江苏省南通市如东县四校高三数学上学期12月联考试卷 理（解析版）苏教版.doc

2012-2013学年江苏省南通市如东县四校高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1（5分）设集合a=x|y=log2（x2），b=x|x25x+40，则ab=（1，+）考点：并集及其运算；函数的定义域及其求法；一元二次不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：求出集合a，集合b，然后求解它们的并集即可解答：解：因为集合a=x|y=log2（x2）=x|x2，集合b=x|x25x+40=x|1x4，所以ab=x|x1故答案为：（1，+）点评：本题考查集合的求法并集的基本运算，考查计算能力，常考题型2（5分）已知复数z满足z（1i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：复数方程两边同乘1i的共轭复数，然后化简即可解答：解：由z（1i）=2，可得z（1i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i故答案为：1+i点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型3（5分）已知点a（1，5）和向量，若，则点b的坐标为（5，7）考点：平面向量的坐标运算专题：计算题；平面向量及应用分析：设b（x，y），则=（x+1，y+5），然后由=（6，12）可求x，y，即可求解b解答：解：设b（x，y），则=（x+1，y+5）=（6，12）x+1=6，y+5=12x=5，y=7故答案为：（5，7）；点评：本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础试题4（5分）已知函数f（x）=ax2+（b3）x+3，x2a3，4a是偶函数，则a+b=2考点：二次函数的性质专题：函数的性质及应用分析：偶函数定义域关于原点对称，且f（x）=f（x），由此即可求出a，b解答：解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a3+4a=0，解得a=1由f（x）为偶函数，得f（x）=f（x），即ax2（b3）x+3=ax2+（b3）x+3，2（b3）x=0，所以b=3所以a+b=31=2故答案为：2点评：偶函数的定义域关于原点对称，f（x）=f（x）恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑5（5分）已知xr，那么的必要不充分条件（“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”“既不充分又不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：不等式的解法及应用分析：由题意把x21，解出来得x1或x1，然后根据命题x1与命题x1或x1，是否能互推，再根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断解答：解：x21，x1或x1，x1x21，反之不能推出，那么的 必要不充分条件，故答案为：必要不充分点评：此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题6（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度考点：函数y=asin（x+）的图象变换专题：阅读型分析：根据函数的平移左加右减的原则，把y=cos2x的向右平移个单位得到函数的图象解答：解：将函数函数y=cos2x的图象向右平移个单位得到函数的图象，故答案为右，点评：本题主要考查了三角函数图象的变换属基础题7（5分）若存在实数x1，2满足2x2ax+20，则实数a的取值范围是（，5）考点：特称命题专题：不等式的解法及应用分析：构造函数f（x）=2x2ax+2，若存在实数x1，2满足2x2ax+20，则f（1）0，或f（2）0，进而可得实数a的取值范围解答：解：令f（x）=2x2ax+2若存在实数x1，2满足2x2ax+20，则f（1）0，或f（2）0即4a0，或102a0，即a4，或a5故a5即实数a的取值范围是（，5）故答案为：（，5）点评：本题考查的知识点是特称命题，其中构造函数，将存在性问题（特称命题），转化为不等式问题是解答的关键8（5分）（2012上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）专题：计算题分析：通过侧面展开图的面积求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，可知，圆锥的母线为：l；因为4=l2，所以l=2，半圆的弧长为2，圆锥的底面半径为2r=2，r=1，所以圆柱的体积为：=故答案为：点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