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自动控制原理 张萃珍 1 三明学院机电工程学院 本学期课程安排 教材 胡寿松 自动控制原理简明教程 科学出版社 课程内容 第一章 第六章 课程总学时 48 16 参考文献 KatsuhikoOgata 现代控制工程 第四版 电子工业出版社 高国淼 自动控制原理 华南理工出版社 刘坤 MATLAB自动控制原理习题精解 国防工业出版社 胡寿松 自动控制原理习题集 科学出版社 王莹莹 自动控制原理全程导学及习题全解 科学出版社 2 成绩构成 期末60 平时 实验40 考试形式 考试 闭卷 3 该课程与其它课程的关系 复变函数 拉普拉斯变换自动控制原理 线性代数电路理论模拟电子技术 微积分 含微分方程 大学物理 力学 热力学 电机与拖动 各类控制系统课程4 自动控制原理各章关系 5 第一章控制系统导论 1 1自动控制的基本原理1 2自动控制系统示例1 3自动控制系统的分类 1 4自动控制系统的基本要求1 5控制系统的典型输入信号 6 7 1 1自动控制的基本原理1 1 1自动控制技术及其应用自动控制自动控制是在没有人的直接干预下 利用物理装置对生产设备和工艺过程进行合理的控制 使被控制的物理量保持恒定 或者按照一定的规律变化 例如锅炉温度控制 化工过程流量 温度 液位的控制 等等 自动控制系统自动控制系统是为实现某一控制目标所需 要的所有物理部件的有机组合体 自动控制技术的应用 开始多用于工业 压力 温度 流量 位移 湿度 粘度自动控制 后来进入军事领域 飞机自动驾驶 火炮自动 跟踪 导弹 卫星 宇宙飞船自动控制 目前渗透到更多领域 大系统 交通管理 图 书管理等 生物学系统 生物控制论 波斯顿假肢 人造 器官 经济系统 模拟经济管理过程 经济控制论 8 9 勇气 号在火星工作的英姿 深度撞击 撞击器 10 1 1 2自动控制理论发展史 自动控制理论 关于自动控制系统的理论 自动控制理论是怎样产生的呢 12 十八世纪以后 蒸汽机的使用提出了调速稳定等问题 1765年俄国人波尔祖诺夫发明了锅炉水位调节器 1784年英国人瓦特发明了调速器 蒸汽机离心式调速器1877年产生了赫氏判据和劳斯稳定判据 十九世纪前半叶 动力使用了发电机 电动机 促进了水利 水电站的遥控和程控的发展以及电压 电流的自动调节技 术的发展 十九世纪末 二十世纪初 使用内燃机 促进了飞机 汽车 船舶 机器制造业和石油工业的发展 产生了伺服 控制和过程控制 二十世纪初第二次世界大战 军事工业发展很快 13 飞机 雷达 火炮上的伺服机构 总结了自动调节技术及反馈放大器技 术 搭起了经典控制理论的架子 但还没有形成学科 自动控制成为一门科学是从1945发展起来的 1 经典控制理论时期 1940 1960 第二次世界大战时期开始 经典控制理论逐渐发展成熟而形成为独立学科 频率分析法和根轨迹分析法 构成了经典控制理论的基础 在此期间 也产生了一些非线性系统的分析方法 如相平面法和描述函数法等 以及采样系统的分析方法 数学工具 主要是线性微分方程和基于拉普拉斯变换的 传递函数 研究对象 基本是单输入 单输出系统 目标 反馈控制系统的稳定 典型成果 雷达 高炮跟踪系统 轧钢机控制系统 液 15 压伺服系统等 2 现代控制理论时期 20世纪50年代末 60年代初 50年代 70年代 空间技术与军事技术的发展提出了许多复杂控制问题 用于导弹 人造卫星和宇宙飞船上Kalman 控制系统的一般理论 奠定了现代控制理论 的基础 数学工具 主要是状态空间法 研究对象 研究对象更为广泛 如线性系统与非线性系统 定常系统与时变系统 多输入 多输出系统 变量耦合系统等 目标 最优控制 典型成果 空间技术 军事技术 多方面的工业技术 我国 火箭发射控制技术 人口模型与中国人口控制 16 3 大系统和智能控制时期 20世纪70年代 各学科相互渗透 要分析的系统越来越大 越来越复杂 70年代 至今 基于人脑的思维 学习 推理 决策功能研究与发展的 是当前控制理论学科研究的前沿领域 主要研究方向 自适应控制理论 模糊控制理论 人工神 经元网络 浑沌理论研究等 主要研究成果 各种自动设计系统 神经计算机 机器人 控制系统 模式识别 人工推理机等 4 正在发展的各个领域 自适应控制大系统理论H 鲁棒控制 17 非线性控制 微分几何 混沌 变结构 1 1 3自动控制的基本原理 反馈控制原理 人工控制的例子示例 水池水位控制人工控制 被控对象 水池被控量 水池的水位 观测实际水位 将期望的水位值与实际水位相比较 两者之差为误差 根据误差的大小和方向调节进水阀门的开度 即当实际水位高于要求值时 关小进水阀门开度 否则加大阀门开度以改变进水量 从而改变水池水位 使之与要求值保持一致 人脑 记住水位的期望值 人眼 观察水池的实际水位 测量 测量反馈机构 人脑 比较水池的期望值 实际值 比较机构 控制人手 调节进水阀门的开度 执行控制作用 执行 执行机构 是一个反复观察测量 比较 调整执行的过程 力图将水池水位的期望值与实际值之间的差值减为0 Show e 原理方框图 Qo扰动 H实际液位 脑 Hs给定值 手 u 水槽 Qi 眼 H 测量值 19 人工控制精度不高 人的反应不够快 不少恶劣的场合人无法参与直接控制 自动控制系统可以解决以上问题 3 自动控制 AutomaticControl 是指在没有人直接参与的情况下 利用自动控制装置 或称为控制装置或控制器 使机器 设备或生产过程 统称为被控对象 