江苏省南通市市直中学高三数学上学期调考试卷（含解析）.doc

江苏省南通市市直中学2015届 高三上学期调考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1（5分）已知集合a=2，1，b=1，2，3，则ab=2（5分）若复数z满足（1+i）z=2i，则复数z=3（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标为4（5分）函数y=cos2xsin2x的最小正周期为5（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数的和是奇数的概率为6（5分）某大学共有学生5600人，其中专科生1300人，本科生3000人，研究生1300人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为280的样本，则抽取的本科生人数为7（5分）如图所示的算法中，输出的结果是8（5分）已知直线y=x+a与曲线y=lnx相切，则a的值为9（5分）如图，各条棱长均为2的正三棱柱abca1b1c1中，m为a1c1的中点，则三棱锥mab1c的体积为10（5分）已知圆c：x2+y22x4y20=0，直线l过点p（3，1），则当直线l被圆c截得的弦长最短时，直线l的方程为11（5分）已知等比数列an的前n项和为sn，且a1+a3=1+a2+a4，s4=2，则数列an的公比q为12（5分）已知abc中，c=90，ca=3，cb=4，d、e分别为边ca、cb上的点，且=6，=8，则=13（5分）已知函数f（x）=，若f（x）在r上为增函数，则实数a的取值范围是14（5分）已知x0，y0，且满足x+=10，则2x+y的最大值为二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知在abc中，sin（a+b）=2sin（ab）（1）若b=，求a；（2）若tana=2，求tanb的值16（14分）如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pacd（1）求证：直线ab平面pcd；（2）求证：平面pad平面pcd17（14分）如图，海平面某区域内有a、b、c三座小岛（视小岛为点），岛c在a的北偏东70方向，岛b在c的南偏西40方向，岛b在a的南偏东65方向，且a、b两岛间的距离为3n mile求a、c两岛间的距离18（16分）已知椭圆c：+=1（a）的离心率为（1）求椭圆c的方程；（2）若p是椭圆c上任意一点，q为圆e：x2+（y2）2=1上任意一点，求pq的最大值19（16分）已知无穷数列an满足：a1=1，2a2=a1+a3，且对于任意nn*，都有an0，a2n+1=anan+2+4（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列an的通项公式20（16分）已知函数f（x）=exc，g（x）=ax3+bx2+cx（a，b，cr）（1）若ac0，求证：函数y=g（x）有极值；（2）若a=b=0，且函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个相异交点，求证：c1江苏省南通市市直中学2015届高三上学期调考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1（5分）已知集合a=2，1，b=1，2，3，则ab=2，1，2，3考点：并集及其运算 专题：集合分析：根据两集合并集的感念进行求解即可解答：解：集合a=2，1，b=1，2，3，则ab=2，1，2，3故答案为：2，1，2，3点评：本题主要考查两集合的并集的感念，注意有重复的元素要当做一个处理2（5分）若复数z满足（1+i）z=2i，则复数z=1+i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则即可得出解答：解：（1+i）z=2i，（1i）（1+i）z=2i（1i），化为2z=2（i+1），z=1+i故答案为：1+i点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题3（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出p的值，可得到焦点坐标解答：解：抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）点评：本题主要考查抛物线的焦点坐标属基础题4（5分）函数y=cos2xsin2x的最小正周期为考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：利用倍角公式和两角和的余弦公式化y=，其中=arctan2再利用周期性公式即可得出解答：解：y=，其中=arctan2最小正周期为故答案为点评：熟练掌握倍角公式和两角和的余弦公式及周期公式即可得出5（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则两个数的和是奇数的概率为考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：用列举法列举总基本事件的个数和其和为奇数的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可解答：解：从1，2，3，4中随机取出两个不同的数的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个，其中和为奇数的有（1，2），（1，4），（2，3），（3，4）共4个，由古典概型的概率公式可知，从1，2，3，4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为p=，故答案为：点评：本题主要考查随机事件的性质，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题6（5分）某大学共有学生5600人，其中专科生1300人，本科生3000人，研究生1300人，现采用分层抽样的方法，抽取容量为280的样本，则抽取的本科生人数为150考点：分层抽样方法 