热力学与统计物理第九章.pdf

第九章第九章第九章第九章 系综理论系综理论系综理论系综理论 习题习题习题习题 9 19 19 19 1 证明在正则分布中熵可表为其中是系统 s ss kS ln s E s e Z 1 处在s 态的概率 证证证证 多粒子配分函数 ln ln Z ZkS 1 1 ss E s E eZeZ 2 ln k E k E k k k e eE Z 由 1 知 sssss E ZEZEZe s lnln 1 lnln 代至 2 得 s sss s s ZZ Z ln 1 ln 1 lnln 1ln 于是 s ss k Z ZkS ln ln ln 习题习题习题习题9 29 29 29 2 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程 内能和熵 证证证证 222 12 1 iziyix N i s s E ppp m EeZ s 符号 i iziyix dpdpdpdp 符号 i iii dzdydxdq 2 3 3 2 3 2 33 2 1 222 1 222 1 222 2 N N N N ppp m N N ppp m N N ppp N m hN V Zdpe hN V dpe hN V dpdqe hN Z zyx N i iziyix N i iziyix m 利用式 9 5 3 类似求 V NTk V Z Z Z P 1ln1 SU 习题习题习题习题9 39 39 39 3 体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体 其摩尔数为和 温 1 n 2 n 课后答案网 度为 T 试由正则分布导出混合理想气体的物态方程 内能和熵 解解解解 j jj i iiiiziyix pppppp m nn dqdpdzdydxdpdpdpe hnn Z jzjyjxiziyix 222222 21 2 3 21 1 2 3 3 21 21 21 21 2 nn nn nn m hnn V Z kTnnPV V kTnn V Z P ln1 21 21 习题习题习题习题9 59 59 59 5 利用范氏气体的配分函数 求内能和熵 解解解解 Q m N Z N2 3 2 1 Z Qm N QN N mZ U N N N 2 1 2 3 2ln 2 3 2 31 2 3 drfV N VQ Q Q N NN 12 1 2 1 2 1 2 3 e f efdr f V NQ rN 12 12 12 1 2 1 2 12 drfVNV dreV N NTkUdreV NQ NN N N 12 12 1 2 1 2 1 2 2 3 2 2 一般认为较小 drf V N 12 2 2 VakNT drf V N V dreV N NTkU N N 2 3 2 1 2 2 3 12 2 1 2 习题习题习题习题9 69 69 69 6 被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体 考虑分子间的相互作用 试用 正则分布证明 二维气体的物态方程为 其中 SBNTkpS 1 为液体的面积 为两分子的互作用势 Srdre N B kT 21 2 课后答案网 解解解解 二维气体 ii iy ix pp N dydxdpdpe hN Z ji iiyix m 2 22 2 1 1 Q m N dpdqedqehN N r N iy p ix p m ji ij 2 1 1 22 2 1 2 其中定义 n r drdrdreQ ji ij 21 1 ij r ij ef n ji ijn ji ij drdrfdrdrdrfQ 121 1 1 只保留前部分 2112 2 11 drdrfVdrdrfdrdrfS N nij ji nij N 其中 变量代换 2112 2 2 2 drdrfS N SQ NN 1221 2 rrrrrR drfS N SQ NN 12 1 2 2 据式 9 5 3 drf S N SNdrf V N SNQ 12 2 12 2 2 ln 2 1lnlnln S B kNTdrf S N NTkPV S QZ P1 2 1 ln1ln1 12 习题习题习题习题9 79 79 79 7 仿照三维固体的地拜理论 计算长度为的线形原子链在高温和低温L 下的内 能和热容量 解解解解 一维线形原子链 1 0 2 nLnkck 共有个振动 存在最大频率 cLddDLdkdn2 2 N D LNcNd c L NdD D D 2 2 0 令 d e c L Ud e DUU kTkT 1 00 2 kTdxdxkT 12 1 2 22 0 22 0 xx e xdx c kLT U e dxxTk c L UU 高温近似 kNTUdx c kLT UUx 0 22 0 2 1 课后答案网 低温近似其中 D e x kNTUdx c kLT UU x 6 2 22 0 1 22 0 DD k 习题习题习题习题 9 89 89 89 8 仿照三维固体的德拜理论 计算长度为L L L L的线形原子链 一维晶体 在高 温和低温下的内能和热容量 解解解解 二维 面 积S S S S内 波 矢 范 围 内 辐 射 场 振 动 自 由 度 为 yxdk dk 22 44 skdkd dksdk yx 横波按频率分布为 d c S d Skdk 2 1 2 0 2 24 纵波按频率分布为 d c S d