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高考复习中关于简单几何体的外接球的问题 球的性质 性质2 球心和截面圆心的连线垂直于截面 性质1 用一个平面去截球 截面是圆面 大圆 截面过球心 半径等于球半径 小圆 截面不过球心组卷网 性质3 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系 用性质3要找好R r d这三个量的值或表达式 练习1 2012年新课标高考文科数学全国卷8题 平面 截球O的球面所得圆的半径为1 球心O到平面 的距离为 则此球的体积为 观察 1图球中 圆为 圆 圆为 圆 两个圆所在平面交线为弦 长度是小圆的直径 假设两个圆为球的经线圈 纬线圈 则它们是相互垂直的两个面 若CBAB 则球的直径为 为什么 因为圆周角为90 所对的弦为圆的直径 所以AC为圆的直径 即为球的直径 大 小 AB AC 认知 性质三是大圆的内在局部特征 有时不妨拓展到大圆的内接三角形去看待它 就比较容易找到球心 或球的直径 拓展时候要记得分析小圆的直径 例题2 2017年高考文科数学全国2卷15 设一个长方体的长宽高分别为1 2 3 求外接球的直径 例题2 2017年高考文科数学全国2卷15 设一个长方体的长宽高分别为1 2 3 求外接球的直径 为什么外接球的直径就是长方体的对角线长度呢 那么我们用球的性质3去解这个问题 还是用刚才我们小结的拓展到大圆的内接三角形解决比较直接呢 练习2 1 已知三棱锥三条侧棱两两互相垂直 且SA 2 SB SC 4 则该外接球的体积为 分析 哪三条侧棱互相垂直 所以我们可以得到三个直角 由线面垂直判定定理还有三个线面垂直的关系 练习2 1 已知三棱锥三条侧棱两两互相垂直 且SA 2 SB SC 4 则该外接球的体积为 方法一补形 是不是所有三棱锥都能补形成长方体呢 不补形怎么做呢 练习2 1 已知三棱锥三条侧棱两两互相垂直 且SA 2 SB SC 4 则该外接球的体积为 是不是所有的三棱锥都可以补形成长方体呢 通过这个图 我们发现不补形也可以做 只要求出小圆的直径 利用勾股定理就可以解出斜边长 即球的直径 已知三棱锥P ABC 在底面ABC中 BC PA底面ABC PA 2 则此三棱锥的外接球的体积为 练习2 2 分析 该怎么放这个三棱锥在球体内呢 想一想 怎样摆球的内接几何体 才能更直观的求出球的半径 一般的垂直于面的棱 其中一面的垂线 放在竖立的大圆 或垂面放在竖立的大圆 小结 1 熟练用性质3 解决关于球心与小圆截面距离的问题 2 把立体几何转化为平面几何的问题来处理 做法 关于球内部几何体的分析 构图时 可以用一竖立的大圆 一横放的圆 小圆 或大圆 来将空间中的三维的量 分别迁移到两圆所在平面二维的图形 来求题目当中的问题 1 若在图1 2 大圆中三角形ABC为等边三角形 且 求球的表面积 思考 2 若图
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