管道中湍流.doc

管道中湍流研充管道中流动（内流）具有重要的实际意义，工程技术领域中会广泛地遇到这种流动。在管流的进口段，流动受入口处形状及条件的影响很大，湍流尚未完全发展，经过大约（25-40）倍管直径的距离后，流动趋于完全发展的湍流，形成稳定的均匀流动。本章仅限于讨论圆管中湍流流动。设从管轴起算的距离为，从壁面起算的径向距离力，在处圆柱面上切应力为，根据受力平衡条件，得式中为圆柱的长度，是圆柱两端的压力降。由此可得 （1）可见，切应力与成线性规律变化的，图1所示。式（1）不仅适用于湍流而且适用于层流，在壁面（）上摩擦切应力达到最大值 （2）图1 管道剪切应力示意图管道单位长度上的压力降可表示为 （3）式中为圆管断上平均速度，为流动阻力系数，为流体密度，为圆管直径。将（3）式代入（2）式，得壁面上摩擦切应力表达式 （4）式中摩擦系数。在1911年布拉修斯（Blasius）对于光滑圆管进行实验得出流动阻力系数的公式： （5）上式称为布拉修斯阻力定律。这个公式的适用范围为：将式（5）代入（3）式可知，压力降与平均速度的74次方成正比，而在层流情况下压力降与平均速度成正比。图2绘出布拉修斯阻力定律与实验结果的比较，可以看到，当时二者能很好地吻合，当二者稍有偏离。图2 布拉修斯阻力定律与实验结果的比较尼古拉兹仔细地测量了光滑圆管的速度分布。对应于不同雷诺数情况下，无量纲速度分布绘于图3中（图中横坐标为，纵坐标为无量纲速度）。从图中可以看出，随着雷诺数的增加速度型越来越变得丰满。速度型方程采取如下形式 （6）指数与雷诺数弱相关。如表1所示。表1 指数与雷诺数的关系n678910Re4.001031.001051.201053.501053.24106图3无量纲速度分布图根据流量的连续性方程式，有将（6）式代入上式，求得平均速度与最大速度之间关系式 （7）对不同的n值，求得值列于表2中。表2 指数与雷诺数的关系n6789100.7910.8170.8370.8520.865一、阻力与速度的关系布拉修斯阻力定律（5）和速度型（7）之间存在着内在的联系。这对于湍流有很大的意义。将式（5）的值代入式（4）中，得或 （8）式中为流体运动粘度。引用摩擦速度得写为或者 （9）利用平均速度与最大速度之间的关系式（8），如果取（相对应），此时相对应雷诺数。由（36）式可得 （10）式（37）不仅适用于管中心（）而且适用于任意距离，有 （11）上式是由布拉修斯阻力定律引导出次速度分布规律。令，则（11）式可写成 （12）上式称为17幂次速度分布律，适用于。般地，可将（12）式写为 （13）对于不同的，值如表3所示。表3789108.749.7110.611.5另外，由（11）式求出，得在壁面上摩擦切应力 （14）或者 （15）一般地，由式（13）求出，得 所以在壁面上摩擦应力 （16）或者 （17）式中设，则有 （18）式中对于不同的、和值如表4所示表4789101/42/91/52/110.02250.01750.01420.0118二、普适速度分布规律从上面可以看到，幂次型速度分布的雷诺数应用范围是有限制的。速度分布规律的幂次指数是随着雷诺数的增加将越来越小。在雷诺数很大的极限情况，速度分布或者阻力存在着渐进规律，即对数定律。这种渐近特性仅仅对于湍流流动才有。对数速度分布规律在很大的雷诺数范围都是适合的。普兰特混合长半经验理论直接给出了时均速度与雷诺应力分量的关系式，可以求出圆管中湍流流动的对数速度分市规律。讨论圆管中定常、均匀的平面平行的湍流流动，布辛聂斯克（Boussinnesq J）提出雷诺切应力写为如下形式 （19）式中为方向脉动速度，为方向脉动速度，系数代替粘性系数称为涡粘性系数或称涡流交换系数。为了确定雷诺切应力或者涡粘性系数，后来的不少学者进行了大量的理论与实验研究，其中有普兰特的混合长理沦，泰勒的旋涡转移理沦，卡门（Von Karman）的相似理论等，应用比较广泛的是普兰特的混合长理论。上述理论在解决工程技术中的实际问题时起了很大的作用，尽管这些理论也有些局限性和缺陷。普兰特混合长理论认为 （20）式中称为混合长。考虑到和应当具有相同的符号， 上式确切地表达为 （21）混合长是一个假想的长度，随位置不同而不同。将上式与式（19）比较得涡粘性系救 （22）可见，涡粘性系数与粘性系数是根本不同的：粘性系数是由流体的分子热运动和分之间相互作用决定的，与流体的宏观运动无关，是表征流体本身的物理特征量；湍流交换系数与流体的宏观运动有关，也与湍流的结构有关，是由于流体微闭横向脉动在两流层间产生的动量宏观传递的结果。实验告诉我们：除了直接靠近壁面外，量要比粘性系数大几万倍。而且系数沿管断面是变化的。管道中时均运动的总切应力表达式为 （23）只有在直接靠近管壁处，项的大小才能与项相此。在壁面外值很大。