2011考研试题及评分标准.pdf

1 2011 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 一 一 试试 卷卷 考生注意 考生注意 1 本试卷共三大题 本试卷共三大题 23 小题 满分小题 满分 150 分分 2 本试卷考试时间为本试卷考试时间为 180 分钟分钟 题 号 1 8 9 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 总 分 得 分 一一 选择题 选择题 1 8小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分分 下列每题给出的四个选项中 只有一个是下列每题给出的四个选项中 只有一个是 符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定的位置上指定的位置上 1 曲线 234 1 2 3 4 yxxxx 的拐点是 A 1 0 B 2 0 C 3 0 D 4 0 2 设数列 n a单调减少 lim0 n n a 1 1 2 n nk k Sa n L无界 则幂级数 1 1 n n n ax 的收敛域为 A 1 1 B 1 1 C 0 2 D 0 2 3 设函数 f x具有二阶连续导数 且 0 0 0f x f 则函数 ln z f xf y 在点 0 0 处取得极小值的一个充分条件是 A 0 1 0 0f f B 0 1 0 0f f C 0 1 0 0f f D 0 1 0 0f f 4 设 4 0 lnsinIxdx 4 0 lncotJxdx 4 0 lncosKxdx 则 I J K的大小关系为 A IJK B IKJ C JIK D KJI 5 设A为 3 阶矩阵 将A的第 2 列加到第 1 列得矩阵B 再交换B的第 2 行与第 3 行得 单位矩阵 记 1 100 110 001 P 2 100 001 010 P 则A A 12 PP B 1 12 P P C 21 P P D 1 21 P P 6 设 1234 A是 4 阶矩阵 A为A的伴随矩阵 若 1 0 1 0 T是方程组0 x A 的一个基础解系 则 0 x A的基础解系可为 A 13 B 12 C 123 D 234 2 7 设 1 F x与 2 F x为两个分布函数 其相应的概率密度 1 f x与 2 fx是连续函数 则必 为概率密度的是 A 12 f x fx B 21 2 fx F x C 12 f x F x D 1221 f x F xfx F x 8 设随机变量X与Y相互独立 且EX与EY存在 记max UX Y min VX Y 则 E UV A EU EV B EX EY C EU EY D EX EV 二二 填空题 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分分 请将答案写在答题纸请将答案写在答题纸 指定的位置上指定的位置上 9 曲线 0 tan 0 4 x ytdtx 的弧长s 10 微分方程cos x yyex 满足条件 0 0y 的解为y 11 设函数 2 0 sin 1 xy t F x ydt t 则 2 2 0 2 x y F x 12 设L是柱面 22 1xy 与平面zxy 的交线 从z轴正向往z轴负向看去为逆时针 方向 则曲线积分 2 2 y L xzdxxdydz 13 设 二 次 曲 面 的 方 程 222 32224xyzaxyxzyz 经 正 交 变 换 化 为 22 11 44yz 则a 14 设二维随机变量 X Y服从正态分布 22 0 N 则 2 E XY 三三 解答题 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定的位置上 解答应写出文字指定的位置上 解答应写出文字 说明 证明过程或演算步骤说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 本题满分 10 分 分 求极限 1 1 0 ln 1 lim x e x x x 16 本题满分 本题满分 9 分 分 设函数 zf xy yg x 其中函数f具有二阶连续偏导数 函数 g x 导且在1x 处取得极值 1 1g 求 2 1 1 x y z x y 17 本题满分 本题满分 10 分 分 求方程arctan0kxx 不同实根的个数 其中k为参数 18 本题满分 本题满分 10 分 分 I 证明 对任意的正整数n 都有 111 ln 1 1nnn 未知 X和 2 S分别表示样本均值和样本方差 I 求参数 2 的最大似然估计 2 II 计算 2 E 和 2 D 4 2011 年考研数学 一 试题 参考解答和评分标准 一 选择题一 选择题 1 C 2 C 3 A 4 B 5 D 6 D 7 D 8 B 二 填空题二 填空题 9 ln 12 10 sin x ex 11 4 12 13 1 14 23 三 解答题三 解答题 15 解 解 记 1 1ln 1 x ex y x 当0 x 时 ln ln 1 ln ln 1 x xx y e 000 11 ln ln 1 ln 1 ln 1 lim lnlimlim 11 x xxx xxxxx y e 4 分 0 1 ln 1 lim 1 ln 1 x xxx xxx 2 0 1 ln 1 lim x xxx x 0 1 ln 1 11 lim 22 x x x 9 分 当0 x 时 ln ln 1 ln ln 1 x xx y e 00 ln ln 1 ln 1 