江苏省南京市高三数学二轮复习 专题3 不等式问题导学案.docVIP

专题3：不等式问题（两课时） 班级 姓名 一、前测训练1 解下列不等式：(1)3x24x40 (2)2 (3) 4x3280 （4）ax2ax10 答案：(1)(，2)；(2) (，4(1，)； (3)(，；(4)当0a4时，解集为；当a4时，x； 当a0时，x或x2(1)若对任意xr，都有(m2)x22(m2)x40恒成立，则实数m的取值范围是 (2) 若对任意x0，都有mx22x10恒成立，则实数m的取值范围是 (3) 若对任意1m1，都有mx22x1m0恒成立，则实数x的取值范围是 答案：(1)(2，2；(2)(，0；(3)(1，2)3(1)函数y14x(x)的最大值为 (2)已知x0，y0 ，且2，则xy的最小值为 答案：(1)6；(2)84求下列函数的值域：(1)y ； (2)f(x)x，x1，2 答案：(1)；(2)当a1时，值域为1a，2，当1a2时，值域为2，2，当2a4值域为2，1a，当a4时，值域为2，1a5求下列函数的值域： (1)y (x) (2)y (x1) 答案：(1)，)；(2)，0)6设x，y满足约束条件 ，则(1) zx2y的最小值为 ；(2)z2xy的最大值为 ； (3) zx22xy2的最大值为 ；(4) z的最大值为 答案：(1)3；(2)8；(3)39；(4)二、方法联想1一元二次不等式从四个方面考虑：(1)二次项系数为0和正负情况；(2)二次方程根是否存在情况(优先用十字相乘法求根)；(3)二次方程根的大小情况； (4)二次不等式的不等号方向分式不等式(1) 0等价于f(x)g(x)0； 0等价于f(x)g(x)0(2) 0等价于 0等价于2恒成立问题 (1)二次不等式恒成立问题 方法1 结合二次函数图象分析 方法2 分离变量法 (2)一次不等式恒成立问题 若关于x的不等式axb0对任意x m，n上恒成立，则若关于x的不等式axb0 对任意xm，n上恒成立，则3基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号三个不等式关系： (1)a，br，a2b22ab，当且仅当ab时取等号 (2)a，br，ab2，当且仅当ab时取等号 (3)a，br，()2，当且仅当ab时取等号上述三个不等关系揭示了a2b2 ，ab ，ab三者间的不等关系其中，基本不等式及其变形：a，br，ab2(或ab()2)，当且仅当ab时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值4f(x)x型函数 对于f(x)x，当a0时，f(x)在(，0)，(0，)为增函数；当a0时，f(x)在(，)，(，)为增函数；在(，0)，(0，)为减函数注意 在解答题中利用函数f(x)x的单调性时，需要利用导数进行证明5f(x) (或f(x)型令dxet进行换元，转化为f(x)x型函数问题6利用线性规划区域求最值将求目标函数的最值转化为截距、距离、斜率的最值三、例题分析第一层次学校例1 设函数f(x)x2ax3(1)当xr时，f(x)a恒成立，求a的取值范围；(2)当x2，2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围；(3)设不等式f(x)a对于满足1a3的一切a的取值都成立，求x的取值范围解：(1)6a2 (2) 7a2思路1：(利用二次函数的图象) 注：此方法可改进，由f(2)a，f(2)a得7a对称轴x，可少讨论一种情况思路2：(求函数的最值)注：此方法可改进，由f(2)a，f(2)a得7a，再进行分类讨论思路3：(变量分离后，再求函数的最值) (3) x3或x0【教学建议】 1本题涉及到不等式恒成立问题，通常思路有3种，f(x)0，xd恒成立f(x)min0转化为求函数f(x)的最小值(求最值时，可能要对参数进行讨论)；选进行变量分离，再求函数的最值；即f(x)a，xd恒成立f(x)mina利用函数的图象和几何意义； 2本题是二次不等式恒成立问题，第一问是二次不等式对任意实数恒成立，可由图象法及判别式处理 第二问是二次不等式对x2，2恒成立，所以图象法，求最值，或变量分量后求最值均可，以方法二较优例2 在abc中，abac，d为ac中点，且bd，求abc的面积的最大值解：s取最大值2思路1：（代数方法）建立目标函数，求最值 思路2：（几何方法）【教学建议】1本题是实际问题中的最值问题这类问题通常有2种思路：根据图形的几何意义，确定取得最值的情形，再进行计算；建立目标函数，转化为求函数的最值2本题采用思路2，通过建立目标函数，再求函数的最值，再表示面积时，有两种方法，一是通过两边及夹角求面积，一是通过底边与高求面积，因而有方法一与方法二3方法一有纯代数的方法，转化为求双二次函数的最值，运算量较大；方法二结合图形的几何性质，由于bd已知，因而要使面积最大，只需a到bd的距离最大，由于点a要求满足ab2ad，因而它的轨迹是一个圆，问题就转化为求轨迹上的点到直线bd距离的最大值问题，所以法二采用了建系求轨迹的方法，运算量小，比方法一简单，但思维的要求更高例3 