数学史上一颗闪耀的流星_天才数学家阿贝尔.pdf

15 21 27 张卡片需要三次这样的操作就可以 了 那其他情形怎样呢 我们再来看一种卡片更多 的情形 假设选取了 33 张卡片 经过第一次确认后 放在中间列 在新序列 1 的区间范围是 12 22 12 22 在第二次分卡片时处于第四行 第五行 第 六行 第七行和第八行 不妨假设第一次确认后卡片 在第 12 个位置上 在第二次确认后在第 15 个位置 上 在第三次确认后在第 16 个位置上 在第四次确 认后在第 17 个位置上 这个位置恰好是 33 张卡片 的中位数的位置 根据重复性与对称性我们可知 对 于在新序列 1 中处于 13 22 号位置上的卡片最多 经过四次这样的操作 都移到了中位数的位置了 对 于 39 45 51 57 81 张卡片 大家可以推知 经过 四次这样的操作后 卡片就移到了中位数的位置 下 面列表进行归纳 卡片张数15 21 27 33 39 45 51 57 63 69 75 81 87 第二次分 卡片时占 的行数 333555777999 11 确认次数3334444444444 我们通过上表可以看出 所选的卡片数应该满 足 a 9 6b b I N 当卡片数不小于 33 张的时 候 需要经过 4 次这样的操作 是不是所有满足 a 9 6b b I N b 4 的都需要 4 次操作呢 答案是否定的 通过有限的数据计算归纳出来 的猜想并不一定正确 随着卡片数量增多 需要操作 的次数可能会增加 例如 当卡片数是 207 时 需要 5 次这样的操作 当卡片数是 6021 时 需要 8 次这 样的操作 当卡片数是 24015 时 需要 10 次这样的 操作 当卡片数是 29997 时 也需要 10 次这样的操 作 注 操作的次数是通过运行计算机程序计算出 来的 作者有计算机原程序 如果需要可以提供 参考文献 1 黄敏 扑克牌魔术中的统计规律 J 中国统计 2010 2 收稿日期 2011 02 19 数学史上一颗闪耀的流星 天才数学家阿贝尔 郑 良 安徽省灵璧第一中学 234200 有这样一个人 生前饥寒交迫 逝后以其名命名 的数学奖项奖金最高 生前学术著作横遭冷遇 逝后 其文集被推崇备至 他就是挪威天才数学家尼尔斯 亨里克 阿贝尔 Niels Henrik Abel 1802 1829 近世代数的创始 人之一 他于 1802年 8月 5 日出生于挪威的一个牧 师家庭 兄弟姐妹共 7 人 生活十分清苦 尽管他很 早就显示出数学方面的才华 但直到 13 岁时才被送 到克里斯汀尼亚 现在的挪威首都奥斯陆 市的一个 教学质量低下 教学方法陈旧的天主教学校读书 1817 年是阿贝尔命运的转折点 他幸遇一位有才华 的数学教师洪波义 Bernt Michael Holmboe 洪波 义曾是挪威著名天文学家汉斯丁教授的助教 学识 渊博 教学方法新颖 鼓励学生独立解决问题 阿贝 62 数学通讯 2011 年第 6 期 下半月 课外园地 尔充分领略数学的乐趣 常常思考并解决一些其他 同学不能解决的问题 洪波义很快就发现阿贝尔是 一个优秀的数学天才0并给予个别指导 使其短期 内学完大部分的初等数学 循序渐进地学习高等数 学 洪波义又介绍他阅读牛顿 欧拉 拉格朗日 高 斯的著作 鼓励其走数学研究的道路 大师们不同凡 响的创造性方法和成果 开阔了阿贝尔的视野 把他 带入一个崭新的境界 他很快被推进到当时数学研 究的前沿阵地 后来他感慨 一个人如果要在数学上 有所进步 就必须向大师学习 0 在他 16 岁时 发现欧拉对二项式定理只证明有 理数指数的情形 于是他给了对一般情形都成立的 证明 他开始研究当时数学上悬而未决的世界难题 五次方程的一般解问题 也就是指能否按解二 次方程那样用求根公式 通过有限次的加 减 乘 除 及开方运算 用方程的系数来表示五次方程的根 他 经过认真研究后写出了一篇解决五次方程的论文交 给了洪波义 洪波义看了半天没看懂 经汉斯丁教 授转给丹麦著名数学家戴根 Carl Ferdinand Degen 1766 1825 戴根没有看出阿贝尔的文章有什么 错误 根据他的经验 以前那么多数学家都没能解决 的数学难题 不可能就这么简单地解决了 通过这 篇论文 他对阿贝尔的数学才华感到惊叹 他回信 让阿贝尔用实例来验证自己的方法并给出建议 与其着手解决被认为非常难解的方程问题 不如 把精力和时间投入到对解析学和力学的研究上 