limlnlim 12 x xx xx y e 综上可知 1 1 0 ln 1 1 lim x e x x xe 10 分 16 解 解 由题意 1 0 g 2 分 因为 12 z yfyg x f x 4 分 2 1111222122 z fy xfg x fg x fyg x xfg x f x y 8 分 所以 2 1 1 x y z x y 11112 1 1 1 1 1 1 fff 9 分 17 解 解 令 arctanf xkxx 则 f x是 上 的 奇 函 数 且 2 2 1 0 0 1 kx ffx x 3 分 当10k 即1k 时 0 0 fxx 即1k 时 在 0 1 k 内 0fx f x单调增加 在 1 k 内 0fx 又 arctan lim lim 1 xx kx f xx x 所以存在 1 k 使得 0f 由 f x是奇函数及其单调性可知 当1k 时 方程 0f x 有且仅有三个不同实根 0 xxx 10 分 18 解 解 I 根据拉格朗日中值定理 存在 1 n n 使得 11 ln 1 ln 1 lnnn n 所以 1111 ln 1 1nnn 4 分 II 当1n 时 由 I 知 1 11 ln 1 0 1 nn aa nn LL ln 1 ln0nn 所以数列 n a单调下降且有下界 故 n a收敛 10 分 19 解 解 因为 1 0fy 1 0f x 所以 1 0 y fy 1 0 x fx 2 分 从而 11 00 I xy xdxyfx y dy 4 分 11 1 0 00 y xyx x yfx yfx y dy dx 11 00 x dyxfx y dx 7 分 11 1 0 00 x x x f x yf x y dx dy 11 00 dyf x y dxa 11 分 20 解 解 I 4 个 3 维向量 123 i 线性相关 1 2 3 i 若 123 线性无关 则 i 可由 123 线性表示 1 2 3 i 与题设矛盾 于是 123 线性相关 3 分 从而 123 113 12450 13 a a 于是5a 此时 1 不能由向量组 123 线性表示 5 分 II 令 123123 A 对A施以初等行变换 101113100215 0131240104210 115135001102 A 6 从而 1123 24 212 2 3123 5102 11 分 21 解 解 I 由于A的秩为 2 故 0 是A的一个特征值 由题设可得 11 00 11 A 11 00 11 A 所以 1 是A的一个特征值 且属于1 的特征向量为 1 1 0 1 T k 1 k为任意非零常数 1 也是A的一个特征值 且属于 1 的特征向量为 2 1 0 1 T k 2 k为任意非零常数 4 分 设 123 Tx x x是A的属于 0 的特征向量 由于A为实对称矩阵 则 1 2 3 1 0 1 0 x x x 1 2 3 1 0 1 0 x x x 即 13 13 0 0 xx xx 于是属于 0 的特征向量为 3 0 1 0 T k 3 k为任意非零常数 6 分 II 令 110 001 110 P 则 1 100 010 000 P AP 8 分 1 100 010 000 APP 11 22 11 22 1101000001 0010100000 110000010100 11 分 22 解 解 I 由 22 1P XY 得 22 0P XY 所以 0 1 0 1 1 0 0P XYP XYP XY 故 X Y的概率分布为 X Y 1 0 1 0 0 1 3 0 1 1 3 0 1 3 4 分 II ZXY 的可能取值为1 0 1 由 X Y的概率分布可得Z的概率分布为 7 分 Z 1 0 1 P 1 3 1 3 1 3 7 III 由X Y及Z的概率分布得 222 0 0 393 EXDXEYDYEZE XY 所以 0 Cov X Y 0 XY 11 分 23 解 解 I 设 12 n x xxL为样本观测值 则似然函数 2 0 2 1 1 222 2 2 n i i n x Le 222 0 2 1 1 ln ln 2 22 n i i n Lx 令 2 ln 0 dL d 得 2 0 24 1 1 0 22 n i i n x 从而得 2 的最大似然估计 22 0 1 1 n i i X n 6 分 II 解法 解法 1 由于 2 20 2 1 22 n i i X n n 8 分 所以 2 22 En n 44 2 2 2 2Dn nn 11 分 解法解法 2 222 0 1 1 n i i EE X n 8 分 44 2222 10 010 2 1 112 n i i X DD XD XD nnnn 11 分 8 2011 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学 二 二 试试 卷卷 考生注意 考生注意 1 本试卷共三大题 本试卷共三大题 23 小题 满分小题 满分 150 分分 2 本试卷考试时间为本试卷考试时间为 180 分钟分钟 题 号 1 8 9 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 总 分 得 分 一一 选择题 选择题 1 8小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 32 分分 下列每题给出的四个选项中 只有一个是下列每题给出的四个选项中 只有一个是 符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸符合题目要求的 