专题：概率与统计分析：先根据总体数和抽取的样本，求出每个个体被抽到的概率，用每一个层次的数量乘以每个个体被抽到的概率就等于每一个层次的值解答：解：每个个体被抽到的概率为=，本科生被抽的人数是3000=150故答案为：150点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，本题是一个基础题7（5分）如图所示的算法中，输出的结果是11考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解答：解：当x=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，s=3，x=2；当x=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，s=5，x=3；当x=3时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，s=7，x=4；当x=4时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，s=9，x=5；当x=5时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，s=11，x=6；当x=6时，不满足进行循环的条件，故输出结果为11，故答案为：11点评：本题考查的知识点是程序语句，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答8（5分）已知直线y=x+a与曲线y=lnx相切，则a的值为1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题分析：先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在曲线y=lnx1的图象上又在直线y=x+a上，即可求出b的值解答：解：设切点坐标为（m，n）y|x=m=1解得，m=1切点（1，n）在曲线y=lnx的图象上n=0，而切点（1，0）又在直线y=x+a上a=1故答案为：1点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题9（5分）如图，各条棱长均为2的正三棱柱abca1b1c1中，m为a1c1的中点，则三棱锥mab1c的体积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：由=，利用等积法能求出三棱锥mab1c的体积解答：解：各条棱长均为2的正三棱柱abca1b1c1中，m为a1c1的中点，b1m平面acm，且b1m=，三棱锥mab1c的体积：=故答案为：点评：本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等积法的合理运用10（5分）已知圆c：x2+y22x4y20=0，直线l过点p（3，1），则当直线l被圆c截得的弦长最短时，直线l的方程为2xy5=0考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题；直线与圆分析：化已知圆为一般式，得到圆心c（1，2），半径r=5，利用垂径定理结合题意，即可求出直线l的方程解答：解：圆方程可化为（x1）2+（y2）2=25，圆心c（1，2），半径r=5，kcp=，当直线l被圆c截得的弦长最短时，直线l的方程为y1=2（x3），即2xy5=0故答案为：2xy5=0点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础11（5分）已知等比数列an的前n项和为sn，且a1+a3=1+a2+a4，s4=2，则数列an的公比q为考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由a1+a3=1+a2+a4得（a1+a3）（a2+a4）=1，再由s4=2得，s4=a1+a2+a3+a4=2（a1+a3）2（a2+a4），化简后利用等比数列的通项公式求出公比q解答：解：a1+a3=1+a2+a4，s4=2，（a1+a3）（a2+a4）=1则s4=a1+a2+a3+a4=2（a1+a3）2（a2+a4），即3（a2+a4）=a1+a3，3（a1q+a1q3）=a1+a1q2，解得q=，故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及变形化简能力，属基础题12（5分）已知abc中，c=90，ca=3，cb=4，d、e分别为边ca、cb上的点，且=6，=8，则=14考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：如图所示，通过向量的坐标运算、数量积运算即可得出解答：解：如图所示，c（0，0），a（3，0），b（0，4），设d（x，0），e（0，y）则=（x，4），=（3，0），=（3，y），=（0，4）=6，=8，3x=6，4y=8，解得x=2，y=2则=（3，2）（2，4）=68=14故答案为：14点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算，属于基础题13（5分）已知函数f（x）=，若f（x）在r上为增函数，则实数a的取值范围是考点：函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据函数在r上为增函数，得到3+a1+a2，解得1a2，再分类讨论x1时，x1时，根据函数的函数的单调性