例 如 椭圆积分就是很好的题目 相信你会取得成功 0 通过验证 阿贝尔果真发现了文章中的错误 在 阿贝尔更深入地思考与研究五次方程问题的同时又 开始了对椭圆函数的研究 1820 年 他的父亲去世了 原本贫困的生活雪 上加霜 洪波义希望阿贝尔上大学 他认为 一个数 学天才 如果他活下去 就可能会成为大数学 家 0在洪波义及他以前的教授帮助下 阿贝尔在 1821 年进入了克里斯汀尼亚大学并完成了学业 生活上的贫困没有动摇阿贝尔探索数学奥秘的 决心 反使他愈挫愈勇 他一年就取得学位 以后就 可以自由研究他感兴趣的东西 读他喜欢的数学 不 受束缚 1823 年 他在汉斯丁创办的科学杂志上发 表了第一篇论文是关于用积分方程求解古老的 等 时线0问题的 这是对这类方程的第一个解法 开了 研究积分方程的先河 可惜在当时并没有受到其他 数学家的重视 教天文学的拉斯穆森教授在 1823 年夏天给阿 贝尔一笔钱去哥本哈根见戴根 希望他能在外面见 识和扩大眼界 从丹麦回来后他向五次方程求解问 题发起新的冲击 上次的错误给了他非常有益的启 发 他开始怀疑 一般五次方程究竟是否可解 问题 的转换开拓了新的探索方向 1824 年 他终于成功 地证明了要像较低次方程那样用根式解一般五次方 程是不可能的 即证明了 高于四次的一般代数方程 不可能有一般形式的根式解 0 踌躇满志的阿贝尔把他的研究成果用法文写成 论文5论代数方程 证明一般五次方程的不可解性6 在文章里首先引入交换群 现亦称 Abel 群 概念 开 辟了近世代数方程论的道路 从而使他成为群论的 先驱 近世代数的创始人 为了节省印刷费用 他把 文章压缩为仅有六页的小册子 当他满怀信心地寄 给当时著名的数学家 包括著名的数学家高斯 希望 得到别人的回应 可惜文章太过简洁 没有人看得 懂 老数学家高斯也认为这么短的文章解决他都没 有解决的问题是不可能的 以至于连信都未开封 阿贝尔毕业后 没有找到工作 而且订婚了 他 不能再靠教授朋友捐钱过日子 必须找到一份可以 养家糊口的工作 阿贝尔的教授们和朋友们强烈地 意识到他的数学思想已经远远超越了挪威国界 需 要与有同等智力的人交流思想和经验 他们决定说 服学校当局向政府申请一笔公费 以便他能作一次 到欧洲大陆的数学之行 终于在 1825 年 8 月阿贝尔 获得公费 开始其历时两年的大陆之行 柏林是阿贝尔的第一站 他在那里滞留了将近 一年时间 这一年却是他一生中最幸运 成果最丰硕 的时期 在这里 阿贝尔遇到并熟识了他的第二个伯 乐 克 雷 尔 AugustLeopoldCrelle 1780 1855 在他与斯坦纳建议下 克雷尔创办了著名数 学刊物5纯粹数学与应用数学杂志6 俗称 克雷尔杂 志0 该杂志第一卷发表的全都是阿贝尔的共 7 篇 论文 在以后 2 卷中又发表了阿贝尔的 15 篇论文 这 22 篇论文包括方程论 无穷级数 椭圆函数论等 方面 其中最著名的是阿贝尔 1826 年完成的5关于 63 课外园地 数学通讯 2011 年第 6 期 下半月 很广一类超越函数的一个一般性质6的论文 因为杂 志 阿贝尔的许多论文才得以发表 其逐渐地为欧洲 大陆数学家知晓 其工作被开始关注 同时阿贝尔的 出色论文也使该杂志获得了永恒的声誉 阿贝尔一生最重要的工作 关于椭圆函数理 论的广泛研究就完成于这一时期 现在公认 在被称 为 函数论世纪0的 19 世纪的前半叶 阿贝尔的工作 雅可比发展了这一理论 是函数论的两个最高成果 之一 19 世纪初 椭圆积分方面的权威是法国科学 院的勒让得 A M Legen dre 1752 1833 他研究 这个题材长达 40 年之久 引出许多新的推断 组织 了许多常规的数学论题 但他却没有增进任何基本 思想 把这项研究引到了 山重水复疑无路0的境地 正是阿贝尔 使勒让得在这方面所研究的一切黯然 失色 开拓了 柳暗花明0的前途 阿贝尔的思想高屋建瓴 势如破竹地推进他的 研究 他建立了椭圆函数的加法定理 提出一种更普 遍更困难类型的积分 阿贝尔积分 并获得了这 方面的一个关键性定理 即著名的阿贝尔基本定理 阿贝尔把这些丰富的成果整理成一长篇论文 他把 所有的希望都寄托在法国的数学家身上 他婉辞了 克雷尔劝其定居柏林的建议后启程前往巴黎 因为 那里荟萃着像柯西 勒让得 拉普拉斯 傅立叶 泊松 这样一些久负盛名的数学巨擘 阿贝尔相信他将在 那里找到知音 1826 年 7 月 