概率论与数理统计期中试卷A评析.pdf

Aans 1 杉达 各 杉达 各 专业 2007 专业 2007 级 本级 本 科 科 概率论与数理统计 期中试卷 A 评析 一 单项选择题 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案 每小题 3 分 共 21 分 一 单项选择题 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案 每小题 3 分 共 21 分 1 设事件 A 与 B 相互独立 且 P A 0 P B 0 则下列等式成立的是 A AB B P AB P A P B C P B 1 P A D P B A 0 讲评 考点 事件的相互独立的性质 如果事件 A 与事件 B 满足 P AB P A P B 则称事件 A 与事件 B 相互独立 本题 因为 A 与 B 独立 事件 A 与事件B 独立 P AB P A P B 选 B 2 设甲 乙两人向同一目标射击 事件 A B 分别表示甲 乙击中目标 则AB 表示 A 两人都没有击中目标 B 两人都击中了目标 C 至少有一人击中目标 D 至少有一人没有击中目标 讲评 考点 事件的运算的算律与实际意义 对偶律 AB A B 本题 因为AB A B 所以其实际意义为至少有一人没有击中目标 选 D 3 一批产品共 10 件 其中有 3 件次品 从这批产品中任取 3 件 则取出的 3 件中恰有一件 次品的概率为 A 1 60 B 21 40 C 1 5 D 7 15 讲评 考点 P A A包含样本总个数 样本点总数 N A N S 本题 N S C10 3 10 9 8 3 120 N A C 3 1 C 7 2 63 P A N A N S 63 120 21 40 选 B 4 下列各函数中可作为随机变量分布函数的是 A F1 x 2x 0 x 1 0 其他 B F2 x 0 x 0 x 0 x 1 1 x 1 C F3 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 D F4 x 0 x 0 2x 0 x 1 2 x 1 讲评 考点 分布函数的性质 1 0 F x 1 2 F 0 F 1 3 单调非减 当 x1 x2时 F x1 F x2 4 右连续 lim x x0 F x F x0 本题 因为 F1 x F3 x F4 x 都不满足性质 1 所以只有 F2 x 是正确的 选 B 5 设随机变量 X 在区间 3 5 上服从均匀分布 则 P 3 X 4 A P 4 5 X 5 5 B P 2 5 X 3 5 C P 3 5 X 4 5 D P 5 5 X 6 5 讲评 考点 均匀分布 X U a b 密度函数 f x 1 b a a x b 0 其他 分布函数 F x 0 xb P c X d c d f x dx 注意分段函数的积分分段性 本题 因为 X U 3 5 所以密度函数 f x 1 2 3 x 5 0 其他 P 3 X 4 1 2 P 4 5 X 5 5 1 4 P 2 5 X 3 5 1 4 P 3 5 X 4 5 1 2 P 5 5 X 6 5 0 选 C 6 设随机变量 X N 2 4 1 0 8413 0 0 5 则事件 2 X 4 的概率为 A 0 3413 B 0 2413 C 0 2934 D 0 1385 Aans 2 讲评 考点 正态分布 X N 2 分布函数 F x x 其中 x 为标准正态分布函数 公式 P a0 试求 概率密度函数 f x 讲评 考点 分布函数与概率密度函数的关系 概率密度函数 f x F x 解解 f x F x 0 x 0 xe x 2 2 x 0 11 设随机变量 X 的分布律为 X 1 0 1 2 P 1 8 3 8 1 16 7 16 且 Y X2 记随机变量 Y 的分布函数 为 FY y 求 FY 3 的值 讲评 考点 离散型随机变量的函数的分布 离散型随机变量的分布函数的值的计算 解解 Y X2的可能取值为 0 1 4 且 P Y 0 P X 0 3 8 P Y 1 P X 1 P X 