思路自然学生才能学得会_几道数学问题的另解.pdf

数 学通 讯 2013 年 第 5 6 期 上半月 辅教导学 思路自然学生才能学得会 几道数学问题的另解 郑良 安徽省 灵璧第一 中学 23 4 200 5 数学通报 6 5数 学教 学 6 5数 学通讯 学 生 刊 等杂 志定 期推 出数 学 问题 这些 问题 新颖 别 致 可探索性强 召唤着我们去研究和创造 出更多 相关的问题 引 领学 生探究 优美解法 及其结论 推 广 起到启迪 思维 开发智力 扩宽视 野 提升能力 的作用 所 以它被作 为 师生竞赛 和 自主招生 等教 与学的 良好载体 教学 中发现 某些 问题 的解题思 路不够 自然 技巧性过强 脱离 了师生群体 的认知 基础 就此生 吞活 剥 强行 灌输 不但无 法达到预 期 的效果 反而容易挫伤学生学习的积极性 笔者 结合学生情况对 部分 问题给 出另解 不足之处 欢 迎大家批评指正 题 1 数学通报 6问题 2085 在单调递增数 列 a二 中 a 1 a 2 且 aZ 1 aZ二 aZ 1成等差 数列 aZ aZ 1 aZ 成等比数列 n l 2 3 I 求数列 a 的通项公式 n 设数列 生 的前 项和为s 证 明 s N 即 2 了 硫 所 以数列 了 刃 一 瓜了 一 了 瓦二 抓琢万 了 石 万 是以 左 万 涯 为首项 d 涯 二 二 1 1 瞥 为公差的等差数列 22 一 一 一 一 一 一 所以 当 n 为偶数时 必刃 一 杯刃 n 一2 西 生 22 而 万 n 2 4 即 a n 2 8 aZ 丫aZ aZ 2 一 n 1 n 十 2 2 所 以 当 n 为奇数且 n 3 时 气 当 n 一 1 时上式 也成立 综上可知 n 1 n 十 3 8 二 卫 土丛 2二 卫 土旦 2 a 一 业 书兰 九 为 偶 数 为奇数 4 n 十 2 即 a n 任 N n乙 1 7 一 1 二 了 一下 犷n 卞一 一 下 二二一一一 气 n七洲 O乙1 0 文 1 2的解题 思路是 构造辅助数 列 王 b 其 1 1 由 I 知 中 b aZ 叶l 反 2 l n 任 N 得 到 b 1 4 b 1 十 b 一1 根据 特征方程可得数列弋 广1 一 是 首项为 喜 口 一1乙 公 差 为 喜 乙 一 生一一 0去奇扮 一 0 0 0一 0一 卜 一兰一 n 为偶扮 以 n 2 一0 一 当 n 为偶数时 的等差数列 进 而求 得 b n 十 2 n 利用累乘法求 得 aZ l 根 据题设 条件 aZ aZ二 aZ 求得 aZ 求 出数列 a 的通项公式 第 n 问对 n 分奇偶讨 论证明 过程较为繁杂 18 8 一丁 下 下 二二 从 下 片 一下 不厂7 了一 万下 口 戈刀 寸 乙 气刀 州 一1 气 刀 寸 j 因此 对于任意 n 任 N 都有 1 8山 11 泛 乏 了 二 一 二 一任L 一 a 一又 n 十 1 八 n 十 3 n 十 In 十 3 另解 I 由题意可得 a3 一 3 a4 9 一 乙 a 艺 当 二一 1 时 s 一 卫 4一1o 由 a呈 aZ aZ 可得 aZ 丫aZ aZ 代人 2a2 aZ卜1 aZ 得 2a2 一 丫aZ aZ 丫aZ a n 2 n 任 当 n 2 时 s 一 生 十生 仅 a0 一 1 1 义 任戈二 二 一 卜 二 艺J 1 n 十 2 匕 n 十 3 辅教 导学 数 学通讯 2013 年 第 5 6 期 上半 月 1 111 4 n 久住戈 下 十 二 犷 一 亡 一万万 一 二石r 万 一 二工一 石 乙O邢门厂 l口 l 月 5 住气 下 一 b n 1 n 2 l 尸气 少 左 J 明 另证不等式 的左边是轮换对称式 不妨设 0 任 脚2 时 容 易 知 道 沂 不 万 Zn n 5 八 二 二 号 一 兮 二万 下气尸一 尸 U 3 叹 n 十 艺八 n 十 J 夕 所 以 S 4n n 2 沂 不 忍 一 价 二万一价一 含 单 调 递 增 所 以 函 数 气 了 二 不 石 一 碑丫 弄 万 是 因此 对于任意 n 任 N 均有 S 4n n 十 2 评析原解法构造数列 b 是个难点 化归 得 到 等 差 数 列 丁 头 更 是 不 易 证 明 中 放 缩 略 显 付 月 可 砚 b 一 1 一 一 一 一 一 一 一 突兀 新解法找准解题 的切人点 容易得到等差数 列 兔 乘胜追击 势如破竹 证 明中充分利用数 列 生 通项公式的结构特点 合理联想 小心 7 2 38的单调递增函数且恒非负 故当a 一 2 时 y 取 得 剔值 不 二万 万 一 沂礴 一 当 一3时 二 厂 一 下 厂厂了 尸了 2 y 取 得 最 灭 沮 a 十 了 一 70 十 丁一 一 下乡 vov M 3 口月 推证 题 2 数学通报 6问题 2078 已知正实数x 所 以 原不等式成立 当且仅 当a 3 b 1或 a 1 b 3 时取等号 评析原解法利用化归思想 平 方后转 化为 t a b 的函数 新证法利用 a 右 之间的关联 巧妙判 y 满足了 犷 一 扩 犷 求证 扩 十少 镇 2 文 1 2 2的解题思路是 当x y 有一个为 1 的情 况 当 x y 均不为 1 时 不妨设 x 妻 y 推理得知只 能有 y y 时 有 扩 少 扩 少 当 x y 时 有 x s 犷 扩 一 少 当 x y 时 有 尸 犷 扩 0 记角 A B C 所对 的边分别是 a b 1 若3k Z ac a 十 护 一 护 sinZB 的值 Z A C 护 抓C U S 一一气