请将所选项前的字母填在答题纸 指定的位置上指定的位置上 1 已知当0 x 时 函数 3sinsin3f xxx 与 k cx是等价无穷小 则 A 1 4kc B 1 4kc C 3 4kc D 3 4kc 2 设函数 f x在0 x 处可导 且 0 0f 则 23 3 0 2 lim x x f xf x x A 2 0 f B 0 f C 0 f D 0 3 函数 ln 1 2 3 f xxxx 的驻点个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 4 微分方程 2 0 xx yyee 的特解形式为 A xx a ee B xx ax ee C xx x aebe D 2 xx x aebe 5 设函数 f x具有二阶连续导数 且 0 0 0f x f 则函数 ln z f xf y 在点 0 0 处取得极小值的一个充分条件是 A 0 1 0 0f f B 0 1 0 0f f C 0 1 0 0f f D 0 1 0 0f f 6 设 4 0 lnsinIxdx 4 0 lncotJxdx 4 0 lncosKxdx 则 I J K的大小关系为 A IJK B IKJ C JIK D KJI 则 xf x dx 13 设平面区域D由直线yx 圆 22 2xyy 及y轴所围成 则二重积分 D xyd 14 二次型 222 123123121323 3222f x xxxxxx xx xx x 则f的正惯性指数为 三三 解答题 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定的位置上 解答应写出文字指定的位置上 解答应写出文字 说明 证明过程或演算步骤说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 本题满分 10 分 分 已知函数 2 0 ln 1 x tdt F x x 设 0 lim lim 0 x x F xF x 试求 的取值范围 16 本题满分 本题满分 11 分 分 设函数 yy x 由参数方程 3 3 11 33 11 33 xtt ytt 确定 求 yy x 的 极值和曲线 yy x 的凹凸区间及拐点 17 本题满分 本题满分 9 分 分 设函数 zf xy yg x 其中函数f具有二阶连续偏导数 函数 g x 导且在1x 处取得极值 1 1g 求 2 1 1 x y z x y 18 本题满分 本题满分 10 分 分 设函数 y x具有二阶导数 且曲线 l yy x 与直线yx 相切于 原点 记 为曲线l在点 x y处切线的倾角 若 ddy dxdx 求 y x的表达式 10 19 本题满分 本题满分 10 分 分 I 证明 对任意的正整数n 都有 111 ln 1 1nnn 5 分 又因为 2 2 0 1 000 ln 1 ln 1 lim limlim x xxx tdt x F x xx 2 3 1 00 1 limlim xx x x x 由题意 0 lim 0 x F x 得3 综上所述 13 的特解形式为 A xx a ee B xx ax ee C xx x aebe D 2 xx x aebe 5 设函数 f x具有二阶连续导数 且 0 0 0f x f 则函数 ln z f xf y 在点 0 0 处取得极小值的一个充分条件是 A 0 1 0 0f f B 0 1 0 0f f C 0 1 0 0f f D 0 1 0 0f f 的泊松分布 12 2 n XXXn L为来自该总体的简 单随机样本 则对于统计量 1 1 1 n i i TX n 和 1 2 1 11 1 n in i TXX nn 有 A 1212 ETET DTDT B 1212 ETET DTDT C 1212 ETET DTDT D 1212 ETET DTDT 二二 填空题 填空题 9 14 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 24 分分 请将答案写在答题纸请将答案写在答题纸 指定的位置上指定的位置上 9 设 0 lim 1 3 x t t f xxt 则 fx 10 设函数 1 x yx y z 则 1 1 dz 11 曲线tan 4 y xye 在点 0 0 处的切线方程为 12 曲线 2 1yx 直线2x 及x轴所围的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积 为 13 设二次型 123 T f x x x x Ax的秩为 1 A的各行元素之和为 3 则f在正交变换 Q xy下的标准形为 14 设二维随机变量 X Y服从正态分布 22 0 N 则 2 E XY 三三 解答题 解答题 15 23 小题 共小题 共 94 分分 请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定的位置上 解答应写出文字指定的位置上 解答应写出文字 说明 证明过程或演算步骤说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分本题满分 10 分 分 求极限 0 12sin1 lim ln 1 x xx xx 16 本题满分 本题满分 10 分 分 已知函数 f u v具有二阶连续偏导数 1 1 2f 是 f u v的极值 zf xy f x y 求 2 1 1 z x y 17 本题满分 本题满分 10 分 分 求不定积分 arcsinlnxx dx x 18 本题满分 本题满分 10 分