的某个工作状态或参数 称为被控量 自动地按照预定的规律运行 抽水马桶的例子 What 课本上的例子 自动控制的例子 当实际水位低于要求水位时 电位器输出电压值为正 且其大小反映了实际水位与水位要求值的差值 放大器输出信号将有正的变化 电动机带动减速器使进水阀门开度增加 直到实际水位重新与水位要求值相等时为止 期望水位 Show 电位计 连杆 人脑 记住水位的期望值 浮子 人眼 观察水池的实际水位 电位计 连杆 人脑 反映误差 水位的期望值 实际值 电动机 人手 调节进水阀门开度 执行控制作用 是一个反复观察测量 比较 调整执行的过程 力图将水池水位的期望值与实际值间的差值减为0 即误差为0 控制过程 测量 测量反馈机构 浮子比较 比较机构 电位计 连杆执行 执行机构 电动机 人工控制原理方框图 e u Qo扰动 Qi H实际液位 脑 Hs给定值 手 水槽 眼 H 测量值 自动控制原理方块图 控制器 e 执行器 u 水槽 Qo扰动 Qi H实际液位 Hs给定值 H 测量值 21 变送器 反馈 通过测量变换装置将系统或元件的输出量反送到输入端 与输入信号相比较 反送到输入端的信号称为反馈信号 负反馈 反馈信号与输人信号相减 其差为偏差信号 负反馈控制原理 检测偏差用以消除偏差 将系统的输出 22 信号引回输入端 与输入信号相减 形成偏差信号 然后根据偏差信号产生相应的控制作用 力图消除或减少偏差的过程 被控制量 在控制系统中 按规定的任务需要加以控 制的物理量 控制量 作为被控制量的控制指令而加给系统的输 入星 也称控制输入 扰动量 干扰或破坏系统按预定规律运行的输入量 也称扰动输入 23 1 2 1一个典型的反馈控制系统的基本组成部分 信号从输入端沿箭头方向到达输出端的传输通道称前向通路 系统输出量经测量元件反馈到输入端的传输通道称主反馈通路 前向通路与主反馈通路共同组成主回路 Show 被控对象 被控过程 又称控制对象或受控对象 指需要对它的某个特定的量进行控制的设备或过程 被控对象的输出变量是被控变量 常常记作输出信号或输出量 被控对象除了受到控制作用外 还受到外部扰动作用 给定元件 其作用是给出与期望的输出相对应的系统输入量 是一类产生系统控制指令的装置 测量反馈元件 如传感器和测量仪表 感受或测量被控变量的值并把它变换为与输入量同一物理量后 再反馈到输入端以作比较 比较元件 比较输入信号与反馈信号 以产生反映两者差值的偏差信号 放大元件 将微弱的信号作线性放大 校正元件 也叫补偿元件 它是按某种函数规律变换控制信号 以利于改善系统的动态品质或静态性能 执行元件 根据偏差信号的性质执行相应的控制作用 以便使被控制量按期望值变化 如电动机 气动控制阀等 自动控制系统 是由被控对象和自动控制装置按一定方式联结起来的 以完成某种自动控制任务的有机整体 输入信号r t 系统的输入信号是指参考输入 又称给定量或给定值 它是控制着输出量变化规律的指令信号 输出信号c t 系统的输出信号是指被控对象中要求按一定规律变化的物理量 又称被控量 它与输入量之间保持一定的函数关系 1 2 2自动控制系统中常用的名词术语 补充 反馈信号 由系统 或元件 输出端取出并反向送回系统 或元件 输入端的信号称为反馈信号 反馈分为主反馈b t 和局部反馈 偏差信号e t 它是指参考输入与主反馈信号之差 偏差信号简称偏差 e t r t b t 误差信号 它是指系统输出量的期望值与实际值之差 简称误差 在单位反馈情况下 误差值也就是偏差值 二者是相等的 扰动信号f t 简称扰动或干扰 是除控制信号以外 对系统的输出有影响的信号 扰动是不希望的输入信号 P5 1 1 5自动控制系统的基本控制方式 示例 直流电动机转速开环控制系统 给定电压ug经放大后得到电枢电压ua 改变ug可得不同的转速n 该系统只有输入量ug对输出量n的单向控制作用 输出端和输入端之间不存在反馈回路 1 3 1开环控制系统 只有输入量的前向控制作用 输出量并不反馈回来影响输入量的控制作用 因而 将它称为开环控制系统 Open LoopControlSystem 开环系统的优点 结构简单 系统稳定性好 调试方便 成本低 因此 在输入量和输出量之间的关系固定 且内部参数或外部负载等扰动因素不大 或这些扰动因素可以预测并进行补偿的前提下 应尽量采用开环控制系统 开环控制的缺点 当控制过程中受到来自系统外部的各种扰动因素 如负载变化 电源电压波动等 以及来自系统内部的扰动因素 如元件参数变化等 都将会直接影响到输出量 而控制系统不能自动进行补偿 抗干扰性能差 因此 开环系统对元器件的精度要求较高 1 3 2闭环控制系统 ue ug uf 偏差 直流电动机转速闭环控制系统方块图 设上述系统原已在某个给定电压ug相对于的转速n状态下运行 若一旦受到某些干扰 如负载转矩突然增大 而引起转速下降时 系统就会自动地产生相应的调整过程 偏差始终存在 总结一下 闭环控制系统的工作原理 检测输出量 被控制量 的实际值 将输出量的实际值与给定值 输入量 进行比较 得出偏差 用偏差值产生控制调节作用去消除偏差 使得输出量维持期望的输出 由于存在输出量反馈 上述系统能在存在无法预计扰动的情况下 自动减少系统的输出量与参考输入量 或者任意变化的希望的状态 之间的偏差 故称之为反馈控制 显然 反馈控制建立在偏差基础上 其控制方式是 检测偏差再纠正偏差 Show 闭环控制系统 Close LoopControlSystem 又称反馈控制系统 FeedbackControlSystem 