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易拉罐形状和尺寸的最优设计 摘要 本文对销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的雪花啤酒) 的易拉罐形状尺寸进行了细致深刻的研究。 第一问中通过对易拉罐的罐高、上盖内径、上盖外径、直径(胖)、除圆台的高、厚度(壁)、上盖厚度、圆台的母线的多次测量，最后取平均值，以此作为原始数据进行研究。 第二问中，从节省材料的角度考虑，假设易拉罐为圆柱体，在易拉罐体积一定的条件下，寻找用料体积最小的方案，我们采用的是把条件极值转化成一元函数无条件极值，用一元函数求极值方法求解。先考虑壁厚均匀的情况，在此基础上我们考虑壁厚不均匀情况以及上盖折边问题。最后应用第一问中测得的数据，用以上几种情况得到的理论值和实际测量值进行比较，从而进行分析评价。结果显示在壁厚均匀的情况得到的结果与实际有一定差距，在壁厚不均匀的情况得到的结果与实际接近，在考虑折边的情况下，得到的结果是，当2.47k1时高与半径的比值接近真实值，当2.74k1时高与半径的比值偏离真实值。 第三问中，假设易拉罐由两部分组成，上部分是正圆台，下部分是正圆柱体，在这里把材料的厚度看作是均匀的，而且很薄，可忽略不计，所以在体积一定的情况下，找到表面积最小的方案，这里我们运用拉格朗日乘数法及Mathematica 软件，得到一组最优解为H=5.5.0546 h=2.56319 r=1.87827 R=4.03432 。（H为正圆柱体的高，h为正圆台的高，r为正圆台上底面积的半径，R为正圆柱体底面半径） 第四问中，我们从无条件约束到有条件约束，最后对我们的最优设计进行一步步解释并综合Mathematica、matlab 软件进行绘制图形。最终得出形状接近现行使用的易拉罐形状才是最合理的设计。 关键词易拉罐 条件极值 拉格朗日乘数法 最优设计 Mathematica、Matlab软件 1、 问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。1. 名词和符号的解释假设易拉罐是一个圆柱体的时候 h为易拉罐高 r为底面圆半径 b为易拉罐的厚度 s为易拉罐的表面积 a是待定参数 v为罐的体积假设易拉罐上半部分是一个圆台，下半部分是一个正圆柱体的时候h为圆台的高H为圆柱体的高r为圆台上底面的半径R为圆柱体底面半径S为易拉罐的表面积V为易拉罐的体积。 3、模型的假设由于本题是由五个问题构成的，第五个问题在此忽略不记，在其余四个问题中第一个问提主要是收集数据1、由一般的方法，令它为一个正圆柱体，在体积为355m不变的前提条件下不考虑其他因素分析这时的直径、半径和高的比值。然后，考虑将系数k加到模型中去再来分析这时的直径、半径和高的比值，此时，模型升华到特殊情况。接下来考虑非正圆柱体的情况2、在第二问中，首先假设易拉罐是一个正圆柱体，第一种情况假设易拉罐的厚度是均匀的，第二种情况中，先假设易拉罐的厚度不相同，在由实际情况知上盖厚度为壁厚的2.74倍，从而假设考虑制造总工艺上必须的折边长度这种情况。3、第三问中假设易拉罐上半部分是一个正圆台，下半部分是一个正圆柱体，易拉罐的壁厚忽略不计。4、前三问中统一假设易拉罐的底部是平的。4、问题分析本题解决的是实际生活中常见的问题，即设计出理想饮料罐：在体积一定的情况下，设计出表面积最小的饮料罐。首先，要实际测量现在市面上买的易拉罐的相关数据，比如高，上盖内径，上盖外径等作为原始数据。接下来进行最优设计，先从简单入手，首先假设易拉罐的形状为正圆柱体，其次，假设易拉罐分成两部分，上半部分为正圆台体，下半部分为正圆柱体，从这两个方面分别设计出你认为的最优设计。接下来自己设计易拉罐的形状，分别从几个方面考虑，设计出美观、方便、成本低的饮料罐，最后谈谈设计这个模型的感想。5、模型的建立和求解第一问： 首先，我们取雪花啤酒听装355ml的易拉罐进行多次测量得出结果取平均值如下表 单位：毫米第一次测第二次测第三次测第四次测第五次测第六次测平均值高123.14123.34123.42123.26123.39123.3123.3083上盖内径54.8455.9657.2256.5256.9356.0156.24667上盖外径59.7259.5259.3459.6459.4759.5559.54直径(胖)66.0265.8665.9465.9765.966.0865.96167除圆台的高109.52109.82110109.66109.74109.8109.7567厚度(壁)0.160.170.170.150.150.160.16上盖厚度0.420.460.390.480.450.440.44圆台的母线14.5213.8213.5814.0414.513.9814.07333以次作为今后解题的基本数据。