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第二章矩阵及其运算课后习题答案1已知线性变换：求从变量到变量的线性变换解由已知：故 2已知两个线性变换 求从到的线性变换解 由已知所以有 3设, 求解 4计算下列乘积：(1); (2); (3); (4);(5); (6).解 (1)(2)(3)(4)(5)(6) 5设, ，问：(1)吗?(2)吗?(3)吗?解 (1), . 则 (2) 但故(3) 而 故 6举反列说明下列命题是错误的:（）若,则;（）若,则或;（）若,且,则.解 (1)取, ,但(2)取, ,但且(3)取, , . 且 但.7设,求.解 ; 利用数学归纳法证明: 当时,显然成立,假设时成立,则时由数学归纳法原理知:8设,求.解 首先观察 , 由此推测 用数学归纳法证明: 当时,显然成立. 假设时成立，则时，由数学归纳法原理知: 9设为阶矩阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵.证明已知：则 从而 也是对称矩阵.10设都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是.证明由已知： 充分性：即是对称矩阵.必要性：.11求下列矩阵的逆矩阵：(1)； (2)； (3); (4)解 (1) , . (2) 故存在从而 (3) , 故存在 故 (4). 由对角矩阵的性质知 12解下列矩阵方程：(1); (2);(3); (4) .解(1)(2) (3)(4)13利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) (2) 解(1)方程组可表示为 故 从而有 (2) 方程组可表示为 故 故有 14设(为正整数), 证明：.证明一方面， 另一方面，由有故两端同时右乘就有15设方阵满足,证明及都可逆,并求及.证明由得两端同时取行列式: 即,故. 所以可逆,而 故也可逆.由又由 16设为3阶矩阵，求。解 因，故可逆，于是由=及=,得=-=,两端取行列式得=-2.17.设矩阵可逆，证明其伴随阵也可逆，且。证 因=，由的可逆性及，可知可逆，且；另一方面，由伴随阵的性质，有=.用左乘此式两边得=,比较上面两个式子，即知结论成立。18. 设阶矩阵的伴随矩阵为，证明：(1)若,则; (2) .证明 (1)用反证法证明假设则有.由此得.这与矛盾，故当时, 有.(2)由于取行列式得到: 若 则若由(1)知此时命题也成立故有19.设,求.解由可得故20. 设,且,求.解 由方程，合并含有未知矩阵的项，得。又，其行列式-1,故可逆，用左乘上式两边，即得=21.设，求。解 由于所给矩阵方程中含有及其伴随矩阵，因此仍从公式=着手。为此，用左乘所给方程两边，得，又，=2AB-8E=8E=4E.注意到=,是可逆矩阵，且=,于是4=.22.已知矩阵的伴随阵，且，求。解 首先由来确定，由题18知=8,故2，其次化简所给矩阵方程：。(用左乘式两边)(因=)=6(因()可逆)23设,其中,求.解故所以 而 故 24. 设,其中,求.解 因=-6,故可逆，且可求得从而有=.又因为=所以25.设矩阵A、及都可逆，证明也可逆，并求其逆阵。证 要证可逆，由于无法直接寻找一个X,使（）X=E,所以，考虑把用“和化积”思想表示乘可逆矩阵的乘积。因A、已及都可逆，于是=这样，已表示成上最后一个等号三个可逆矩阵的乘积，于是可逆，由可逆矩阵的性质，有=.26.计算解 27取, 验证 .检验: 而, 故28设,求及解 ， 令 , . 则. 故. . 29设阶矩阵及阶矩阵都可逆,求解 将分块为 . 其中, 为矩阵, 为矩阵. 为矩阵, 为矩阵.则由此得到故 30. 求下列矩阵的逆阵：（1）（2）