151 2 2 44434241 AAAA 评分说明 本题方法不唯一 但都要求计算必须有过程 结果不对的酌情给分 四 解 解 由已知 2 AE XA 2 分 因为 100386 2 010296 0012129 r AE A 8 分 广东工业大学试卷用纸 共3页 第5 页 故 1 386 2 296 2129 XAEA 10 分 评分说明 本题方法不唯一 若结果不对的根据步骤酌情给出 五 解 五 解 1200 1110 0131 5312 41 0131 ba baA 3 分 当 a 2 时 方程组有唯一解 5 分 当 a 2 b 1 时 方程组无解 7 分 当 a 2 b 1 时 Ar Ar 2 3 方程组有无穷多组解 其通解为 TT k 1 1 2 0 1 3 k为任意常数 10 分 六 解 六 解 设有 k xxxx 210 使得 0 22110 kk xxxx 1 0 2211210 kkk xxxxxxx 2 4 分 若0 210 k xxxx 则 可由 k 21 线性表示 是0 Ax的解 与已知矛盾 故必有0 210 k xxxx 从而0 2211 kk xxx 7 分 由 k 21 是0 Ax的一个基础解系知 k 21 线性无关 0 21 k xxx 0 210 k xxxx 因此向量组 k 21 线性无关 10 分 七 解七 解 由 2 460 35012 361 AE 得全部特征值为 123 1 2 4 分 将 12 1 代入 0AE x 得方程组 广东工业大学试卷用纸 共3页 第6 页 12 12 12 360 360 360 xx xx xx 解之得基础解系 1 2 1 0 2 0 0 1 6 分 同理将 3 2 代入 0AE x 得方程组的基础解系 3 1 1 1 T 7 分 由于 123 201 1010 011 所以 123 线性无关 令 123 201 101 011 P 则有 1 100 010 002 P AP 10 分 八 八 14 14 分分 1 1 证明 证明 AA 2 0 n EAA nEArAr n 3 3 分分 又 AEAE nn nn EArArAErArn 故 n EArArn 6 6 分分 2 证明证明 1 因为若0 A 则00 AAAT 而当0 AAT时 由 00 2 TTT