是在闭环控制系统中 把输出量检测出来 经过物理量的转换 再反馈到输入端去与给定值 参考输入 进行比较 相减 并利用比较后的偏差信号 以一定的控制规律产生控制作用 抑制内部或外部扰动对输出量的影响 逐步减小以至消除这一偏差 从而实现要求的控制性能 闭环控制的优点 抑制扰动能力强 与开环控制相比 对参数变化不敏感 并能获得满意的动态特性和控制精度 闭环控制的缺点 引入反馈增加了系统的复杂性 如果闭环系统参数的选取不适当 系统可能会产生振荡 甚至系统失稳而无法正常工作 这是自动控制理论和系统设计必须解决的重要问题 自动控制理论主要研究闭环控制系统 注意 正反馈不能进行控制 会使系统的偏差越来越大 3 复合控制方式 偏差控制和按扰动控制相结合对主要扰动采用适当的补偿装置实现扰动控制 再组成反馈控制系统实现按偏差控制 以消除其余扰动产生的偏差 例 3 复合控制方式 if cons ug ua n ue M Mc负载 压放 功放 uf i 压放 TG 36 原理方框图 R 压放 ug n 功放 Mc负载电机 ub ue 压放 uf 测速发电机 37 炉温控制系统的理想温度由电压ur给出 热电偶检测箱温输出电压uf 偏差电压ue ur uf 经电压和功率放大后控制电机的速度和转向 从而改变调压器滑动触头的位置 改变炉温控制系统的外施电压达到恒定炉温的目的 1 4 1炉温控制系统 1 2自动控制系统示例 温度Tc下降 Tc uf ue ur uf ua 电机向增大调压器输出电压的方向加速旋转 Tc uf 直到Tc Tr ue 0 原理 即当恒温箱内温度偏高时 使调压器降压 反之升压 直到温度达到给定值为止 此时偏差电压ue 0 电机停转 炉温自动控制系统方框图 1 4 4函数记录仪P8 A B C D 写成方块图形式 1 2 3锅炉液位控制系统P9 锅炉设备的压力和温度自动保持恒定 数控机床按照预定的程序自动地切削工件 导弹发射与制导系统 自动地使导弹攻击敌方目标 无人驾驶飞机按照预定航迹自动升降和飞行 人造卫星准确地进入预定轨道运行并回收 自动控制技术的应用范围已扩展到生物 医学 环境 经济管理和其它许多社会生活领域中 自动控制已成为现代社会活动中不可缺少的重要组成部分 1 3自动控制系统的分类 下面介绍几种常用的自动控制系统分类方法 1 3 1按控制方式来分1 3 2按描述系统的动态方程分1 3 3按系统参数是否随时间变化而分1 3 4按系统输入信号的变化规律不同来分1 3 5按信号的传递是否连续分 重要 1 3 1按控制方式来分 开环控制系统反馈控制系统复合控制系统 1 线性系统 该类系统的特点在于组成系统的各环节的输入输出特性都是线性的 系统的性能可用线性微分方程 或差分方程 来描述 满足齐次性与叠加性 假设元件输入为r t r1 t r2 t 对应的输出为c t c1 t c2 t 如果r t r1 t r2 t 时 c t c1 t c2 t 满足迭加性如果r t a r1 t 时 c t ac1 t 满足齐次性满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件 1 3 2按描述系统的动态方程分 2 非线性系统 该类系统的特点在于系统中含有一个或多个非线性元件 系统的性能需用非线性微分方程 或差分方程 来描述 非线性微分方程 系数与变量有关 或者方程中含有变量及其导数的高次幂或乘积项 重要 注意 在实际中 绝大多数对象都具有非线性特性 而大多数仪器仪表也是非线性的 所以很少有真正意义上线性系统 一般是采用线性化措施将非线性系统处理成线性系统 这样就可简化分析和运算 1 定常系统 特性不随时间变化的系统称定常系统 又称时不变系统 描述定常系统特性的微分方程或差分方程的系数不随时间变化 定常系统分为定常线性系统和定常非线性系统 2 时变系统 特性随时间变化的系统称时变系统 对于时变系统 其输出响应的波形不仅与输入信号波形有关 而且还与参考输入加入的时刻有关 这一特点 增加了对时变系统分析和研究的复杂性 1 3 3按系统参数是否随时间变化而分 定常 输入一定 输出不变 方程系数为常数 时变 不定常 输入一定 输出随时间发生变化 也就是说 重要 作业题 课本P21 1 7 检验一下学习效果吧 1 恒值调节系统 该类系统的输入信号为一常数 扰动使被控量偏离理想值而出现偏差 利用偏差该系统可使被控量回复到理想值或接近理想值 上述的炉温闭环控制系统 锅炉水位控制系统均属于此类系统 2 随动系统 这类系统的给定量是时间的未知函数 系统能使被控量准确 快速地跟随给定量变化 随动系统又称伺服系统 如上述函数记录仪 导弹发射架方位控制系统 3 程序控制系统 输入信号为已知的时间函数 如机械加工中的数控机床工作台移动系统 1 5 4按输入信号的变化规律不同 针对线性定常连续系统 区别 1 5 5按信号的传递是否连续分1 连续系统 该类系统各环节间的信号均为时间t的连续函数 2 离散系统 该类系统在信号传递过程中有一处或多处的信号是脉冲序列或数字编码 数字控制系统 采样系统为离散系统 离散信号 离散信号 采样数字控制系统结构图 A100 1 4对控制系统性能的基本要求 A 超调量 B B 稳 快 准 峰值时间tp上升时间tr 调节时间ts 42 要提高控制质量 就必须对自动控制系统的性能提出一定的具体要求 尽管自动控制系统有不同的类型 对每个系统都有不同的特殊要求 但总的说来 都是希望设计的控制过程尽量接近理想的控制过程 自动控制系统最基本的要求是被控量的稳态误差 偏差 