得到ar，求交集得到a的范围解答：解：f（x）=，若f（x）在r上为增函数，3+a1+a2，解得1a2，当x1时，函数f（x）=3x+a为增函数，ar当x1时，函数f（x）=x+a2为增函数，ar综上所述，实数a的取值范围是故答案为：点评：本题主要考查了函数的单调性，关键是根据函数的单调性构造关于a的不等式，属于基础题14（5分）已知x0，y0，且满足x+=10，则2x+y的最大值为18考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：变形利用基本不等式的性质和一元二次不等式的解法即可得出解答：解：x+=10，变形为+=10x0，y0，10（2x+y）=+10+2=+18，当且仅当y=4x=或12时取等号化为（2x+y18）（2x+y2）0，解得22x+y182x+y的最大值为18故答案为：18点评：本题考查了用基本不等式的性质和一元二次不等式的解法，属于基础题二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知在abc中，sin（a+b）=2sin（ab）（1）若b=，求a；（2）若tana=2，求tanb的值考点：两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值；解三角形分析：（1）利用已知条件通过两角和与差的三角函数，结合b=，通过三角形内角即可求a；（2）利用已知条件化简求出tana=3tanb，通过tana=2，即可求tanb的值解答：解：（1）由条件sin（a+b）=2sin（ab），b=，得 sin（a+）=2sin（a） 化简，得 sina=cosatana=又a（0，），a= （2）sin（a+b）=2sin（ab）sinacosb+cosasinb=2（sinacosbcosasinb）化简，得 3cosasinb=sinacosb又 cosacosb0，tana=3tanb又tana=2，tanb=点评：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，三角形的解法，考查计算能力16（14分）如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pacd（1）求证：直线ab平面pcd；（2）求证：平面pad平面pcd考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）由已知得abcd，由此能证明ab面pdc（2）由已知得cdad，pacd，从而cd平面pad，由此能证明面pad面pcd解答：（1）证明：abcd为矩形，abcd （2分）又dc面pdc，ab不包含于面pdc，（4分）ab面pdc （7分）（2）证明：abcd为矩形，cdad，（9分）又pacd，paad=a，pa，ad平面pad，cd平面pad （11分）又cd面pdc，面pad面pcd（14分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养17（14分）如图，海平面某区域内有a、b、c三座小岛（视小岛为点），岛c在a的北偏东70方向，岛b在c的南偏西40方向，岛b在a的南偏东65方向，且a、b两岛间的距离为3n mile求a、c两岛间的距离考点：解三角形的实际应用 专题：应用题；解三角形分析：先求出abc=105，再在三角形abc中，由正弦定理可得ac解答：解：由题意可知cab=45，acb=30 （4分）则abc=105 （6分）在三角形abc中，由正弦定理可得 （8分）ac=6sin105=（+） （12分）答：a、c两岛间的距离为（+）n mile （14分）点评：正确认识方向角的含义是解决本题的关键18（16分）已知椭圆c：+=1（a）的离心率为（1）求椭圆c的方程；（2）若p是椭圆c上任意一点，q为圆e：x2+（y2）2=1上任意一点，求pq的最大值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用e=，b2=2，a2=b2+c2解出即可（2）由圆e：x2+（y2）2=1可得圆心为e（0，2），又点q在圆e上，可得|pq|ep|+|eq|=|ep|+1（当且仅当直线pq过点e时取等号）设p（x1，y1）是椭圆c上的任意一点，可得=6于是|ep|2=由于，利用二次函数的单调性即可得出解答：解：（1）e=，又b2=2，a2=b2+c2解得a2=6椭圆c的方程为（2）由圆e：x2+（y2）2=1可得圆心为e（0，2），又点q在圆e上，|pq|ep|+|eq|=|ep|+1（当且仅当直线pq过点e时取等号）设p（x1，y1）是椭圆c上的任意一点，则，即=6|ep|2=+=6+=，当y1=1时，|ep|2取得最大值12，即|pq|+1|pq|的最大值为+1点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题19（16分）已知无穷数列an满足：a1=1，2a2=a1+a3，且对于任意nn*，都有an0，a2n+1=anan+2+4（1）求a2，a3，a4的值；（2）求数列an的通项公式考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知条件，令n=1，得=a1a3+4，令n=2，得，由此能求出a2，a3，a4的值（2）由=anan+2+4，得+4，由此推导出数列为常数数列从而能求出an=2n1解答：解：（1）由条件，nn*，=anan+2+4，令n=1，得=a1a3+4（2分）又2a2=a1+a3，且a1=1，解得a2=3，a3=5（4分）再令n=2，得，解得a4=7 （6分）（2）=anan+2+4，+4，由得，=（anan+2+4）（an+1an+3+4）=anan+2an+1an+3 （8分），an+1（an+1+an+3）=an+2（an+an+2），数列为常数数列（12分）=2，an+an+2=