力9（5分）（2010如皋市模拟）已知=考点：两角和与差的正弦函数分析：观察题中角之间的关系，x+与是互补的关系，x+与是互余关系，这是解题的突破口，用诱导公式求出结论中要用的结果，题目得解解答：解：，=，故答案为：点评：在三角函数中除了诱导公式和作八个基本恒等式之外，还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积，此外，还有万能公式，在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，用一般常用的方法都能解决我们的问题10（5分）定义mina，b，c为a，b，c中的最小值，设f（x）=min2x+4，x2+1，53x，则f（x）的最大值是2考点：函数的值域专题：新定义分析：根据mina，b，c的意义，画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，可得答案解答：解：解：画出y=2x+4，y=x2+1，y=53x的图象，观察图象可知，当x1时，f（x）=2x+4，当1x1时，f（x）=x2+1，当x1时，f（x）=53x，f（x）的最大值在x=1时取得为2，故答案为：2点评：本题考查函数的图象函数的图象、函数最值问题，利用数形结合可以很容易的得到最大值11（5分）在直角三角形abc中，abac，ab=ac=1，则的值等于考点：平面向量数量积的运算专题：计算题；平面向量及应用分析：先建立直角坐标系，由可求d的坐标，代入可求，然后代入向量的 数量积的坐标表示即可求解解答：解：建立如图所示的直角坐标系则a（0，0），b（0，1），c（1，0），设d（x，y）=（x，y1），=（1x，y）x=，y1=x=，y=则=（）（，）=故答案为：点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是合理的建立直角坐标系12（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c将用”连接得cab考点：利用导数研究函数的单调性专题：计算题分析：因为 =，=ln ，=，所以先比较 ，的大小，然后再比较 ，的大小关系解答：解：=，=ln ，=，考察对数函数y=lnx，它在（0，+）是增函数，故答案为：cab点评：本题考查对数值的大小比较，解题时要注意对数单调性的合理运用13（5分）（2012四川）椭圆的左焦点为f，直线x=m与椭圆相交于点a、b，当fab的周长最大时，fab的面积是3考点：椭圆的简单性质专题：计算题；压轴题分析：先画出图象，结合图象得到fab的周长最大时对应的直线所在位置即可求出结论解答：解：设椭圆的右焦点为e如图：由椭圆的定义得：fab的周长：ab+af+bf=ab+（2aae）+（2abe）=4a+abaebe；ae+beab；abaebe0，当ab过点e时取等号；ab+af+bf=4a+abaebe4a；即直线x=m过椭圆的右焦点e时fab的周长最大；此时fab的高为：ef=2此时直线x=m=c=1；把x=1代入椭圆的方程得：y=ab=3所以：fab的面积等于：sfab=3ef=32=3故答案为：3点评：本题主要考察椭圆的简单性质在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式14（5分）已知函数，函数2a+2（a0），若存在x1、x20，1，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法专题：计算题分析：根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围解答：解：当x（，1时，是增函数，y（，1，当x0，时，f（x）=x+是减函数，y0，如图函数的值域为0，1值域是，存在x1、x20，1使得f（x1）=g（x2）成立，若，则22a1或20，即，a的取值范围是故答案为：点评：本题主要考查了三角函数的最值，分段函数的值域问题，不等式的应用解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围二解答题：（本大题共6个小题，共90分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（14分）已知，且，ab=r，（1）求a；（2）实数a+b的值考点：子集与交集、并集运算的转换专题：计算题分析：（1）由分式不等式的解法，解0可得其解集，即可得集合a；（2）根据题意，由（1）的结论，分析可得集合b，进而可得方程x2+ax+b=0的解，又由方程的根与系数的关系，可得a、b的值，将其相加即可得答案解答：解：（1）根据题意，0（2x1）（x+2）0，解可得x2或x，则a=（，2）（，+）；（2）由（1）可得又由，ab=r，必有b=x|2x3，即方程x2+ax+b=0的解是x1=2，x2=3于是a=（x1+x2）=1，b=x1x2=6，a+b=7点评：本题考查集合的交集、并集的应用，（2）的关键是根据a、b的交集与并集