为零或在允许的范围内 对于一个好的自动控制系统来说 一般要求稳态误差在被控量额定值的2 5 之内 1 4 1自动控制系统性能的基本要求 要自动控制系统是否能很好地工作 是否能精确地保持被控量按照预定的要求规律变化这取决于被控对象和控制器及各功能元器件的特性参数是否设计得当 在理想情况下 控制系统的输出量和输入量 在任何时候均相等 系统完全无误差 且不受干扰的影响 实际系统中 由于各种各样原因 系统在受到输入信号 也包括扰动信号 的激励时 被控量将偏离输入信号作用前的初始值 经历一段动态过程 过渡过程 则系统控制性能的优劣 可以从动态过程中较充分地表现出来 1 4 1自动控制系统性能的基本要求 Show 图1自动控制系统被控量变化的动态特性 自动控制系统被控量变化的动态特性有以下几种 单调过程 衰减振荡 等幅振荡 渐扩振荡 不稳定 稳定 稳定 不稳定 自动控制系统其动态过程多属于图1 b 的衰减振荡情况 控制系统的动态过程不仅要是稳定的 并且希望过渡过程时间 又称调整时间 越短越好 最大振荡幅度 用超调量衡量 越小越好 衰减得越快越好 用衰减比衡量 工程上常常从稳 快 准三个方面来评价自动控制系统的总体精度 给定值阶跃变化时的衰减振荡过渡过程典型曲线 稳态性能指标 稳态误差是描述系统稳态性能的唯一指标 指系统过渡过程终了时被控参数稳态值与给定值之差 一般要求稳态误差越小越好或为零 注意 1 稳定性 稳 考虑动态过程在不同阶段中的特点 工程上通常从稳 快 准三个方面来衡量自动控制系统 稳定工作是所有自动控制系统的最基本要求 是系统能否工作的前题 不稳定的系统根本无法完成控制任务 考虑到实际系统工作环境或参数的变动 可能导致系统不稳定 因此 我们除要求系统稳定外 还要求其具有一定的稳定裕量 2 快速性 快 即过渡过程继续的时间长短 过渡过程越短 说明系统快速性越好 过渡过程持续时间越长 说明系统响应迟钝 难以实现快速变化的指令信号 3 准确性 准 是指系统在过渡过程结束后 偏差的最终值的大小 称为稳态误差 它是衡量系统稳态精度的重要指标 稳态误差越小 表示系统的准确性越好 被控量 输出量 的期望值与实际值之间的差值就越小 由于被控对象的具体情况不同 各系统对稳 快 准的要求各有侧重 而且对同一系统 稳 快 准的要求常常是相互制约的 过分提高过程的快速性 可能会引起系统强烈的振荡 而过分追求稳定性 又可能使系统反应迟缓 最终导致准确性变坏 如何分析和解决这些矛盾 将是本学科研究的主要内容 对于偏差始终存在的系统准确性 希望放大环节的放大系数大平稳性 希望放大环节的放大系数小 需要注意的是 1 选取原则 1 在现场及实验中容易产生 2 系统在工程中经常遇到 并且是最不利的外作用 3 数学表达式简单 便于理论分析 为了能对不同的控制系统的性能用统一的标准来恒量 通常需要选择几种典型的外作用 1 4 2典型外作用P13 阶跃函数斜坡函数脉冲函数正弦函数 2 图形 表示在t 0时刻出现了幅值为R的跳变 是最不利的外作用 R 1时的阶跃函数叫单位阶跃函数 常用1 t 表示 常用阶跃函数作为评价系统动态性能的典型外作用 所以阶跃函数在自动控制系统的分析中起着特别重要的作用 1 阶跃函数 1 数学表达式 1 数学表达式 2 图形 如R 1 叫单位斜坡函数 表示从t 0时刻 以恒速R变化 跟踪通信卫星的天线控制系统 数控机床加工斜面时的给进指令等 都可以采用斜坡信号作为典型输入信号 2斜坡函数 R 3 脉冲函数 1 矩形脉冲函数数学表达式 2 图形 脉冲函数是对 趋于0 求极限得到的 数学表达式为 需要注意的是 脉冲函数在现实中是不存在的 只是数学上的定义 在现实系统中常把作用时间很短 幅值很大而强度有限的一些外作用近似看作脉冲函数 当A 1时 称为单位脉冲函数 记作 t 强度为A的脉冲函数r t 表示成r t A t 4 正弦函数 1 数学表达式 A为振幅 w 2 f为正弦函数的角频率 上式的初始相角 0 如果初始相角 不等于0 那么正弦函数r t 的表达式为 r t Asin wt 2 图形 正弦函数也是控制系统常见的一种典型外作用 很多实际的随动系统就是经常在这种正弦函数作用下工作的 更为重要的是 系统在正弦函数作用下的响应 即频率特性 是自动控制理论中研究系统性能的重要依据 自动控制系统的研究方法 自动控制研究的三个基本问题 建立数学模型系统性能分析控制器设计 对象 单变量时不变连续系统目标 稳 准 快任务 分析 设计 1 通过自动控制系统的实例了解自动控制的定义 并了解控制对象 系统输入量 被控量 控制装置以及控制系统等概念 2 控制系统按是否存在反馈分为开环控制系统和闭环控制系统 闭环控制系统即反馈控制系统 其主要特点是系统输出量经测量后返送到系统输入端构成闭环 并由偏差产生控制作用使被控量朝减少偏差 消除偏差的方向运动 因而有较高的控制精度 3 根据控制系统的工作原理及各元件信号的传送方向 可画出控制系统的方块图 方块图是分析控制系统的基础 本章小结 4 自控系统的各种分类方法 5 对自控系统的基本要求 系统必须是稳定的 系统的稳态控制精度要高 即稳态误差要小 系统的动态性能要好 即系统的单位接阶跃响应过程要平稳 响应过程要快 6 自动控制系统讨论的主要问题 是系统动态过程的性能 归结为3个字 稳 快 准 7 整个自动控制理论课分为系统分析和系统设计两个方面 本章重点 掌握有关自动控制理论的一些基本概念掌握负反馈控制原理掌握由工作原理图画出相应方框图的方法 注意 自动控制原理 52 第二章控制系统的数学模型 2 