1 1 8 1 16 3 16 P Y 4 P X 2 7 16 Aans 3 即 Y 0 1 4 3 8 3 16 7 16 FY 3 P Y 3 P Y 0 P Y 1 3 8 3 16 9 16 12 设连续型随机变量 X 的分布函数为 F x Ax 1 x x 0 0 x 0 求常数 A 的值 讲评 考点 分布函数的性质 lim x F x 1 解解 lim x F x lim x Ax 1 x lim x A 1 运用洛必大法则 分子分母求导 A A 1 13 设 P A B 1 6 P B 1 2 P B A 1 4 求 P A 讲评 考点 条件概率 概率的乘法公式 事件的运算与概率的计算 解解 P B 1 P B 1 1 2 1 2 P AB P B P A B 1 2 1 6 1 12 P A P B A P AB P A 1 4 1 12 P A 1 3 14 在 0 T 内通过某交通路口的汽车数 X 服从泊松分布 且已知 P X 4 3P X 3 则在 0 T 内至少有一 辆汽车通过的概率 讲评 考点 泊松分布 X P 分布列为 P X k k k e 解解 已知 P X 4 3P X 3 4 4 e 3 3 3 e 12 所求的为 P X 1 1 P X 0 1 0 0 e 1 e 12 三 计算题 本大题共三 计算题 本大题共 3 小题 每小题小题 每小题 8 分 共分 共 24 分 分 15 某商店有 某商店有 100 台相同型号的冰箱待售 其中台相同型号的冰箱待售 其中 60 台是甲厂生产的 台是甲厂生产的 25 台是乙厂生产的 台是乙厂生产的 15 台是丙 厂生产的 已知这三个厂生产的冰箱质量不同 它们的不合格率依次为 台是丙 厂生产的 已知这三个厂生产的冰箱质量不同 它们的不合格率依次为 0 1 0 3 0 2 现有一位顾客 从这批冰箱中随机地取了一台 试求 现有一位顾客 从这批冰箱中随机地取了一台 试求 1 该顾客取到一台不合格冰箱的概率 该顾客取到一台不合格冰箱的概率 2 顾客开箱测试 后发现冰箱不合格 试问这台冰箱来自甲厂的概率 是多大 顾客开箱测试 后发现冰箱不合格 试问这台冰箱来自甲厂的概率 是多大 解解 设事件 B 为不合格 设事件 Ak k 1 2 3 分别为甲 乙 丙厂生产 则由已知 P A1 0 6 P A2 0 25 P A3 0 15 P B A1 0 1 P B A2 0 3 P B A3 0 2 1 于是 P B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 0 06 0 075 0 03 0 165 2 所求的 P A1 B P A1B P B 0 06 0 165 12 33 0 3636 16 设随机变量设随机变量 X 服从服从 0 5 上的均匀分布 求上的均匀分布 求 y 的方程的方程 4y2 4Xy X 2 0 有实根的概率 有实根的概率 解解 方程 4y2 4Xy X 2 0 有实根 判别式 0 即 4X 2 16 X 2 0 X2 X 2 0 X 2 或 X 1 所求的概率为 P X 2 或 X 1 P X 2 P X 1 P X 2 2 f x dx 2 51 5dx 3 5 0 6 注意 X U 0 5 X 的密度函数为 f x 1 5 0 60 1 P X 60 1 60 50 10 1 1 1 0 8413 0 1587 2 设 Y 为这周迟到的次数 则 Y B n p n 5 p 0 1587 q 1 p 0 8413 甲最多迟到一次的概率为为 P Y 1 C5 0p0q5 C 5 1p1q4 0 4215 0 3975 0 8190 19 甲在上班路上所需的时间 单位 分 甲在上班路上所需的时间 单位 分 X N 50 100 已知上班时间为早晨 已知上班时间为早晨 8 时 他每天时 他每天 7 时 出门 试求 时 出门 试求 1 甲迟到的概率 甲迟到的概率 p 精确到小数 精确到小数 4 位 位 1 0 8413 1 96 0 9750 2 5 0 9938 2 某周 以五天计 甲最多迟到一次的概率 某周 以五天计 甲最多迟到一次