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第1章 行列式一、内容解析 1.理解阶行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算 阶行列式表示一个由特定的运算关系所得到的数，当时，当时， 其中数为第行第列的元素， 为的代数余子式，为的余子式，它是由划去第行和第列后余下元素构成的阶行列式，即要注意，元素的余子式与代数余子式之间仅仅相差一个代数符号 2.掌握利用性质计算行列式的方法 任何一个行列式就是代表一个数值，因此行列式之间的运算就是数之间的运算 计算行列式的方法有：（1）按某一行（列）展开，展开时必须要正确掌握代表余子式的概念和计算（2）根据行列式的性质1与性质5对行列式作简化，以使许多元素成为“0”，而且要尽量使“0”出现在同一行（列）中（3）利用性质，把所计算的行列式化为三角行列式，而三角行列式的值等于主对角线元素的乘积（4）是范德蒙行列式则可直接套用结果利用行列式可以表达未知数个数和方程式个数相等的线性方程组的解（在系数行列根据行列式的性质1与性质5对行列式作简化，以使许多元素成为“0”，而且要尽量使“0”出现在同一行（列）中 3.知道克莱姆法则 如果线性方程组的系数行列式，那么它有解二、典型例题例1 填空题（1）阶行列式中元素的代数余子式与余子式之间的关系是 （2）设行列式，则中元素的代数余子式= （3）（4）行列式（5）行列式解：（1）由代数余子式与余子式的概念可知，应该填写：（2）由代数余子式的定义，应该填写：（3）因为 所以，应该填写：18 （4）因为 所以，应该填写：4 （5）因为 所以，应该填写：-6 例2 单项选择题 （1）行列式的元素的代数余子式的值为（ ）A33 B-33 C56 D-56 （2）设 ，则的余子式（ ） A是M B是N C 是M和N D不是M和N（3）下列等式成立的是（ ），其中为常数 A B C D （4）行列式 =（ ）A B C D （5）设，则的根是（ ）A B C D 解：（1）因为元素的代数余子式，所以正确答案：D （2）因为 的余子式为划去行列式D的第一行、第二列的元素后，组成的二阶行列式，即，所以正确答案：A （3）由行列式性质，得，故正确答案：B （4）因为 = 所以正确答案：D （5）由 得根为故正确答案：C 例3已知行列式，写出其代数余子式，并求的值 解：首先写出余子式M43，即去掉原行列式中第四行，第三列的所有元素，将剩下的元素按原来的顺序排列成的三阶行列式；然后利用公式，写出并计算出它的值 由 ， 得 且 例4计算行列式 解：可以直接计算其值，但运用性质可能更简便更不易出错此行列式的特点是每一行或每一列的元素之和相等，利用这个特点将行列式的第二、三列都加到第一列相应的元素上，提取公因式，在降阶求值即 例5计算行列式 解：首先从行列式中提取公因式，去掉分母；然后选择含零较多的行或列展开，逐步求出其值 例6计算行列式
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