Skdk 2 2 2 0 2 24 2 2 2 1 2 2 2 1 11 2 11 2 cc S B dBd cc S dDdDdD 纵横 d e BU e d DUU DD ktkt 0 2 0 0 0 11 令kTdxdx kT dx e xkT BUdx kT e x kT BUU kT xx D 0 2 3 0 2 2 0 11 低温近似 3 0 0 2 3 0 404 2 1 kT BUdx e xkT BUU x 高温近似 2 3 0 0 3 0 2 1 kT kT BUdxx kT BUU D kT D 计算略 v C B N NBNdD D D D 4 2 2 2 2 0 2 课后答案网 习题习题习题习题9 99 99 99 9 利用德拜频谱求固体在高温和低温下配分函数对数 从而求内能Zln 和熵 解解解解 式 3 9 4 i e e eZ 1 lnlnln 2 0 德拜频谱 B N D 9 3 对于振动 1 ln 1 lnlnln 2 0 2 0 0 2 0 xd e e B dD e e eZ D D 代换 dxxe B dB DD x2 00 3 2 0 1ln 2 3 4 0 3 4 0 1 5 15 3 1 D N U B U 计算略S 高温近似 T0 3 ln 1 lnln 3 0 0 2 0 0 dBdBZ DD D dB ab 0 2 0 3 0 3 1 ln 3 BB DD 9 ln 3 33 0 计算略 NN ln3 0 习题习题习题习题9 109 109 109 10 固体的结合能和德拜特征温度都是体积的函数 利用上题求 0 U D V 得 的求低温条件下固体的物态方程 令 试证明 在高温及低温Zln V D ln ln 下 课后答案网 固体的物态方程都可表为 V UU dV dU p 00 解解解解 以低温为例 3 0 3 0 3 4 0 11 5 ln D DD AUAU N UZ 据正则分布热力学公式 9 5 3 将及视为体积的函数 0 U D V 1 V A V U V Z p V A V U V Z D D D D 44 0 44 0 3 ln1 3 ln 据热力学式 9 5 1 得出 44 0 3 ln D AU Z 2 44 0 3 ln D AU Z U 联立 1 2 得出 V UU V U p D D 00 V UU dV dU VV UU dV dU D00 0 0 ln ln 其中 原式得证 高温情况可作类似处理 略 V D ln ln 习题习题习题习题9 119 119 119 11 固体中某种准粒子遵从玻色分布 具有以下的色散关系 试 4 Ak 证明 在低温范围内 这种准粒子的激发所导致的热容量与成比例 铁磁铁中的自 2 3 T 旋波 具有这种性质 证证证证 色散关系 粒子体系 固体 2 Ak N dkk V ddkdk V dkdkdk V dD zyx 2 2 2 0 2 3 0 2 0 3 0 sin 44 d A V A A d A V 2 1 2 322 2 2 课后答案网 令 2 32 2A V B DD NdBdD 0 2 1 0 B N D 2 3 2 3 DD d e DBUd e DUU kTkT 0 2 3 0 0 0 11 D d e DBUU kT 0 2 3 0 1 代换 kTx D dx e x kT kT BUU x 0 2 3 2 3 0 1 当时 0 T 0 2 3 2 3 2 5 0 1 dx e xkT BUU x 于是 2 5 0 kTUU 2 3 TC T U v 习题习题习题习题9 149 149 149 14 用巨正则分布导出单原子分子理想气体的物态方程 内能 熵和化学 势 解解解解 参照 9 17 关于玻耳兹曼体系配分函数的处理 ll ll l l e 0 0 lnlnln 过渡到连续能量分布得 3 2 3 2 3 2222 ln dpee h V dpdpdpe h V p m zyx ppp m zyx 3 0 2 3 2 2 2 m m dee h V p m 2 3 2 2 3 2 3 3 22 h m Ve m e h V 课后答案网 利用热力学式可求得 等 略 kTNpV kTNU 2 3 注 单粒子处于 能级的能量 l l 习题习题习题习题9 169 169 169 16 设单原子分子理想气体与固体吸附面接触达到平衡 被吸附的分子可 以在吸附面上作二维运动 其能量为 束缚能是大于 0 的常数 试根 0 2 2 m p 0 据巨正则分布求吸附面上被吸附分子的面密度与气体温度和压强的关系 解解解解 2 exp 2 0 0 0 2 2 2 0 1 2 0 2 0 2 e h mA e h m N A dpdpe hN eA de hN e N N N N N m p N N NN pqE N N N 因而 0 2 2 ln e h mkTA 又 N 0 2 2 e h mkTA 故 2 3 2 2 mkT h kT p e kT e mkT h h mpA N 0 2 3 2 2 2 2 得出 A N kT e mkT h kT p 0 2 1 2 2 习题习题习题习题9 179 179 179 17 利用巨正则分布导出玻耳兹曼分布 解解解解 由于玻耳兹曼系 粒子可分辨 从而 NS EN s e l ll l aE a e aaaa N 321 为简单起见 考虑无简并 有简并情况完全可类似处理 l ll l aE a e aaaa 1 321 ll l aE lal e a 1