1引言 2 2微分方程的建立及线性化 控制系统的时域数学模型 2 3传递函数 控制系统的复数域数学模型 2 4控制系统的结构图2 5控制系统的信号流图 53 22 11引言 2 1 1数学模型 1 定义 控制系统的输入和输出之间动态关系的数 学表达式即为数学模型 数学模型是分析和设计自动控制系统的基础 22 为什么要建立数学模型 我们需要了解系统的具 体的性能指标 只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的 希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算 要做到这一点 首先要建立系统的数学模型 它是分析和设计系统的依据 54 另一个原因 许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统 其运动规律可能完全一样 可以用一个运动方程来表示 我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式 即可知其变量间的关系 这种关系可代表数学表达式相同的任何系统 因此需建立控制系统的数学模型 比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数 学表达式分析 具有相同的数学模型 55 3 表示形式 a 时域 微分方程 b 复数域 传递函数 结构图c 频域 频率特性三种数学模型之间的关系线性系统 微分方程 频率特性 拉氏传递函数变换 傅氏变换 56 同一个系统 可以选用不同的数学模型 研究时域响应时可以用传递函数 研究频域响应时则要用频率特性 44 建立方法 目前工程上采用的方法主要是 a 分析法 机理模型 分析法是根据支配系统的内在运动规律以及系统的结构和参数 推导出输入量和输出量之间 的数学表达式 从而建立数学模型 适用于简 单的系统 57 b 实验法实验法 它是利用系统的输入 输出信号来建立数学模型的方法 通常在对系统一无所知的情况下 采用这种建模方法 输入 输出 黑箱 但实际上有的系统还是了解一部分的 这时称为灰箱 可以分析法与实验法一起用 较准确而方便地建立系统的数学模型 实际控制系统的数学模型往往是很复杂的 在一般情况下 常常可以忽略一些影响较小的因素来简化 简化与准确性 不能过于简化 而使数学模型变的不准确 也不能过分追求准确性 使系统的数学模型过于复杂 59 2 2微分方程的建立及线性化 控制系统的时域数学模型 2 2 1微分方程的建立 微分方程是控制系统最基本的数学模型 要研究系 统的运动 必须列写系统的微分方程 系统最基本的数学模型是它的微分方程式 建立微分方程的步骤如下 确定系统的输入量和输出量 将系统划分为若干环节 从输入端开始 按信号传递的顺序 依据各变量所遵循的物理学定律 列出各环节的线性化原始方程 消去中间变量 写出仅包含输入 输出变量的微分方程式 60 87 系统模型及其分类 1 系统的数学模型 数学模型 是系统基本特性的数学抽象 它是以数学表达式来表征系统的特性的 一阶微分方程 二阶微分方程 88 对于同一物理系统 在不同条件之下 可以得到不同形式的数学模型 89 对于不同的物理系统 可能有相同形式的数学模型 90 该系统可建立如下两种数学模型 对于同一物理系统 而且在相同的工作条件之下 数学模型也不惟一 例2 2 机械平移系统求在外力F t 作用下 物体的运动轨迹 F t x t 位移 m k弹簧 阻尼系数f阻尼器 64 首先确定 输入F t 输出x t 其次 理论依据 1 牛顿第二定律物体所受的合外力等于物 体质量与加速度的乘积 2 牛顿第三定律作用力等于反作用力 现在 我们单独取出m进行分析 而 F ma F1 kx t F2 fx t 65 a x t F t F1 F2 ma 代入上式得F t kx t fx t mx t 写微分方程时 常习惯于把输出写在方程的左边 输入写在方程右边 而且微分的次数由高到低排列 机械平移系统的微分方程为 mx t fx t kx t F t 66 dt dt dt dt 线性定常系统数学模型的一般形式 系统 输入r 输出c ddt a0 dnn c t anc t c t a1 dn 1n 1 c t L an 1 ddt dmm r t bmr t r t b1 b0 dm 1m 1 r t L bm 1 90 2 2 2控制系统微分方程的建立 2 迭加性和齐次性设元件输入为r t r1 t r2 t 对应的输出为c t c1 t c2 t 如果 满足迭加性 r t r1 t r2 t 时 c t c1 t c2 t 如果r t a r1 t 时 c t a c1 t 满足齐次性满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件 92 线性系统重新定义 若组成系统的各元件均为线性元件 则系统为线性系统 例如y kx是线性元件输入x1y1输出x2y2 输入x1 x2 对应输出y1 y2 满足迭加性 k为常数 kx1输出ky1 满足齐次性所表示的元件为 93 线性元件 2 重要特点 对线性系统可以应用迭加性和 齐次性 对研究带来了极大的方便 迭加性的应用 欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应 只要对这几个外作用单独求响应 然后加起来就是总响应 齐次性表明 当外作用的数值增大若干倍时 其响应的数值也增加若干倍 