协方差矩阵未知的多次结果的合并.pdf

协方差矩阵未知的多试协方差矩阵未知的多试 验结果的合并验结果的合并 马维虎 协方差矩阵已知的参数估计 在N个观测点X1 X2 XN 通过测量得到 一组观测值Y1 Y2 YN 相应的观测真 值为未知 假定存在某个理论模型 可预 测与点Xi相对应的观测真值 i i f 1 L Xi L N 1 该参数与估计的未知参数 1 L 有关 协方差矩阵已知的参数估计 如果Yi 的各次观测之间是相关联的 其方 差和协方差由对称协方差矩阵 V Y 给出 那么找到未知参数的最优估计值的最小二 乘原理是使下述Q2达到极小 2 协方差矩阵已知的参数估计 如果Yi 的各次观测之间是无关联的 协方 差矩阵 V Y 已知且其非对角元为零 Q2表达式为 3 协方差矩阵已知的参数估计 如果观测值服从正态分布 Q2的极小值 Q2min在一定条件下是一个 2变量 故可根 据 2分布的性质对观测值和理论模型进行 统计推断 然而 实际存在只知道Y Y Y Y的数值及不同测量 值Yi之间存在相互关联 协方差矩阵 V Y 并不确切知道或无法定量确定的情况 协方差矩阵未知的参数估计 讨论一种简单的情形 假定N个实验对同一 物理量进行测量得到N个测量值Yi i i 1 N 我们的问题是如何从这N个测量结果求得物 理量及其误差的合并估计 观测值的真值 是一个数值而不是矢量 本 身就是待估计参数 协方差矩阵未知的参数估计 这种情况下 的最优估计使得量 达到极小来求得 其解为 方差为 若协方差已知 据此可求得物理量及其方差 1 11 2 YVY Q i ij N i N j i 1 1 1 1 1 YVVj N ji ij N ji ij 1 1 1 2 N ji ij V 3 4 5 协方差矩阵未知的参数估计 当N次测量结果相互独立 不相关联时 N i i iY Q 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 i i N i i N i i N i ii w w w Yw 8 9 7 6 协方差矩阵未知的参数估计 假定测量Yi是期望值 方差 的正态变 量 6 式表示的Q2是N 1个独立标准正 态变量的平方和 是自由度N 1的 2变 量 E N 1 在此假设下 的值与自由度N 1的差异 可以反映不同测量值之间的关联程度 接近N 1时个测量值之间近似相互独立 反 之则可能是各测量报告的误差不精确 或 个测量量之间存在不可忽略的相互关联 2 2 Q 2 Q 2 Q 协方差矩阵未知的参数估计 在多次测量存在关联的情况下 7 式求得 的参数估计值不一定是最优估计 但任然 是的一个无偏估计 由于在协方差矩阵未知时无法用 4 求得 精确估计 任用 7 计算 的估计值 以下介绍多次测量存在关联 协方差矩阵 未知条件下方差 的估计方法 2 协方差矩阵未知的参数估计 当 N 1时 对应于多次测量值之间存 在负关联 即协方差矩阵非对角元为负值 相关文献建议定义标度因子f 将 9 式中的 用 代替求得 这相当于原来的方差增大了f倍 是一种保 守估计 2 Q 1 2 N f Q 2 i 2 i f 10 2 协方差矩阵未知的参数估计 当 N 1时 对应于多次测量值之间存 在正关联 即协方差矩阵非对角元为正值 相关文献建议的处理方法是建立一个等效 协方差矩阵C 其矩阵元为 f为正常数 由下试求得 2 Q 2 iiiC Njijif jiijC 1 1 1 2 Nf CYY ij i N ji i 11 协方差矩阵未知的参数估计 由此可求得估计量 的方差为 当f 0 Cij 0 i j 式 12 恢复到N次独立测量情况下的表达 式 8 12 1 2 1 2 N i iw Cww N ji ijji N i iii N i i N ji ijjiwCwCww 11 2 1 协方差矩阵未知的参数估计 需要注意的是满足 E 2 N 1的 2 不一 定存在 特别是当自由度小的情况下 不 加条件的使用这种方法 会使方差的估计 值偏大 2 1 2 1 1 1 1