已知点m，n的坐标满足若a(1，1)，求a的取值范围解：a的取值范围为7，7【教学建议】 1本题是线性规划问题但目标函数不是常规的情形(线性目标函数，斜率与两点问题距离)，需转化 2由于m，n是可行域中任意两点，所以可以利用，将问题求a与a的差的取值范围，从而转化为求线性目标函数zxy的最大值与最小值，这是一标准的线性规划问题第二层次学校例1 设函数f(x)x2ax3(1)当xr时，f(x)a恒成立，求a的取值范围；(2)当x2，2时，f(x)a恒成立，求a的取值范围；(3)设不等式f(x)a对于满足1a3的一切a的取值都成立，求x的取值范围解：(1)6a2 (2) 7a2思路1：(利用二次函数的图象) 注：此方法可改进，由f(2)a，f(2)a得7a对称轴x，可少讨论一种情况思路2：(求函数的最值)注：此方法可改进，由f(2)a，f(2)a得7a，再进行分类讨论思路3：(变量分离后，再求函数的最值) (3) x3或x0【教学建议】 1本题涉及到不等式恒成立问题，通常思路有3种，f(x)0，xd恒成立f(x)min0转化为求函数f(x)的最小值(求最值时，可能要对参数进行讨论)；选进行变量分离，再求函数的最值；即f(x)a，xd恒成立f(x)mina利用函数的图象和几何意义； 2本题是二次不等式恒成立问题，第一问是二次不等式对任意实数恒成立，可由图象法及判别式处理 第二问是二次不等式对x2，2恒成立，所以图象法，求最值，或变量分量后求最值均可，以方法二较优例2 设m，nr，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，求mn的取值范围解 mn(，2222，)思路1：(基本不等式) 思路2：(消元转化为求函数的值域)思路3：(利用图形的几何意义) 【教学建议】 1本题是求二元函数的值域问题这类问题主要有3种解题思路： 直接利用基本不等式，这种方法往往只有求最大值或最小值；消元转化为一元函数，再求最值；将两个变量看成一个有序实数对，当作平面内一个动点，从图形的几何意义方面，考虑求目标函数的值域 2本题3种方法均可，方法一只适用于本题，方法二是一般方法，本题中方法三难度较大，对思维的要求很高，但比较直观，在小题中使用较好例3 已知x，y满足条件，且m(2，1)，p(x，y)求：(1)的取值范围；(2)x2y2的最大值与最小值；(3)的最大值；(4)|cosmop的最小值 解： (1) 的取值范围为，9(2) x2y2的最大值为37，最小值为 (3) 的最大值为9 (4) |cosmop的最小值为【教学建议】 1本题是线性规划问题，(1)(2)问是典型的问法，(3)(4)问是需要利用向量数量积的知识，才能得到线性目标函数 2线性规划问题，有些比较直接，如(1)(2)问，主要考查线性目标函数、斜率与距离等三类问题，但近几年高考，出现了一些变式，可行域不是线性约束条件确定，可行域只是一个曲线，或目标函数是上述3种类型的变式等，对问题转化的要求比较高。但复习中还是以基本问题为主，适当进行一些变式第三层次学校例1：已知f(x)3x2a(6a)xb(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)0的解集为(1，3)，求实数a，b的值；(3)若不等式f(x)b4对于x1，2恒成立，求实数a的取值范围解：(1)不等式的解集为x|3x3 (2) a3，b9(3) 实数a的取值范围为2，4【教学建议】1本题涉及解一元二次不等式，一元二次不等式的解集与相应一元二次方程根的关系，及不等式恒成立问题2解一元二次不等式，要考虑对应方程有没有根，如有根，则根的大小如何，对应二次函数的开口方向等，并结合二次函数的图象去写解集；已知一元二次不等式的解集可知对应的一元二次方程的两根，以及二次项系数的符号3第(3)问是不等式恒成立问题，通常思路有3种，f(x)0，xd恒成立f(x)min0转化为求函数f(x)的最小值(求最值时，可能要对参数进行讨论)；选进行变量分离，再求函数的最值；即f(x)a，xd恒成立f(x)mina利用函数的图象和几何意义； 本题采用变量分离后求最值，思路清晰，便于运算而从二次函数图象或讨论求最值，比较复杂例2 已知直线l：1，其中a0，b0经过点p(2，3)，求ab的最小值解：52思路1：(消元法) 思路2：(基本不等式法)(整体处理法)；(分解变换法)；思路3：几何法易错点：用消元法，要注意a的取值范围【教学建议】 1本题是求二元函数的值域问题这类问题主要有3种解题思路： 直接利用基本不等式，这种方法往往只有求最大值或最小值；消元转化为一元函数，再求最值；将两个变量看成一个有序实数对，当作平面内一个动点，从图形的几何意义方面，考虑求目标函数的值域 2本题3种方法均可，相比较，方法二中整体处理利用基本不等式最简单，它也是处理这一类问题的一般方法方法三比较直观，但学生不易想到例3 已知x，y满足条件，且m(2，1)，p(x，y)求：(1)的取值范围；(2)x2y2的最大值与最小值；(3)的最大值；(4)|cosmop的最小值解： (1) 的取值范围为，9(2) x2y2的最大值为37，最小值为 (3) 的最大值为9 (