这样 我们可以采用单位典型外作用 单位阶跃 单位脉 冲 单位斜坡等 对系统进行分析 简化 了问题 94 2 2 4非线性元件的线性化1 几种常见的非线性 输出 输出 输出 b 输入 输入 输入 a 0饱和 放大器 0死区 电机 0间隙 齿轮 95 非线性微分方程的求解很困难 在一定条件下 可以近似地转化为线性微分方程 可以使系统的动态特性的分析大为简化 实践证明 这样做能够圆满地解决许多工程问题 有很大的实际意义 2 线性化的方法 1 忽略弱非线性环节 如果元件的非线 性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内 则它们对系统的影响很小 就可以忽略 96 2 偏微法 小偏差法 切线法 增量线 性化法 偏微法基于一种假设 就是在控制系统的整个调节过程中 各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化 这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的 因为对闭环控制系统而言 一有偏差就产生控制作用 来减小或消除偏差 所以各元件只能工作在平衡点附近 97 y y f x y0 A x0 y0 0 x x0 饱和 放大器 98 3 平均斜率法如果一非线性元件输入输出关系如图所示此时不能用偏微分法 可用平均斜率法得 线性化方程为y kx yy1 k y1x1 0 x x1 x1 1100 22 常用函数的拉氏变换 1 例1 求阶跃函数f t A 1 t 的拉氏变换 单位阶跃函数f t 1 t 的拉氏变换为s 2 例2 求单位脉冲函数f t t 的拉氏变换 106 3 例3 求指数函数f t 的拉氏变换 e at 几个重要的拉氏变换107 3 拉氏变换的基本性质 1 线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 L af1 t bf2 t aL f1 t bL f2 t 氏变换之和 2 微分性质 若L f t F s 则有L f t sF s f 0 f 0 为原函数f t 在t 0时的初始值 108 132 2 性质 1 因为组成系统的元部件或多或少存在惯性 所以G s 的分母次数大于等于分子次数 即m n 若m n 我们就说这是物理不可实现的系统 2 传递函数表征了系统本身的动态特性 传递函数只取决于系统本身的结构参数 而与输入和初始条件等外部因素无关 可见传递函数有效地描述了系统的固有特性 3 传递函数与线性定常微分方程一一对应 4 只能描述线性定常系统与单输入单输出系统 且内部许多中间变量的变化情况无法反映 5 只能反映零初始条件下输入信号引起的输出 不能反映非零初始条件引起的输出 6 如果存在零极点对消情况 传递函数就不能正确反映 系统的动态特性了 对上式进行零初始条件下的拉氏变换得 1 G s 1 RCs uc s ur s 可用方框图表示 G s R s 1RCs 1 C s ur s uc s 例2 7 双T网络 R1 R2 i1 i2 u1 134 ur uc C1 C2 与双T网络相比少一个交叉项R1C2S 这就是负载效应 因此双T网络不能孤立地分开 必须作为一个整体来求传递函数 当后一个RC 网络接到C1两端时 u2已不再是原来的u2 也就是说R1中的电流 C1中的电流 R2中电流 不再等于C1中的电流 只有当第一个RC网络的负载阻抗为无穷大时 双T网络的传递函数才等于两个RC网络的串联 139 例2 8RC网络与单容水槽 水 Q1 R C H t ur uc it RC duc t dt uc t ur t dHdt AR H RQ1 Q2 G s 145 1RCs 1 RRAs 1 G s 2 4控制系统的结构图 2 4 1系统结构图的组成和绘制 1 概念 将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替 各方框中元件的名称换成各元件的传递函数 这时方框图就变成了结构图 2 组成1 信号线 1 方框 有输入信号 输出信号 传递线 151 方框内的函数为输入与输出的传递函数 一条传递线上的信号处处相同 G s X s Y s 2 比较点 综合点 相加点 152 加号常省略负号必须标出 3 引出点 一条传递线上的信号处处相等 引出点的 信号与原信号相等 2 4 2结构图的等效变换和简化 1 串联方框的等效 G s X s Y s X1 s X s G1 s G2 s Y s G1 s G2 s G s y s x s y s x1 s x1 s x s G2 s G1 s 证明 Q y s x s G1 s G2 s 153 2 并联方框的等效 G s G1 s G2 s 证明 y s y1 s y2 s x s G1 s x s G2 s x s G1 s G2 s x s G s G s G1 s G2 s 154 E s G s 3 反馈连接方框的等效 R s R s C s G s 1 G s H s C s m H s 这是个单回路的闭环形式 反馈可能是负 可能是正 我们用消去中间法来证明 C s E s G s E s R s mB s B s C s H s 155 G2 s G6 s C s 例22 9R9 s G1 s G3 s G4 s G5 s G236 G2 G3 G6G54 G5 G4 G1 G 157 G2361 G236G54 R s 4 