用赫尔默特公式计算时后方交会点的精度公式.pdf

19 8 5年 解放军测绘学院学报 第 2期 用赫尔默特公式计算时后方交会点的 精度公式 庄久昌 提要本文根据赫尔默特公式导出了后方交会点位的精度公式 并对它进行了分析 此公式比现有的同类公 式形式简单 勿须中间计算 并弥补了现行教材之不足 从而把 后方交会的精度公式与计 算交会 点坐标的赫尔默特计算公式统一起来 后方交会是在待定点上设站 对必须的已知方向进行观测 通过测得的水平 角和已知点坐标 解算出待定点坐标的一种方法 由于此种交会图形 中每个三角形内只观测了一个角 故 由交会法的实质可知 它不具备确定 交会直线斜率以解算出点位的必要条件 因此出现了后方 交会 即三点题 的种种解法 以前由 于受到计算工具本身的限制 在交会计算中一般普遍采用辅助 角法 利用对数表进行计算 衡量 点位精 度的公式当然是以坐标增量公式化为权函数式推出的 当前 小型计算器在地形控制测量 中普遍应用 赫尔默特公式俘 才显示了它明显的优越性 从而被普遍 采用 但是目前教材上尚未 写进用赫氏公式时的精度分析公式 虽然已有按赫氏公式 推导的精度分析公式 但形式较 为复杂 而且需要进行 中间计算 因此为了使交会计算的公式与评定交会点点位精度的公式配套 为了说 明按赫氏公式推出的精度公式与按坐标增量公式推出的精度公式的一致性 推导了用赫氏公式计 算时后方交会点的精度公式 该式形式简单 明显直观 便于计算 一 公式推导 如图一所示 设A B C为三已知点 P为待定点 a p为观测角 为使推导过程简单起见 设 a 日为独立的角度观测量 显然 丫 3 60 一 a 口 即 Y 是 a 日的函数 赫氏公式即权函数式为 P o x P bxb 十p x x p 一 p P y P yb P y y p 一 p l 式 中 么 B 今 太 y 合 A 图 1 以g A 一c t g a 本文于1985年9月1 6 日收到 卫亦称仿权公式 解放军测绘学院学报 1 985年 协 1 ctgB一以g p 1 tcgC一以gy 2 P e 其中 A B C 为固定角 可以利用三已知点的坐标反算求出 P 二 P p p 对 1 式进行微分 将非线性函数线性化 则 3 d x x dp x dp b x dp p 一 dP dP dp p x a P xb P x c p 2 x 一 x dP x 一 x dP x 一x dP e P x ap dP x饰 dP x e dP e P 4 现按前面假设 以a p 为独立变量对 2 式微分 则有 5 p遥 p e ap 二T 丁一叮广二了一一 Q十一一爪下 万 爪不厂一Qp 5 1耳又口十 P少 511 1 一 L 口 一P少 将 5 式代入 4 式 1 d X 一 一二 一 哎 LPj x p 试 s i n Z a p 同理可得 dy p 对 6 一三 LP y ep P矛 5 in a p a x p试 c x 伏 x 抓 夕UU一 针代尸下 一宁一叮一二 一一一叮一丁二 一 Qp了 3i n s s 一 p犷 y c p 认 y 讯 一 l 丁丁一 夕姗十咬一了三万花丁介爪干了一一一一了二了下一 Qp少 l 西1 1几 气尽十P少万川 P 式求权倒数 户 了 叮 沪 t 1 广 J 勺 少 夕 11 P 二 仁 P 2 11 P P 2 设 交会点p 为m m 端彬瑞 万眷 焉 歹 x a 伏 5 1扩 a x c 民 十 尸代 二户一二一二一 51厅 a 协 y 民 y e 伏 踢讯 51 厅 p y饰p乙 Sin Za 2 的纵横坐标之中误差分别 为m m s讥2 a p 5 1厅p 交会点的点位中误差为从 测角中误差 喊 m 飞 m弓 1 m P x 一只尸 p 一 P m洛 P a 当观 测角a p为等精度观测时 可令 m 二m 二 b 将 b 式代入 a m 式并将 7 式代入得 1 M石一 十 P 矿 万 第 2 期 用赫尔默特公式计算时后方交会点的精度公式 2 汀 P 乙 一兰坚鱼 鱼一 十 51代a 双 琪 s in a 邓 s in Z a 51厅 a 邓 2 y a y 民 民 一 一 一一一 一 了 了 t 十 十 凡川 51才a 砚 民 51厅Q 式 试 sin Q si n Za 5 1厅 a 日 一一竺丛生些生立匹卫 51厅a 滋n Z 位 日 2 y坤 y c p 饥 戊 sin a 51厅 a 日 粤 p 1 P 2 a Z试 滋才 a 火 p民 sin a 邓 又 p民 i s才a 十日 火 民 i s 才 a任书 c Z 民 2伏 民仍 x x c y p y cp i s n 礴 a 印 5 1n Z a 滋呼 公邓 十 箕 典 十甲琪 典 一 s ln p 51几又仪十仁 业 丛华杂共李李半竺竺竺 