，求出集合b16（14分）如图，斜三棱柱a1b1c1abc中，侧面aa1c1c底面abc，侧面aa1c1c是菱形，e、f分别是a1c1、ab的中点求证：（1）ef平面bb1c1c；（2）平面cef平面abc考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题：证明题分析：（1）取bc中点m，连接fm，c1m，证明fm，推出四边形efmc1为平行四边形，然后证明ef平面bb1c1c；（2）在平面aa1c1c内，作a1oac，o为垂足，证明oca1e，得到eca1o1，证明a1o底面abc得到平面cef平面abc解答：证明：（1）取bc中点m，连接fm，c1m，在abc中，因为f，m分别为ba、bc的中点，所以fm，因为e为a1c1的中点，ac，所以efec1，又fma1c1从而四边形efmc1为平行四边形，所以efc1m，又因为c1m平面bb1c1c，ef平面bb1c1c，ef平面bb1c1c；（2）在平面aa1c1c内，作a1oac，o为垂足，因为a1ac=60，所以ao=aa1=ac，从而o为ac的中点所以oca1e，因而eca1o1，因为侧面aa1c1c底面abc，交线为ac，a1oac，所以a1o底面abc所以ec底面abc，又因为ec平面efc，所以平面cef平面abc点评：本小题主要考查空间线面关系，考查直线与平面平行，平面与平面垂直的证明，考查空间想像能力和推理论证能力17（14分）若a、b、c是abc三个内角a、b、c所对边，且asinasinb+bcos2a=a（1）求；（2）当cosc=时，求cos（ba）的值考点：余弦定理；正弦定理专题：计算题；解三角形分析：（1）利用正弦定理即可求得；（2）利用余弦定理可求得c=a，从而可判断三角形abc为直角三角形，利用两角差的余弦即可求得答案解答：解：（1）由正弦定理得sin2asinb+sinbcos2a=sina（2分）即sinb=sina，= （6分）（2）=，b=a，由余弦定理=得c=a（8分）b2=3a2=a2+2a2=a2+c2，b=90（10分）cos（ba）=sina=cosc=（12分）点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查两角和与差的余弦与诱导公式的应用，属于中档题18（16分）如图，开发商欲对边长为1km的正方形abcd地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路ef（点e、f分别在bc、cd上），根据规划要求ecf的周长为2km（1）设bae=，daf=，试求+的大小；（2）欲使eaf的面积最小，试确定点e、f的位置考点：已知三角函数模型的应用问题专题：综合题分析：（1）根据规划要求ecf的周长为2km，建立等式，再利用和角的正切公式，即可求得+的大小；（2）先表示三角形的面积，再利用三角函数求面积的最值，从而可确定点e、f的位置解答：解：（1）设ce=x，cf=y（0x1，0y1），则tan=1x，tan=1y，由已知得：x+y+，即2（x+y）xy=2（4分）tan（+）=10+，+=；（8分）（2）由（1）知，seaf=aeaf=（12分），2=，即=时，eaf的面积最小，最小面积为1tan=，tan=1，故此时be=df=1所以，当be=df=1时，eaf的面积最小（15分）点评：本题考查三角函数知识的运用，考查和角公式的运用，考查面积的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（16分）已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，一条准线l：x=2（1）求椭圆c的方程；（2）设o为坐标原点，m是l上的点，f为椭圆c的右焦点，过点f作om的垂线与以om为直径的圆d交于p，q两点若pq=，求圆d的方程；若m是l上的动点，求证：点p在定圆上，并求该定圆的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由题意可知：，解方程可求a，c利用b2=a2c2，可求b，即可求解椭圆c的方程（2）先设m（2，t），然后求出圆d的方程及直线pq的方程，联立直线与圆的方程，结合方程的根与系数关系及弦长公式及已知，可求t，进而可求设出p，由知p满足圆d及直线pq的方程，代入后消去参数t即可判断解答：解：（1）由题意可知：，a=，c=1，b2=a2c2=1，椭圆c的方程为：（2）由（1）知：f（1，0），设m（2，t），则圆d的方程：，直线pq的方程：2x+ty2=0，t2=4，t=2圆d的方程：（x1）2+（y1）2=2或（x1）2+（y+1）2=2证明：设p（x1，y1），由知：，即：消去t得：=2点p在定圆x2+y2=2上点评：本题综合考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，直线与圆，与椭圆位置关系的应用，还考查了运算的能力20（16分）已知函数f（x）=x3+x2+b，g（x）=alnx（