初三数学补充题(圆)1.pdf

初中数学专题讲座 求助场外观众热线师生互动信箱 ok go Page 1 of 10 圆 一 基础知识 基础知识 圆是中学必考的知识点之一 圆这部分内容因涉及平面几何的重要概念性质定理 且在解 题过程中要综合应用前面所学的知识 题型灵活多变 既考查 双基 又考查学生的数学素 养与创新思维 因此是历年中考 竞赛的重点考查内容 本讲着重帮助同学们对圆的知识点进 行归纳复习整理 帮助学生提高分析解决问题的能力 力求在解题方法上给同学们以指导 下 面就圆的问题之解决方法按难度逐层展开 1 圆心角 弦 弧 弦心距之间的关系圆心角 弦 弧 弦心距之间的关系 定理 定理 在同圆或圆等中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对的弦心距相等 推论 推论 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等 那么它 们所对应的其余各组量都分别相等 注意 在使用这个定理或推论时 一定要注意前提条件 必须 是在同圆或等圆中 如图所示 在 O中 若AOBCOD 则ABCD ABCD OMON 若ABCD 则AOBCOD ABCD OMON 若ABCD 则AOBCOD ABCD OMON 若OMON 则AOBCOD ABCD ABCD 2 圆周角定理及推论圆周角定理及推论 圆周角定理 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 注意 圆周角定理将同弧所对的圆心角与圆周角建立了联系 应用时一定要注意 同弧 所对的圆周角 和圆心角才有 1 2 这样的关系 由于圆心角与所对的弧具有一一对应的关系 圆周角与圆心角也具有对应的关系 因此研究圆 的问题经常可转化为研究角的问题 推论推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等 N M D O C B A 李伟源编撰 翻录必究 求助场外观众热线师生互动信箱 ok go Page 2 of 10 注意 在应用 推论 1 时 由相等的圆周角判断弧的关系时 必须在 同圆或等圆 这个前提下 推论推论 2 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 推论推论 3 如果三角形一条边上的中线等于此边的一半 那么这个三角形是直 角三角形 3 垂径定理及其推论垂径定理及其推论 垂径定理 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两条弧 如图所示 CD为直径 AB为弦 若CDAB 于E 则AEBE ADBD ACBC 推论推论 1 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 如图所示 CD为直径 弦AB 不是直径 若AEBE 则CDAB ADBD ACBC 注意 对于推论可理解为一个圆和一条直线若具备下面 5个条件中的任意两个 就可以推导出另外的 3个 过圆心 垂直于弦 平分弦 不是直径 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 推论推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 4 四点共圆的四点共圆的基本基本判定定理判定定理 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上 圆的定义 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆 由此可以得到推论 同斜边的直角三角形其顶点共圆 斜边就 是圆的直径 一组对角互补的四边形其顶点共圆 一个外角等于它的内对角的四边形其顶点共圆 注意 圆内接四边形对角互补 它的外角起到了沟通圆内外图形的关系的作用 利用这一性质可以把圆 外的角转化到圆内 E D O C BA 初中数学专题讲座 求助场外观众热线师生互动信箱 ok go Page 3 of 10 例例题题精讲 精讲 例 例 1 如图如图所示所示 点 点A D G M在半圆在半圆O上 上 OGCH 四边形四边形ABOC OEDF HMNO均为均为 矩形矩形 设 设BCa EFb NHc 则下列各式正确的是 则下列各式正确的是 A abc B abc C cab D bca 例 例 2 如图如图所示所示 两个正方形彼此相邻且内接于圆 若小正方形的边长为两个正方形彼此相邻且内接于圆 若小正方形的边长为4 求圆的半径 求圆的半径 例 例 3 如图所示 在三个等圆上各有一条劣弧 如图所示 在三个等圆上各有一条劣弧AB CD EF 如果 如果ABCDEF 求证 求证ABCDEF B A D C F E NM H G F E D OC B A 李伟源编撰 翻录必究 求助场外观众热线师生互动信箱 ok go Page 4 of 10 例 例 4 如图所示 在平面上给出半径相同的三个圆 求证如图所示 在平面上给出半径相同的三个圆 求证180ABCDEF 例 例 5 已知锐角已知锐角ABC 试在三角形内部找出所有的点 试在三角形内部找出所有的点P 使得使得APB BPC CPA 都是钝角三角形都是钝角三角形 例 例 6 如图如图所示所示 量角器外沿上有量角器外沿上有A B两点 它们的度数分别是两点 它们的度数分别是70 40 求角 求角 的度数的度数 例 例 7 如图如图所示所示 CD是是O的直径 