因此除了直接靠近管壁的区域外，粘性切应力与湍流雷诺切应力比较是对以忽略的。下面来研究圆管中速度分布规律问题。对于湍流核心，湍流切应力要比粘性切应力大很多，所以在（52）式中可以忽略第一项，并且假设切应力等于壁面上的摩擦切应力，则有 （24）根据尼古拉兹实验测得的结果，普兰特混合长理论中的混合长度与的关系式为 （25）在紧靠壁面附近，即在时，上式可近似为即（），这就是普兰特假设的结果。图4为式（25）与实验结果的比较，对光滑管和粗糙管均能适用。（a）光滑管 （b）粗糙管图4混合长度随位置的变化关系由式（24）和普兰特混合长假设，简化得 （26）式中具有速度量纲，称为摩擦速度。积分上式得在管中心铀线上，求出积分常数，代入上式整理得 （27）或者 （28）上式称为速度亏损定律，在很大雷诺数范围内都适用，对光滑管和粗糙管同样适用，所以表示的是普通速度分布规律。图5 速度亏损理论与实验比较在图5中，将式（28）理论曲线与在很大雷诺数值情况下的实验点相比较，具有很强的一致性。由式（26）的积分也可得： （29）或者写为式中，积分常数由实验确定，于是 （30）由式（28）、式（30）看到，当无限靠壁面时（），速度将趋于无穷大，这与实际情况是不相符合的。图6给出了式（30）的理论曲线，与实验值比较，除了十分靠近壁面附近外，几乎是完全重合的，但在靠近壁面附近相差很大。这是因为在靠近壁面附近，混合长很小，因而湍流应力很小，这时粘性应力可以大大超过湍流应力，粘滞应力将起主导作用。粘性应力起主导作用的靠近壁面的薄层称为粘性底层。图6 、理论与实验比较在粘性底层中，式（23）简化为或者 （31）利用壁面上粘滞条件：，确定积分常数，积分式（31）得或者 （32）可见，在粘性底层中速度线性分布。应当指出，在速度分布式（32）中不显含雷诺救，但雷诺数对固壁附近速度分布的影响是通过摩擦速度（或者摩擦应力）间接表现出来的。一般说来，管道中湍流运动可以分成三个性质上不同的区域：一个是湍流核心区域，即管轴中心的宽广区域，该区域为完全的湍流运动，湍流切应力起主导作用，时均速度用式（30）来描述；二是粘性底层区域，靠近壁面附近的区域，粘性切应力起主导作用；速度分布用式（32）来描述；三是过渡区域，它介于枯性底层和湍流核心之间的区域，粘件切应力与湍流切应力同等重要，此区域很薄，又比较复杂，一般进行计算时常将此区域忽略。由实验知道：当时为粘性底层当时为过渡区当为湍流核心区粘性底层厚度的确定，在粗略近似下，可将管道中全部流动分成两个有代表性的区域：湍流核心区和粘性底层区，且认为湍流核心区和粘性底层区是直接相接连的。如果湍流核心的时均速度用式（30）计算，粘性底层的速度用（32）式计算，在这两个区域的相接连的边界上，根据时均速度的连续性，很容易算出粘性底层的厚度，把粘性底层的厚度记为，则有 （33）解上方程式得 （34）从（32）式得到式中是粘件底层的外边界上的时均速度，它与摩擦速度的比值是一常数。由式（34）求出 （35） 再由式（4）得或者 （36） 将上式的代入式（35）得 （37）式中为雷诺数，为湍流流动阻力系数。三、湍流阻力规律有了湍流的速度分布和粘性底层的厚度公式，可以求出阻力规律。首先，求出圆管断面上平均速度：对式（28）按上述平均法，有 （38）故 （39）由式（36）得 （40）由式（29）得利用上式，由式（39）得将上式代入（6.69）式，得图6阻力系数理论与实验比较或者 （41）如将上式稍加修正，得 （42）式（42）与实验值更好地符合一致，如图6所示，这是一个对光滑管的阻力通用公式，称为普兰特阻力公式。尼古拉兹（Nikuradse）的实验表明，对于都能很好地吻合。对于粗糙管，尼古拉兹做了大量系统的实验研究：设是壁面凸出的平均高度，称为管壁粗糙度：粗糙壁面对速度分布的影响，表现在式（29）速度分布式中的值的变化上，与光滑壁面时的值相差的差值为，于是有 （43）式中 ，将由试验加以确定，实验表明：（1） 水力光滑区壁面粗糙度完全被粘性底层所淹没，（2） 不完全粗糙区（过渡状态）壁面粗糙度部分露在粘性底层的之外，（3） 完全粗糙区表面粗糙度完全暴露在帖性底层之外，实验得出：当时，在完全粗糙区：，于是有代入（43）式，得或者 （44）上式微粗糙管中速度分布公式，在下图中绘出式（44）曲线，与实验值符合一致。图7 速度理论与实验比较利用粗糙管的速度分布规律（44）式，与光滑管一样，可以导出粗糙度的阻力规律。管断面平均速度式（39）对于粗糙管也是成立的，有对于管中心，由式（44）得出将上式代入到平均速度表达式中，有由此得出或者流动阻力系数 （45） 与尼古拉兹实验值相比较，将式中常数1.68换成1.74，与实验值更为一致，如图8所示。 （46）常用管道、管壁的绝对粗糙度管道材料及状况（mm）管道材料及状况（mm）新铜管、不