比较点和引出点的移动 等效原则 前向通道和反馈通道传递函数都不变 引出点移动 G s R s C s C s G s G s C s C s 1 引出点前移C s G s R s R s 2 引出点后移 G s R s 1G s R s G s C s R s G s R s C s 1R s G s 158 G s R s V1 s 比较点的移动 G s C s B s C s B s R s R s B s 1比较点前移C s G s R s B s 1G s G s 1G s R s G s C s R s B s C s B s G s G s V2 s 2 比较点后移C s G s R s B s G s R s G s B s R s E1 s C s 3 交换或合并比较点 V1 s V2 s C s V2 s C s R s 或 C s E1 s V2 s R s V1 s V2 s R s V1 s 159 R s V2 s V1 s 例2 10结构图化简 H1 G1 G2 G3 R Y H2 G4 G3 Y R G1G21 G2H2 G2G3H1 G4 H2 R 1 结构图化简方案 H2 G3H1 G1 G2 G3 Y b Y R H2 G4 G1G2G3 160 a 1 G2H2 G2G3H1 G1G2H2G4 c 2 结构图化简方案 H1 G1 G2 G3 R Y H2G4 H1 H2 G3G2G3 G1 R Y R Y G1G2G31 G2H2 G2G3H1 H2 G3G4 161 H2 G3G4 a b 3 结构图化简方案 H1 G1 G2 G3 R Y H2G4 H1 G1 G1G2G3 Y R G1G2G3 R Y 1G1 H2G3 1 H2G3 H2G1G3 H1G1 162 G4 a G4 b 5 其它等价法则 R s C s G s H s 11 等效为单位反馈系统 G s H s C s R s R s G s H s 11 G s H s H s C s 1H s C s C s R s R s G s H s G s E s 1E s 2 负号可在支路上移动E s R s H s C s R s 1 H s Cs R s H s C s 163 H s 例2 11双RC网络的结构图简化 Ui s U s Uo s 1R1 1R2 1C1s I1 s IC s 1I2 s C2s a Ui s Uo s 1 R1 C1s R11 1 R2 C2s 1 b Ui s Uo s 11 T1s R1 c 1R2 1C2s R1C2s11 T2s Uo s Ui s 11 T1s Uo s Ui s 164 e C2s1R2 d R111 T1s 1C2s x3 信号流图及梅逊公式 22 55 2 5 1术语介绍1 信号流图 由节点和支路组成的一种信号传递网络 2 节点 标志系统的变量 节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和 用 O 表示 源节点 输入节点 在源节点上 只有信号输出支路而没有信号输入的支路 它一般代表系统的输入变量阱节点 输出节点 在阱节点上 只有信号输入的支路而没有信号输出的支路 它一般代表系统的输出变量 混合节点 在混合节点上 既有信号输出的支路而又有信号输入的支路 x2 x5 4 x1 3 支路 带箭头的线段 相当于乘法器 增益x6I s x 165 R2 1 Rx1711 R1C1s 4 前向通路 从输入到输出 并与任何一个节点相交不多于一次的通路 叫前向通路 前向通路中各传递函数的乘积 叫前向通路增益 5 回路 起点和终点在同一节点 且与其他节点相交不多于一次的闭合通路叫单独回路 回路中所有传递函数的乘积叫回路增益 6 不接触回路 相互间没有公共节点的回路称为不接触回路 166 信号流图的基本性质 1 节点标志系统的变量 节点标志的变量是所有流向该节点信号的代数和 用 O 表示 2 信号在支路上沿箭头单向传递 3 支路相当于乘法器 信号流经支路时 被乘以支路增益而变成另一信号 4 对一个给定系统 信号流图不是唯一的 167 2 5 2信号流图的绘制 11 由系统微分方程绘制信号流图 1 将微分方程通过拉氏变换 得到S的代数方程 2 每个变量指定一个节点 3 将方程按照变量的因果关系排列 4 连接各节点 并标明支路增益 168 2 由系统结构图绘制信号流图 1 用小圆圈标出传递的信号 得到节点 2 用线段表示结构图中的方框 用传递函数代表支路增益 注意信号流图的节点只表示变量的相加 170 例2 13绘制结构图对应的信号流图 172 例2 13绘制结构图对应的信号流图 171 k1PK K 2 5 3梅逊增益公式 1n 梅逊公式为 P a c 其中 n 从输入节点到输出节点之前向通路总数 Pk 从输入节点到输出节点的第k条前向通路总增益 L 所有单独回路增益之和 LbL 在所有互不接触的单独回路中 每次取其中两个回路增益乘积和 d LeLf 在所有互不接触的单独回路中 每次取其中三 L 个回路增益的乘积之和 K 余因子式 即在信号流图中 把与第K条前向通路相接触的回路去掉以后的 值 173 例2 14已知系统信号流图 求传递函数 H1 R C G1 G2 G3 H2H2G4174 解 三个回路 L1 G2H2 G1 G2 G3 L2 G1G2H2 L3 G2G3H1 k1Pk k 1 GH GGH GGH G4 例2 14已知系统信号流图 求传递函数 C H1R H2H2G4 