矢量分析基础

矢量代数常用正交曲线坐标系标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度无旋场与无散场拉普拉斯运算与格林定理亥姆霍兹定理 本章内容 矢量的几何表示 用一条有方向的线段来表示 矢量可表示为 其中为模值 表征矢量的大小 为单位矢量 表征矢量的方向 1 1矢量代数 1 1 1标量和矢量 标量与矢量标量 只有大小 没有方向的物理量 电压U 电荷量Q 能量W等 矢量 既有大小 又有方向的物理量 作用力 电 磁场强度 矢量的代数表示 说明 矢量书写时 印刷体为场量符号加粗 如 教材上的矢量符号即采用印刷体 矢量用坐标分量表示 1 1 2矢量代数运算 矢量的加法和减法 矢量相加和相减可用平行四边形法则求解 说明 矢量的加法符合交换律和结合律 矢量的乘法 矢量与标量相乘 标量与矢量相乘只改变矢量大小 不改变方向 矢量的标积 点积 说明 1 矢量的点积符合交换律和分配律 2 两个矢量的点积为标量 3 矢量的矢积 叉积 说明 1 矢量的叉积不符合交换律 但符合分配律 2 两个矢量的叉积为矢量 4 矢量运算恒等式 3 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定 三种常用的正交坐标系为 直角坐标系 圆柱面坐标系和球面坐标系 正交坐标系 三条正交曲线组成 确定三维空间任意点位置的体系 三条正交曲线称为坐标轴 描述坐标轴的量称为坐标变量 1 2三种常用的正交坐标系 1 2 1直角坐标系 位置矢量 面元矢量 线元矢量 体积元 坐标变量 坐标单位矢量 坐标变量 坐标单位矢量 变化范围 坐标变换关系 1 2 2圆柱坐标系 圆柱坐标系与直角坐标之间单位矢量的变换关系 线元矢量 体积元 面元矢量 位置矢量 说明 圆柱坐标系下矢量运算方法 加减 标积 矢积 1 2 3球坐标系 坐标变量 坐标单位矢量 变化范围 变换关系 坐标单位矢量之间的关系 球坐标系与圆柱坐标 球坐标系与直角坐标 线元矢量 体积元 面元矢量 球坐标系中的线元 面元和体积元 位置矢量 说明 球面坐标系下矢量运算 加减 标积 矢积 课外学习实训1 试分析产生此悖论的原因 在此基础上 撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告 2 位于球坐标系下的P点 1 30 90 处的矢量 利用直角坐标系可表示为 1 已知圆柱坐标系下的点和 试在圆柱坐标系下写出从到P的矢量与从P到的矢量 1 3标量场的梯度 1 标量场和矢量场 标量场 物理量是为标量 矢量场 物理量是矢量 场的概念 物理量在空间区域上的一个确定分布 例如 流速场 重力场 电场 磁场等 例如 温度场 电位场 高度场等 场的表示方式 如果场与时间无关 称为静态场 反之为时变场 标量场 矢量场 2 标量场的等值面 等值面 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面 等值面方程 常数C取一系列不同的值 就得到一系列不同的等值面 形成等值面族 标量场的等值面充满场所在的整个空间 标量场的等值面互不相交 等值面的特点 意义 形象直观地描述了物理量在空间的分布状态 3 方向导数 意义 方向导数表示场沿某方向的空间变化率 概念 u M 沿方向增加 u M 沿方向减小 u M 沿方向无变化 特点 方向导数既与点M0有关 也与方向有关 问题 在什么方向上变化率最大 最大的变化率为多少 梯度 梯度的计算公式 圆柱坐标系 球坐标系 直角坐标系 4 标量场的梯度 或 意义 描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向 概念 其中取得最大值的方向 梯度的性质 标量场的梯度为矢量 且是坐标位置的函数 标量场梯度的幅度表示标量场的最大变化率 标量场梯度的方向垂直于等值面 且为标量场增加最快的方向 标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影 梯度运算的基本公式 式中 为常数 为坐标变量函数 解 1 例1 3 1设一标量函数u x y z x2 y2 z描述了空间标量场 试求 1 该函数u在点P 1 1 1 处的梯度 以及表示该梯度方向的单位矢量 2 求该函数u沿单位矢量方向的方向导数 并以点P 1 1 1 处的方向导数值与该点的梯度值作以比较 得出相应结论 2 而该点的梯度值为 显然 梯度描述了P点处标量函数 的最大变化率 即最大的方向导数 故恒成立 1 4矢量场的通量与散度 1 矢量线 意义 形象直观地描述了矢量场的空间分布状态 矢量线方程 概念 矢量线是这样的曲线 