第二问：设易拉罐是一个正圆柱体。且厚度相同都为b.易拉罐所用材料侧面所用材料的体积为 易拉罐顶盖、底部所用的材料体积为所以, SV 为因为, 所以带 的项可以忽略因此由于求r使得 最小求临界点: 令其导数为零得解得临界点为 ,易得 同上由一问中实际测量数据可的得：即可以看出以上两种情况得到的易拉罐的高与底面半径的比的结果与实际的比值相差很多，影响这个差距的因素很多，例如厚度，前面我们的研究中把厚度考虑成是均匀的，但实际上易拉罐的壁厚是不均匀的。用手摸一下顶盖就能感觉到它的硬度要比其他的材料要硬(厚, 因为要使劲拉), 假设除易拉罐的顶盖外, 罐的厚度相同, 记作, 顶盖的厚度为 . 想象一下, 硬度体现在同样材料的厚度上(有人测量过, 顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的 3 倍). 因此, 我们可以进行如下的数学建模. 这时必须考虑所用材料的体积. （图一）明确变量和参数：设饮料罐的半径为 r（因此，直径为 d = 2r）, 罐的高为 h. 罐内体积为 V. b 为除顶盖外的材料的厚度. 其中 r, h 是自变量, 所用材料的体积 SV 是因变量, 而 b 和 V 是固定参数, 是待定参数. 饮料罐侧面所用材料的体积为 饮料罐顶盖所用材料的体积为 饮料罐底部所用材料的体积为 所以, SV 和 V 分别为, 因为br, 所以带 的项可以忽略(极其重要的合理假设或简化). 因此记 于是我们可以建立以下的数学模型：其中 S 是目标函数，是约束条件, V 是已知的(即罐内体积一定), 即要在体积一定的条件下, 求罐的表面积最小， 这是一个求条件极值的问题. 模型的求解：解法(从约束中解出一个变量，化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题)从 解出,代入 S, 使原问题化为：求 d : h 使 S 最小, 即, 求 r 使最小. 求临界点: 令其导数为零得解得临界点为, 因此测量数据为 h/r=3.74, 即 , 即顶盖的厚度是其他材料厚度的 2.74倍. b-制罐铝材的厚度。k-制造中工艺上必须的折边长度。在这里得到值与实际值很相近，这说明对易拉罐壁厚不均匀的考虑是必要的，这个因素对最优值的影响是显著的。下面把折边这个因素考虑进去，看得到的高与底面半径的比值与实际的有多大差异。考虑K时 制罐用材的总体积为 （K为常数） 由于 所以 带入上式得： 用微积分求得 结果得到的高与半径的关系与实际值差了2.47k，若0k0.365cm时，也就是 2.74k1，这时可以说高与半径的比值要偏离真实值。第三问 设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上半部分是一个正圆台，下半部分是一个正圆柱体。 （图二）在不考虑易拉罐壁厚的情况下利用拉格朗日乘数法求在V=355毫升条件下S的最小值 令具体用Mathematica运算程序（见附录程序1）输出结果为 因为问题中的各个未知数除参数外均不可能为复数或零 所以舍去中的部分不符合条件的解，得到一组最优解为 H=5.5.0546 =-0.495746 h=2.56319 r=1.87827 R=4.03432 将这组最优解代入到 （具体程序见附录程序2）中去得到的面积和体积分别为S=263.984 V=354.999我们经过验证（程序见附录程序3和程序4），具体方法为，根据体积公式可以得出多组解，任意找出一组和所得到的表面积和体积进行比较，得出的表面积和体积分别为 278.567和354.998，283.804和355，而求出的最优解中体积十分接近规定值， 而且比较之后，表面积是最小的，可以认定这组解就是我们要求的理想值。 再将先前通过测量得到的实际数据代到之中去 得到 S=315.3 V=415.583 （具体程序见附录程序3）观察发现表面和体积值与最优解比较相差很多，这种情况不难解释，因为，在前面测量和假设的时候圆台部分的凹陷空间被算在易拉罐体积内，上盖凹陷部分体积也算在内，下底盖的凹陷部分也都算在规定体积内，而且考虑测量的误差，并且355ml仅仅是易拉罐中液体部分的体积，每瓶易拉罐中都要留有一定的空间这些都是在假设中被省略的，综合几方面的因素60ml的误差还是可以理解的。 （图三） （图四）第四问 首先在不考虑任何约束条件，单单考虑体积一定的情况，会很容易得出球的体积是最小的（当体积相同时,将球的表面积化成若干个圆圈,当变量X趋近与零时,可将球的表面看作是由若干个小矩形围成的,由不定积分公式可得出答案,再和其他形状的立体模型比较即可.）但是作为盛装饮料的容器，球体是绝对不可以的，没有底座球无法立定。所以，要给球一个底。这样这个容器就可以安静的立住了，但是，从消费者的角度考虑我们必须从消费者的消费心理入手，球体我在手里是很难控制的，这样既使人感到舒适，有使体积保持不变，所以，球身的体积自然要在保证体积不变的情况下逐渐趋于椭圆形，这样缩减到我们可以握的很牢固的程度。现在，我们从商家的角度考虑，制作成这样型号的容器在装箱的时候会浪费很大的空间，所以，要减少空间就要设计最节省空间的设计，想节省空间两个平面无疑是最符合条件的，所以上盖也要设计成平面，这样从节省空间的角度想应该设计成接近圆柱体的形状。这时我们考虑仍是省料的问题当瓶高和上盖直径的比值接近为一时（见图七），但是从消费者的角度仍然不能接受（不便于握住）然后我们从安全的角度考虑，下底面应该考虑承受罐内液体所带来的压强，因此要设计成球罐状或者旋转抛物面状，这样，如图五、图六所示 那么 形状基本确定，然后我们想，怎样设计比例能够使得这个容器看上去美观又显得容量很大，我们从黄金分割点想，上冠直径和瓶身高的比值应该接近0.618，这样看上去既美观有实用而且很节省材料。这样我们得出的结果与上问中最优解相同，与我们测量的实际数据也相差甚微。所以我们认为这种设计是最优组合。 （图五） （图六） （图七） 程序见附录 （图八）第五问 完成论文，我闭上眼睛仔细回味这三天三夜的感受，在这三天里，三个人为了某个问题争论大半夜，为了查找某部分知识疯狂翻书、为了验证某个结果更是电脑、计算器双管齐下，那种场面会永远让我记忆犹新。三天里,脑子里只想着一件事,那就是如何解决问题.可能很长时间都没有一点思路, 但也许在某一瞬间灵感会突然闪现,都可能使你“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”，那种欣喜足以让我们疯狂。经过这一段时间的学习和应用我们对数学建模还是有了一定的认识，下面我们将阐述一下我们是如何理解数学建模的。一般的 数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。而建立数学模型的过程叫做数学建模。它是把实际问题数学化的过程。它在一定意义上接近实际事物，但它和真实的事物仍有着本质的区别。众所周知，数学作为一门基础学科有着极其广泛的应用，这种性质更被数学建模所传承和发展,另外数学语言描述的事物中处处体现其严谨性，随着计算机技术的广泛应用使得数学建模如虎添翼。我们通过调查、收集数据资料和研究实际对象的固有特征及其规律抓住问题的主要矛盾建立反映实际问题的数量关系，然后利用数学的思想去分析问题，结合计算机软件去解决问题。最后建立一套体系，使它满足人们对这种问题的需求。 进入21世纪的知识经济时代，数学科学的地位会发生巨大的变化，它正在从国家经济和科技的后备走到了前沿。经济发展的全球化、计算机的迅猛发展，数学理伦与方法的不断扩充使得数学已经成为当代高科技的一个重要组成部分和思想库，社会对数学的要求重点也已经从理论转移到实际应用方面模型的关键步骤： 模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用我们认为数学模型的建立应该是最困难的一步，同时也是十分关键的一步。首先在模型假设时就应作出合理、符合一般认识规律的假设，先建立一个条件比较理想化的模型，求出解后进行模型比较、分析，逐步考虑更多条件进行分析。只有合理正确的分析才会有整个模型的建立、求解，也就会有这个模型的成立。数学模型建立的过程中要把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分折和解决问题。这其中需要深厚扎实的数学基础、敏锐的洞察力和想象力还需要对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面，因此说模型的建立是最困难的一步一点都不为过。 6、模型的评价与推广 根据模型中得出的结论与市场上所有听装饮料的调查对比，我们不难发现