的直径 87EOD AE交交O于点于点B 且 且ABOC 求 求A 的度数的度数 F E D C B A O B A E D OC B A 87 初中数学专题讲座 求助场外观众热线师生互动信箱 ok go Page 5 of 10 例 例 8 如图如图所示所示 在在O中 中 AOB 的度数为的度数为m C是是ACB上一点 上一点 D E是是AB上不同的两点上不同的两点 与与A B两点不重合两点不重合 求 求DE 的度数的度数 例 例 9 如图如图所示所示 AB CD是是O的两条弦 它们的延长线交于点的两条弦 它们的延长线交于点P 120AOC 40BOD 求求P 的度数的度数 例 例 10 如图所示 如图所示 AB是半圆的直径 弦是半圆的直径 弦AD BC相交于点相交于点P 已知 已知60 DPB D是是BC的中点 的中点 则则tanADC 等于等于 A 1 2 B 2 C 3 D 3 3 例 例 11 如图所示 如图所示 MN是是O的直径 若的直径 若25E 35PMQ 则 则MQP A 30 B 35 C 40 D 50 E D O C BA 40 P D O C B A 120 60 P D O C BA E M N P O Q 李伟源编撰 翻录必究 求助场外观众热线师生互动信箱 ok go Page 6 of 10 例 例 12 如图如图所示所示 半径为半径为5的的O内有一点内有一点A 已知 已知4OA 则过点 则过点A的最短的弦的长度是多少 的最短的弦的长度是多少 例 例 13 现有一点 现有一点A和和O 则点 则点A和和O上面的点的最小距离和最大距离分别是多少 上面的点的最小距离和最大距离分别是多少 例 例 14 如图如图所示所示 当 当K是折弦是折弦ABC的的ABC的中点时 有的中点时 有 22 AB BCKAKB 例 例 15 如左下图所示 如左下图所示 四边形 四边形ABCD内接于内接于O ACBD 于点于点P OEAB 于点于点E F为为BC延长线延长线 上上的的一点一点 1 1 求证 求证 CDOE 2 1 2 2 当当左下左下图中图中的的点点P运动到圆外时 即运动到圆外时 即AC BD的延长线交于点的延长线交于点P 且且90P 时时 如如右下右下图图所所 示示 1 1 中的结论是否成立 如果成立 请给出你的证明 中的结论是否成立 如果成立 请给出你的证明 如果不成立如果不成立 请说明理由请说明理由 O A O P E D C BA O P E D C BA K O C B A 初中数学专题讲座 求助场外观众热线师生互动信箱 ok go Page 7 of 10 例 例 16 如图如图所示所示 在在RtABC 中 中 90C 2AC 1BC 若以点若以点C为圆心 为圆心 CB的长度为半径的长度为半径 的圆交的圆交AB于点于点P 则 则AP的长度是多少 的长度是多少 例 例 17 如图如图所示所示 M N分别是分别是O中长度相等但是不平行的两条弦中长度相等但是不平行的两条弦AB CD的中点 求证的中点 求证AMN CNM 例 例 18 如图所示 半径 如图所示 半径5 2R 的O内的两条线段内的两条线段ABBC 且且6AB 2BC 求 求OB的长度的长度 例 例 19 如图如图所示所示 已知已知AB AC是是O的弦 的弦 AD平分平分BAC 且交且交O于点于点D 弦 弦DEAB 且交且交AC于于 点点P 求证 求证OP平分平分APD P O B A NM D O C B A P 2 1 ED O C BA 6 2 O CB A 李伟源编撰 翻录必究 求助场外观众热线师生互动信箱 ok go Page 8 of 10 例 例 20 已知已知O的直径是的直径是50 O的两条平行弦的两条平行弦40AB 48CD 求 求AB与与CD之间的距离之间的距离 例 例 21 已知 已知O的半径为的半径为5 AB CD是两条平行弦 且是两条平行弦 且8AB 6CD 求 求AC的长度的长度 例 例 22 已知 已知O的半径为的半径为1 弦 弦AB AC的长度分别是的长度分别是3 2 求 求BAC 的度数的度数 例 例 23 如图如图所示所示 ABC 的三边长度分别为的三边长度分别为10 10 12 求此三角形外接圆半径 求此三角形外接圆半径 例 例 24 如图所示 如图所示 O的半径为定值的半径为定值R 在给定的直径 在给定的直径CD上取动点上取动点H 过点 过点H作弦作弦ABCD 求能使 求能使 ABCABD SSS 取得最大值的取得最大值的点点H的位置的位置 H O D C BA 10 12 10 O CB A 初中数学专题讲座 求助场外观众热线师生互动信箱 ok go Page 9 of 10 例 例 25 如图所示 如图所示 AB为为O的一条弦 的一条弦 CD为为O的一条直径且与弦的一条直径且与弦AB相交相交 记记 CABDAB MSS 2 OAB NS 试比较 试比较M N的大小的大小 例 例 26 如图如图所示所示 若 若PAPB 2APBACB AC与与BP交于交于D 且 且43 PBPD 求 求AD DC 例 例 27 如图所示 如图所示 O和等边和等边ABC 的三边交于六个点 已知的三边交于六个点 已知2AG 13GF 1FC 7HJ 求 求 DE的长度的长度 例 例 28 如图所示 在 如图所示 在ABC 中 中 60BAC BD CE分别是分别是ABC ACB 角平分线 且相交于角平分线 且相交于I 点 求证点 求证IEID J H O G F EDCB A I 60 E D CB A O D C BA P AB C D 李伟源编撰 翻录必究 求助场外观众热线