其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向 2 矢量场的通量 问题 如何定量描述矢量场的大小 引入通量的概念 通量的概念 面积元的法向单位矢量 穿过面积元的通量 如果S是闭合曲面 则 外法向单位矢量 若 通过闭合曲面有净的矢量线穿出 闭合面内有发出矢量线的正源 若 有净的矢量线进入 闭合面内有汇集矢量线的负源 若 进入与穿出闭合曲面的矢量线相等 闭合面内无源 或正源负源代数和为0 通过闭合面S的通量的物理意义 3 矢量场的散度 散度的定义 在场空间中任意点M处作一个包围体积元的闭合曲面S 定义场矢量在M点处的散度为 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 体密度 说明 矢量场的散度是标量 矢量场的散度是空间坐标的函数 若 则该矢量场称为有散场 为源密度 若处处成立 则该矢量场称为无散场 圆柱坐标系 球坐标系 直角坐标系 散度的计算公式 直角坐标系下散度表达式的推导 则穿过前 后两侧面的净通量值为 取包围P点的微体积元 V为一直平行六面体 如图所示 则 同理 求出穿过另两组侧面的净通量 并合成之 即得 根据定义 得 散度的有关公式 4 散度定理 矢量场的高斯定理 意义 矢量场穿过空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围体积中矢量场的散度的体积分 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系 说明 如何证明 应用散度定理要注意条件 必须是封闭曲面的各分量具有一阶连续偏导数 1 5矢量场的环流与旋度 矢量场的环流 流速场 电流的磁场 环流的概念 矢量场沿有向闭合曲线L的线积分称为该矢量对闭合曲线L的环流 即 环流意义 若矢量场环流不为零 则矢量场中存在产生矢量场的漩涡源 称为矢量场在点M处沿方向的环流面密度 定义 2 环流面密度 说明 环流面密度是在M点处沿方向的漩涡源密度 在空间任一点M处以为法向矢量做一面积元 则 环流面密度与面元方向有关 而 推导的示意图如图所示 直角坐标系中 的表达式 于是 同理可得 故得 概念 矢量场在M点处的旋度为一矢量 其数值为M点的环流面密度最大值 其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向 即 3 矢量场的旋度 说明 矢量的旋度为矢量 是空间坐标的函数 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度 若处处成立 则称其为无旋场 若 则称其为有旋场 为漩涡源密度矢量 旋度的计算公式 旋度的有关公式 4 斯托克斯定理 意义 矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量 说明 斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式 如何证明 散度和旋度的比较 1 6拉普拉斯运算与格林定理 1 拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算 概念 拉普拉斯算符 直角坐标系 计算公式 圆柱坐标系 球坐标系 矢量拉普拉斯运算 概念 即 注意 对于非直角分量 直角坐标系中 如 2 格林定理 标量第一格林定理 式中S为包围V的闭合曲面 为表面S的外法向矢量 标量第二格林定理 1 7亥姆霍兹定理 在以S为边界的有限区域V内 任意矢量场由其在区域V内的散度 旋度和边界条件 即矢量场在有限区域边界上S的分布 唯一确定 且可表示为 式中 1 亥姆霍兹定理 无界空间 不存在边界面 亥姆霍兹定理表明 在无界区域 矢量场可由其散度及旋度确定 在有界区域 矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关 还与区域边界上矢量场有关 亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义 研究电磁场的一条主线 2 矢量场按源的分类 1 无旋场 性质 线积分与路径无关 是保守场 无旋场可以用标量场的梯度表示 即 例如 静电场 2 无散场 性质 无散场可以表示为另一个矢量场的旋度 例如 恒定磁场 3 无旋 无散场 源在所讨论的区域之外 4 有散 有旋场 这样的场可分解为两部分 无旋场部分和无散场部分 内容总结场的基本概念三个坐标系三个度两个转换 公式 两个恒等式一个运算两个定理场基本方程的微分和积分形式场点和源点的梯度关系 哈密顿算符 梯度 散度 旋度 斯托克斯定理 散度定理 高斯定理