2氏 伏仍 x x c y如 51厅 日 i s n Z恤 日 m 2 P 2 8 考虑下式 x p a e o s a如 y a 二 a 一 蕊n a 人 x bp b e o sa p y饰 b 一 sina p x ep 二e c osa ep y c p 二 e s in a cp 则 M 二土 m p P 一琴 典卡 一羊理一一兰邺典续螃互 车互亘工 s l n 一 asm 戈 a十p s ln a n a 灯 si 4 n p c Z 民 51才 a p s耐 日 滋厅 十脚 为了简化上式 按图二 中的 A PC 和 BPC可以写出 9 a b a Sin B CP sin p一B bC P sin A sin a一A 现用ax b b x a 则有 a b C P a 一 s i nAb 一s inB s ina 一A s jn 日一B 按同法应有 a sin A sin 0 A 1 b 一 sin B sin p一 B sin A 一 i s n a C sin C 滋 n Y一C 令其为K 则 p 二一 一 Sin a Clg A一心tgo Sln 恤一A a K p b 一石s n p K p 二 一Sln Y C P sina 滋n日 sin 丫 K气 十一二一 一十 2 aOC b e sina 祖 e sinp a b sin丫 二二K气 一 a b C 解放军 测绘学院学报 19 85年 d 1 0 e 1 1 s二s 一 5 inC 将 e M p 士 K 一 a飞 b c d 代入 9 m a b e K Z p 价 s二s is n C 式得 1l 尸 一又十一几一 a C 兰三些卫 点 典一毕擎 a C 厅 C D C 二士 s二s b sin C C is n C sin 丫一C K 有 sin e一乌in 一 e C 将 e 代入 10 式 M 士 11 C P s in Y一C 11 C厌 雳 11 式就是赫氏公式的后方交会点位精度公式 式中 m为侧角仪器的测 角中误差 a b c 为交会边 5 s 为已知边 a 日为观测角 C为固定角 参数求取方便 必要时 可从略图上量取或用计算器反算 公式形式简单 便于 计算 由图二可见 当令乙C A P Y 匕P B C二6 时 s in a 日 c 书i过 36 0 一 a 日 e 月in Y 6 所以 M 土 1 C P sin Y 十石 了畜覆 1 2 12 式与按辅助角用坐标增量公式导出的精度公式是完全一致的 实际上这里的Y 乙 就是辅助角 由测量平差可知 当采用不同的计算公式用不同的计算方法平差时 其精度公式应 当是不同的 即使用相同的计算公式而用不同的方法平差时 其精度公式也是不同的 但是由于 后方交会无多余观测量 因而不存在平差 问题 当然也不存在着平差方法不同的问题 所以尽管 用来计算点位坐标的公式不同 但其点位精度评定的公式仍然是相同的 二 公式分析 1 交会点的精度与交会边成正比 由公式看出 交会点的 点位精度除了与测角精度有关以外 还与交会边和已知边边长有关 实际上 当待定点选定后 交会边与已知边间的相对关系即被确定 就是说观测角 a p 及固定 角C即被确定 为了提高交会点的精度 除了提高测 角精度外 应以较短的交会边和较长的已知边 来构成交会图形比较有利 但是在地形侧量范围内 侧角精度是 与地 形测量的要求相匹配的 所 以要想使交会边皆小于已知边 必须使待定点位于三已知点确定的三角形 中为最理想 由此推之 当采用后方交会的形式发展新点时 以待定点位于已知三角形当中 由大三角形化小三角形的形 式最为有利 硕 第 2 期 用赫尔默特公式 计算时后方交会点的精度 公式 2 交会点的精度与图形强度有关 在 1 1 式中 令 c 涯漂 R二一止匕一一立一二二一一一 sin a 日 C R即通常所指的图形强度 因此 M 一 土R 里 P 1 3 14 14 式说明 在m一定的情况下 R越小 则点位精 度越高 这说明 R就越小 图形强度越好 为了说明点位 情度与图形强度的关系 现以已知边长 为 s 的正三角形为例 图三 说明之 当待定点 p 分别位于图中 1 2 6 处 且观测角 a p 分别 为 a p 1 20 a 4 p 铺 0 a p 司 0 a s 二 p s 二 30 a 3 p 钾 5 o a p 2 0 0 时 其相应的交会边长和点位中误差 如表一所示 表一图 形 强度与点 位 中误 差 氏氏 干日 十C C C 交会边边M p p p a a a a a i 二b b b C i i i i i 3 3 300 叼叮 叮 昼 s s s 士0 5 4里 s s s 2 2 240 3 3 33 3 3P P P 2 2 21 0 1 1 1 V万 万 士0 7 1 里 s s s 1 