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x1，e，都有g（x）x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点p、q，使得poq是以o（o为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性专题：综合题；压轴题分析：（1）求导函数，令f（x）=0，确定函数的单调性与极值，从而可得函数的最大值，由此可求b的值；（2）由g（x）x2+（a+2）x，得恒成立，即，求出最小值，即可求得a的取值范围；（3）由条件，假设曲线y=f（x）上存在两点p，q满足题意，则p，q只能在y轴两侧，不妨设p（t，f（t）（t0），则q（t，t3+t2），且t1，则是否存在p，q等价于方程t2+f（t）（t3+t2）=0在t0且t1时是否有解解答：解：（1）由f（x）=x3+x2+b，得f（x）=3x2+2x=x（3x2），令f（x）=0，得x=0或列表如下：x0f（x）0+0f（x）极小值极大值，即最大值为，b=0（4分）（2）由g（x）x2+（a+2）x，得（xlnx）ax22xx1，e，lnx1x，且等号不能同时取，lnxx，即xlnx0，恒成立，即令，求导得，当x1，e时，x10，lnx1，x+12lnx0，从而t（x）0，t（x）在1，e上为增函数，tmin（x）=t（1）=1，a1（8分）（3）由条件，假设曲线y=f（x）上存在两点p，q满足题意，则p，q只能在y轴两侧，不妨设p（t，f（t）（t0），则q（t，t3+t2），且t1poq是以o（o为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，t2+f（t）（t3+t2）=0（*），（10分）是否存在p，q等价于方程（*）在t0且t1时是否有解若0t1时，方程（*）为t2+（t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4t2+1=0，此方程无解； （11分）若t1时，（*）方程为t2+alnt（t3+t2）=0，即，设h（t）=（t+1）lnt（t1），则，显然，当t1时，h（t）0，即h（t）在（1，+）上为增函数，h（t）的值域为（h（1），+），即（0，+），当a0时，方程（*）总有解对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上总存在两点p，q，使得poq是以o（o为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上（14分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查是否存在问题的探究，综合性强三、附加题21（10分）设函数f（x）=xlnx+（1x）ln（1x）（0x1），求f（x）的最小值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：利用导数的运算法则即可得到f（x），再利用导数与函数单调性、极值与最值的关系即可得到f（x）的最小值解答：解：对函数f（x）求导数：f（x）=（xlnx）+（1x）ln（1x）=lnxln（1x）=令f（x）=0，则，解得当0在区间是减函数，当1在区间是增函数所以时取得最小值，点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、最值是解题的关键22（10分）已知空间三点a（0，2，3），b（2，1，6），c（1，1，5）求：（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积s；（2）若向量a分别与向量垂直，且|a|=，求向量a的坐标考点：平面向量的综合题专题：计算题分析：（1）由已知中空间三点a（0，2，3），b（2，1，6），c（1，1，5），我们分别求出向量，的坐标，进而根据它们三个的模相等，判断出三角形abc为等边三角形，进而得到以向量为一组邻边的平行四边形的面积s；（2）根据（1）中结论，易向量分别与向量垂直，且|=，设出向量的坐标，进而构造方程组，解方程组即可求出向量的坐标解答：解：（1）空间三点a（0，2，3），b（2，1，6），c（1，1，5）=（2，1，3），=（1，3，2），=（3，2，1）|=|=|=abc为等边三角形，故以向量为一组邻边的平行四边形的面积s=7（2）设=（x，y，z），由已知中向量分别与向量垂直，且|=，解得x=y=z=1=（1，1，1）或=（1，1，1）点评：本题考查的知识点是向量模的运算及向量垂直的坐标表示，是平面向量的综合题，熟练掌握平面向量模的计算公式，及向量平行和垂直的坐标运算公式是解答本题的关键23（10分）（2011日照模拟）设命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0，命题q：实数x满足（）若a=1，且pq为真，求实数x的取值范围；（）若p是q的