阿贝尔抵达巴黎 他拜谒了那里 所有出名的数学家 不幸的是 没有一个人愿意仔细 倾听他谈论自己的工作 他通过正常渠道将论文提 交法国科学院 科学院秘书傅立叶委托勒让得和柯 西负责审查 柯西把稿件带回家中 竟不记得放到什 么地方了 直到两年以后阿贝尔已经去世 失踪的论 文原稿才重新找到 而论文的正式发表 则延迟达 12 年之久 从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望 阿贝尔 在巴黎空等了将近一年 因为贫困他每天只吃两顿 饭 一天 他感到身体很不舒服 经医生检查 诊断为 肺病 身心俱疲的阿贝尔只好拖着病弱的身体 怀着 一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别巴黎回国 当他重到 柏林时 已经囊空如洗 幸亏洪波义及时汇到一些 钱 才使他能在柏林稍事休整后徒步返回家园 阿贝尔最终毕竟是幸运的 他回挪威后一年里 欧洲大陆数学界渐渐了解了他 继失踪的那篇主要 论文之后 阿贝尔又写过若干篇类似的论文 都在 克雷尔杂志0上发表了 这些论文将阿贝尔的名字 传遍欧洲所有重要的数学中心 他也已成为众所瞩 目的优秀数学家之一 遗憾的是 他对此情况竟一无 所知 甚至连他想在自己的国家谋一个普通的大学 教职也不可得 为生活所迫 他只好去当家庭教师 即使在这种状况下 他也没有放弃他的数学研究 在 患病期间 阿贝尔又竭尽全力地把法兰西科学院没 发表的论文做了修改分寄给其它法国科学家 著名 数学家雅可比和勒让得认真看了这篇论文后都非常 吃惊 认为这是数学中最重要的发现 1829年 1 月 阿贝尔的病情恶化 他开始大口 吐血 并不时陷入昏迷 他的最后日子是在作私人教 师的未婚妻克里斯汀的雇主家里度过的 临终的前 几天 克里斯汀坚持只要自己一个人照看阿贝尔 她 要 独占这最后的时刻0 1829 年 4 月 6 日凌晨 这 颗耀眼的数学新星过早地殒落了 阿贝尔病逝三天 后 克雷尔的一封信寄到 告知柏林大学已决定聘请 他担任数学教授 法兰西科学院决定给阿贝尔颁发 科学研究奖金 这不能不说是科学界的一场悲哀 阿贝尔的科学探索与刻苦钻研精神深深地感动了 人们 他逝世后 为了永远怀念这位著名的天才数学 家 在挪威首都奥斯陆的皇家公园里竖立了阿贝尔的 塑像 他的老师洪波义于1839 年为阿贝尔校订出版了 数学论文集 阿贝尔短促的一生 却在数学史上留下了 光辉的篇章 数学中以他的姓氏命名的有 Abel 群 A bel 变换 Abel 求和法 Abel 函数 Abel 范畴 Abel 扩 张 Abel 定理 Abel 连续性定理 Abel 方程 Abel 积 分方程 Abel 微分 Abel 积分 Abel 不等式 著 名数学家埃尔米特曾说 阿贝尔留下来的问题 够 数学家忙 150 年0 德国著名数学家魏尔斯特拉斯 Weierstrass 说 阿贝尔做出了永恒 不朽的东西 他的思想将永远给我们的科学以丰饶的影响 0 2002 年 6 月 5 日 挪威邮政为这位天才数学家 200周年诞辰发行一套两枚由 Sverre Morken 设计 的纪念邮票 第一枚 图 1 邮票上的肖像来源于 1826 年画家 Johan Gorbitz 为他所作的肖像画 原作 现在收藏在奥斯陆大学 第二枚 图 2 是根据他的 64 数学通讯 2011 年第 6 期 下半月 课外园地 椭圆函数论所描绘出的曲线 图 1 图 2 早在 1902 年阿贝尔奖诞辰 100 周年之时 瑞 典挪威联合王国的 国王奥斯卡二世已提议设立 阿 贝尔奖0 后来由于瑞典王国和挪威王国的解体 这 个提议被放弃 终于在 2002 年挪威政府创立了数学 阿 贝尔奖0 官网 http www abelprisen no en 以纪念这位天才数学家诞辰 200 周年 阿贝 尔奖0每年颁发一次 奖金额为 600 万挪威克朗 约 合 100 万美元 阿贝尔短暂的人生像一颗流星 但这并不妨碍 他在数学天空中闪耀 他首次证明五次和高于五次 的方程不存在根式解 他是椭圆函数论的奠基人之 一 他求解第一个积分方程 他为无穷级数理论奠定 了严密的基础 参考文献 1 张顺燕 数学的源与流 M 北京 高等教育出版社 2003 12 2 李文林 数学史教程 M 北京 高等教育出版社 2000 8 3 黄运开 荆玉成 杨忠传 坎坷奇星 阿贝尔 M 济 南 山东教育出版社 2