1 18 0 S S S S S S P P P 1 1 120 2 2 22 2 2 士1 46旦s s s 1 1 100 0 52 5 5 5 S S S p p p 亚亚亚 s s s 时万 万 CX二 二 3 3 3 3 3 3 3 S S S 士2 8 3里 s s s S S S S S S S 3 3 3P P P 例例例1 465 5 5 习 一了s s s m m m 阉阉阉阉0 5 1 5 5 5 土 1 0 6万 点点位位观测 角a 日 a 干日 十十 P P P 1 1 1 120 300 p p p 2 2 2 90 240 j j j P P P75 21 0 p p p 60 18 0 P P P 30 120 P P P 20 100 由上表看出 第一种情况下的点位精度最好 第二种情况次之 以下依次是第六种 第三种 和第五种 第四种情况下 交会角固然尚好 但 由于已位于危险园上 所以此时交出的点位不可 靠 在作业 中应当避 免 上述结果与以往分析的后方交会定点的六种情况是 完全一致的 是对以 往分析的一个理论说明 因此作业 中应当尽量将点选在已知三角形之 中 当不能选在其中时 应 当尽量使观测角a 卜 9 0 或者使点位尽量靠近 c 点 以减小 由于c边的增大对点位精度的影响 3 交会角与图形强度的关系 为了说明交会角与图形强度的关系 现仍以已知边为 s 的正三角形 为例 并且对交会边 交 会角作如下假设 32 二二 二二二 二二 二二二 二二二 一 一一二 a b a p 由图二有 解放军洲绘学院学报 1985年 sin a 30 C 5 Sl n a sin 30 a S Slno 15 而且 将 15 式代入 13 式得 sin a p十C sin Z 口 30 sin a 30 Sln a s in么a 3 0 1 16 Z V了 sin a eo s a 30勺 16 式是在已知边为 s 的正三角形 交会边相等 交会角相等的条件下 交会角与图形强 度的关系式 显然 当a 6 0 时 e o s 9 0 二 o 此时R c o 这正是前述第四种情况 即待定 点已位于由三已知点所确定三角形的外接园上 这就是危险园情况 为了进一步说明交会角与图形强度的关系 可 用不同的观测值代入 16 式 计算出相应的 R值 如表二所示 表二 图形 强度与交 会 角的关 系 1 R R 洲 4 0 03 9 0 3 83 8 03 5 0 115 113 1 12 1 11万 110 0 5254 59 0 52 2461 0 52 1 905 0 52 186 1 0 52197 4 27 57 2014 6 1 60 26 48 2 634 口 2 501891 2 491 049 2 4893 18 2 48 9 979 2 54 2 807 表二从数值上说明待定点在已知三 角形中是有利的 另外 在表 中有两个极值点 一是11 1污 另一是38万 为了说明这一点 现对 16 式求导数 R 二 一丁一下二二二 一百一一一 一一 一 一 一二 一一一一 2丫2 5 1犷 2 C OS Q十 3 0 一 sjn Z aeos a招O J 一 i s n Za sin a 30勺 ZV万 Sin a eos a 30 2 sin a e osa e 仍 a招0 一i n Z a sin a 3 0 一 2 打 sin 05 a 30 第 2期 用赫尔默 特公式计算时后 方交会点的精度公式 一 2 3 合 一 3 cO S 一3 一一一 丁丁 万不矛 J而歹石而而一一一一 一 c o s 3 音 一 2 3 平 2犷了 sin a e 05 a 30 叮 ZV万 1 一 COS 4 30一 eo s Z a 30 sin a co s Z a 30 丫了 一丁石 11 一十二 LCO S 20十 60 二 4Z c os Z a 17 51 厅 e os Z a 30 为了求极值 可令 17 式为零 由于观侧角a不可能为零度 另外又由于在观测中必须避免点位 落于危险园上 所以上式分 母不可能 为零 所以令 生 生 c o 2 6 0 c 2 卜 42 c o 2 6 一 2 一合 e 2 e o 60 一 sin Z 5 1 60 c 2 一上 2 生 c 2 一丛 互 sin Z c 一 上 C O S 30 二 2 一51 3 inZ 一亚 6 e os Za 3仔 一叮 6 Z Q十 30 一 38 一11 1 一0 2 8867 5 10 7 靶 5 3 写 或 即 故既 推证完全证明了表二 中两处极值点的存在 它是在前述条件下待定点的最佳位置 参 考文献 仁l二杨定国 抛形测量学 19 8 2年 解放军测绘学 院出版 2 测量学 下册 198 0 年 武汉测绘学院