数列前n项和求和方法集锦(错位相加法,分组求和法等).doc

一.求和方法大集锦1.分组求和法:就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等差（比）数列，它们的和当然就好求了。例如：求1/2+3/4+7/8+9/16+.+(2n-1)/(2n)的话，可以将通项(2n-1)/(2n)写成1-2(-n)这样就变成每一项都是1-X（X为通项）的公式对于通项-2(-n)是一个等比数列，这个你就可以直接套用公式了2.数列累加法 (1)逐差累加法 例3 已知a1=1, an+1=an+2n 求an 解：由递推公式知：a2-a1=2, a3-a2=22, a4-a3=23, an-an-1=2n-1 将以上n-1个式子相加可得 an=a1+2+22+23+24+2n-1=1+2+22+23+2n-1=2n-1 注：对递推公式形如an+1=an+f(n)的数列均可用逐差累加法 求通项公式，特别的，当f(n)为常数时，数列即为等差数列。 (2)逐商叠乘法 例4 已知a1=1, an=2nan-1(n2)求an 解：当n2时， =22, =23, =24, =2n 将以上n-1个式子相乘可得 an=a1.22+3+4+n=2 当n=1时，a1=1满足上式 故an=2 (nN*) 注：对递推公式形如an+1an=g(n)的数列均可用逐商叠乘法求通项公式，特别的，当g (n)为常数时，数列即为等比数列3.裂项求和当一项可以拆时需要注意是否为了考察裂项求和，最有名的就是分数：1/2+1/6+1/12+1/n*（n+1） 可拆为 1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+（1/n-1/（n+1） 然后你会发现从-1/2 到1/n全部能想消掉，故只剩下首项和末项。4.倒序相加最简单的是等差数列用倒序相加求和：1到9 1+9=10 2+8=10。所以便有首项加末项乘以项数除以二。1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+.+1/99*100 =1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+.+(1/99-1/100) (裂项） =1+1-1/2+1/2-1/3+.-1/99+1/99-1/100 (消元） =2-1/100 =199/1005.错位相减这个可以求出和与求通项公式和首相的关系，常用与等比数列，Sn乘上q（等比的比例常数） 如：Sn（数列和）=1+2+4+8+2(n-1)+2n 左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+2n+2(n+1) 用后式-前式:Sn=2(n+1)-1 这就得出了总和与通项式的关系 。分组求和：此为裂项求和的反运算，但是没有裂项求和用的频繁，那个是有分式首先就想到裂项求和，如1+3+4+9+2n+3n 实际上可以看成两个或多个数列，但有时混在一起而且条件不充分时不容易发现。二.数列概念大综合1.一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=s1(n=1) an=Sn=Sn-1(n2) 错位相减：这个可以求出和与求通项公式和首相的关系，常用与等比数列，Sn乘上q（等比的比例常数） 如：Sn（数列和）=1+2+4+8+2(n-1)+2n 左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+2n+2(n+1) 用后式-前式:Sn=2(n+1)-1 这就得出了总和与通项式的关系 。2.分组求和：此为裂项求和的反运算，但是没有裂项求和用的频繁，那个是有分式首先就想到裂项求和，如1+3+4+9+2n+3n 实际上可以看成两个或多个数列，但有时混在一起而且条件不充分时不容易发现。3、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。 4、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a10），Sn=na1是关于n的正比例式。 5、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an0) 6、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)； 当q1时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 7、等差数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列。 8、等差数列an中，若m+n=p+q，则 9、等比数列an中，若m+n=p+q，则 10、等比数列an的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列。 11、两个等差数列an与bn的和差的数列an+bn、an-bn仍为等差数列。 12、两个等比数列an与bn的积、商、倒数组成的数列 an bn、 、 仍为等比数列。 13、等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 14、等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 15、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d 16、三个数成等比的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？) 17、an为等差数列，则 (c0)是等比数列。 18、bn（bn0）是等比数列，则logc bn (c0且c 1) 是等差数列。 19、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和