矩阵与它伴随矩阵的关系1.doc

矩阵与它伴随矩阵的关系摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等.关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵1伴随矩阵的定义 设,则它的伴随矩阵,其中 为中的代数余子式.2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系2.1 .2.2 若A非奇异，则.2.3 .证 当可逆时，且也可逆.故 =另一方面， =由上两式推出 .2.4 .证 当可逆时，且也可逆. 故 又由 故 也可逆，且从而 . 2.5 (为实数). 证 设，再设 ，那么为行列式中划去第行和第列的代数余子式阶行列式，其中每行提出公因子后，可得 由此即证. 2.6 . 证当可逆时，由于 两边取行列式 得 当不可逆时，这时秩所以从而也有 所以对任意阶方阵都有2.7 当秩时，则秩.当秩时则秩.，当秩则秩. 证 当秩那么由上面的（1）式有 所以 即秩 当秩 从而秩 又因秩所以至少有一个代数余子式从而秩于是秩 当秩所以秩同理秩时,秩.2.8 . 证 当秩时，可逆，用左乘（1）式两边可得 （1） 在（1）式中用换得 （2） 当秩时，则秩 从而秩 （3） 综合（2）（3）两式，即证.2.9 若为阶可逆矩阵，则. 证 当时，由 当时，显然有 即 当则存在初等矩阵使得 这里直接验算可知，若是任意初等矩阵，C是任意方阵，则 于是 但是 于是 2.10 设是阶正定矩阵，则是正定矩阵. 证 因为是阶正定矩阵，则，且的特征值又=，故为对称矩阵，且的特征值为故为正定矩阵.2.11 若是正交矩阵，则是正交矩阵. 证 因为是正交矩阵，则于是故也是正交矩阵.2.12 若矩阵与B合同，且都可逆，则与合同. 证 设存在可逆矩阵 （4） 又都可逆，对（4）取逆，则有 即 （5） 其中 再对(4)取行列式有 （6） 则由（1）（5）（6）知 即 其中是可逆矩阵 故 与合同2.13 若矩阵与B相似，且都可逆,则与相似. 证 设存在可逆矩阵 由 ， 有 所以与相似.2.14 若与相似，则与有相同的特征多项式，特征根，行列式，迹，秩.215若与相似，且，都可逆，则与B不一定相似. （与B分别为与的原矩阵）证 因为与的秩都是，所以与都有个原矩阵（，其中分别是，的所有次方根.）设秩且有原矩阵，由2.2知由2.6知 即 设的所有次方根，则有同理B也得证.所以与B不一定相似.参考文献: 1张禾瑞，郝鈵新.高等代数(第五版)M.北京:高等教育出版社,2007,6.2李志慧，李永明.高等代数中的典型问题与方法M.北京：科学出版社,2001,6(7).3刘学生.线性代数分析M.北京：高等教育出版社，2005,1(10).4卢刚.线性代数(第二版)M.北京：高等教育出版社，2003，7(1).The Relationship of Matrix and Adjoint MatrixZhang Ri lian 20091103344College of Mathematics Science, Mathematics and Applied Mathematics，Class 2009Advisor Xiang HuaAbstract:This article gives a definition of adjoint matrix and summarizes some of its properties, adjoint matrix inverse, determinant, transpose, rank. And the relationship of matrix and the adjoint matrix, Two sufficient conditions for the adjoint matrix of similar. Key words: adj