回路相互均接触 则 1 La 1 G2H2 G2G3H1 G1G2H2 前向通路有两条 1 P1 G1G2G3 没有与之不接触的回路 1P2 G4 与所有回路不接触 2 1nG1G2G3 G s 175 22231122 La 例2 15已知系统信号流图 求传递函数X4 X1及X2 X1 解 三个回路 d egg bcgg f 有两个互不接触回路 LbLc deg则 1 d eg bcg deg1 X1 X4 p1 aef p2 abcf 1 1 d 2 1 1 aef 1 d abcf1 d eg bcg deg p1 1 p2 2 X4X1 2 X1 X2 p1 a 1 1 d 176 1 a 1 d 1 d eg bcg deg p1 1 X2X1 例2 15已知系统信号流图 求传递函数X4 X1及X2 X1 f 177 R s E s 2 5 4闭环系统的传递函数N s C s G2 s G1 s H s B s 11 输入信号作用下的闭环传递函数 N s 0 s C s R s G1 s G2 s 1 G1 s G2 s H s C s N s n s 2 扰动作用下的闭环传递函数 R s 0 178 G2 s 1 G1 s G2 s H s G1 s G2 s G2 s N s 3 输入信号和扰动信号同时作用时 系统的输出 C s s R s n s N s R s 1 G1 s G2 s H s 1 G1 s G2 s H s 4 闭环系统的误差传递函数 定义误差E s R s B s E s 1R s 1 G1 s G2 s H s E s N s R s 0 G2 s H s 1 G1 s G2 s H s en s 179 e s R s en s N s E s 自动控制原理 180 第三章线性系统的时域分析法 3 13 23 33 43 53 63 7 系统的时域性能指标一阶系统的时域分析二阶系统的时域分析高阶系统的时域分析线性系统的稳定性分析线性系统的稳态误差计算数学模型的试验测定方法 181 本章提要 时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法 具有直观 准确的优点 可以提供系统时间响应的全部信息 182 本章重点介绍一阶和二阶系统时间响应的分析和计算 讨论系统参数对性能指标的影响 分析改进二阶系统性能的措施 介绍高阶系统时域分析方法 介绍用劳斯稳定性判据分析系统稳定性的方法 以及计算稳态误差的方法 数学模型的试验测定方法是第2章的内容 我们将其拿到该章进行讲解 3 1系统的时域性能指标 3 1 1典型输入信号 时域分析法的特点 典型输入信号 单位阶跃 单位斜坡 单位脉冲 单位加速度 正弦 典型时间响应 单位阶跃响应 单位斜坡响应 单位脉冲响应 单位加速度响应 183 3 1 2动态过程和稳态过程 系统的时间响应 由过渡过程和稳态过程两部分组成 动态过程 指系统在典型输入信号作用下 系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程 又称过渡过程 瞬态过程 稳态过程 指系统在典型输入信号作用下 当时间t趋于无穷时 系统输出量的表现形式 相应地 性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标 185 2 上升时间tr 响应从终值值10 上升到终值值90 所需 时间 对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间 上升时间是响应速度的度量 3 峰值时间tp 响应超过其终值到达第一个峰值所 需时间 4 超调量 响应的最大偏离量h tp 与终值h 之差的百分比 即 超调量表示系统响应过冲的程度 超调量大 不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下 而且使调节时间加长 187 关于动态性能指标 tr tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速性 而 和N反映系统动态过程的平稳性 即系统的阻尼程度 其中ts和 是最重要的两个动态性能的指标 22 稳态性能 由稳态误差ess描述 189 结论 一阶系统的典型响应与时间常数T密切相 关 只要时间常数T小 单位阶跃响应调节时间 小 单位斜坡响应稳态值滞后时间也小 但一阶系统不能跟踪加速度函数 198 总结 结构参数 对单位阶跃响应性能的影响 阻尼比 越小 超调量越大 平稳性越差 调节时 间ts长 过大时 系统响应迟钝 调节时间ts也长 快速 性差 0 7 调节时间最短 快速性最好 而超调量 5 平稳性也好 故称 0 7为最佳阻尼比 229 起始速度小 然后上升速度逐渐加大 到达某一值后又减小 响应曲线不同于一阶系统 过阻尼 二阶系统的动态性能指标主要是调节时间ts 根据公式求ts的表达式很困难 一般用计算机计算出的曲线确定ts 234 235 过阻尼二阶系统调节时间特性 3 3 6二阶系统性能的改善 1 系统运行的平稳性与稳态精度矛盾 2 要求在系统具有较高稳态精度的前提下 提高平稳性 改进措施 1 比例 微分控制2 速度反馈控制 3 加入校正装置 第六章 248 例4 5下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统 系统输出量同时受偏差信号e t 和偏差信号微分e t 的双重控制 试分析比例微分