数学试卷讲评课教学的“扫描”与“特写”.pdf

曩 一学 睁 赣一 朱恒元 浙江省义鸟中学 数学试卷讲评课在整个高三复习教学中占有相当的比重 尤其是在复习的最后冲刺阶段 其功能不可替代 其作用举 足轻重 伴随着信息技术辅助教学的常态化进行 不可避免地给 以纸质文本为主要载体的试卷讲评课教学造成一定的冲击 面对 整份试卷 立足一节课 如何提高试卷讲评课的可操作性和时 效性 这就成了数学教师普遍关心的一个教学疑难问题 本文所谈及的试卷讲评课指处在复习冲刺阶段的数学试卷 讲评课 它既不同于第一轮基础复习的单元练习讲评课 通常 是拉网式的 也不同于第二轮专题复习的章节考试讲评课 通 常是板块式的 而数学试卷讲评课 通常是直入式的 的根本 要求和鲜明特点是纵向深入推进 点 线 面 体 结合 珍 视学生劳动 强调解法优化 提高试卷讲评课 的可操作性 和时效性 其 基础工作就是要 仔细统计学生各题的答题正确率 简称正答率 从而准确判断 学生答题的成败 得失和优劣 全面把握试卷的结构 难度和 特点 下面笔者围绕 浙江省测试卷 讲评课的教学设计谈些 首先 感谢这份 测试卷 的设计 者和提供者 因为它是一份呕 心沥血的精品 不可多得之佳作 全卷与浙江省 2 0 0 9年高考试 卷题型相同 结构相仿 难度相当 选择题有 1 0道题 每题 5 分 共 5 0分 填空题有 7 道题 每题 4分 共 2 8 分 解答题 有 5道题 共 7 2分 选择题 和填空题第 1 1 7题 主要考查 数学 基础知识 基本方法和基本技能 第 1 8题主要考查正弦 余弦 定理 三角公式变换 三角形面积公式及向量数量积运算等基 础知识 同时考查运算求解能力 第 1 9题主要考查排列组合 随机事件的概率和随机变量的分布列 数学期望等概念 同时 考查抽象概括 能力 第 2 0题主要考查空 间线线 线面 面面位 置关系 空间向量的概念与运算等基础知识 同时考查空间想 象能力和推理运算能力 第 2 1 题主要考查抛物线的几何性质 直线与抛物线的位置关系等基础知识 考查解析几何的基本思 想方法和综合解题能力 第 2 2题主要考查函数的基本性质 导 数的概念 导数的应用等基础知识 同时考查逻辑推理能力和 创新意识 以下是笔者所任教班级学生考试中各题的正答率统 体会 计表 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 o 正答率 9 2 9 8 9 8 8 6 9 6 9 6 9 2 6 8 8 8 6 5 题序 1 l 1 2 1 3 1 4 1 5 l 6 1 7 1 8 1 1 8 2 1 9 1 正答率 9 2 9 2 9 6 9 2 8 6 9 2 7 4 9 2 9 6 9 6 题 序 1 9 2 2 0 1 2 0 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 正答率 9 2 3 2 4 4 9 6 2 4 9 2 6 由上表我们可 以把全卷试题 大致分 为三类 容易题为第 1 2 3 5 6 7 1 1 1 2 1 3 1 4 1 6 1 8 1 9题 中等题为第 4 8 9 1 0 1 5 1 7题 难题为第 2 O 2 1 2 2题 针对考情 结合学情 确定出该试卷讲评课的如下总体思路 一 用 扫描 方法讲评试卷 中的中等题 和容易题 1 中等题讲评教学中的 慢移 数学试卷讲评课也要有一个 早进高潮 的考量 针对试卷 中学生错误较多 解法欠佳的中等难度题 尤其是选择题和填 空题 我们应毫不吝啬地给以 慢移 扫描 通常采用实物投 影仪展示 以及学生板演抄录解答过程两种方法 让学生们共 同分享学习成果 一起分析问题症结 本节课笔者主要采用了后 1 O 者 即在批改试卷 了解实情的基础上 有选择地请 6位学生 以学习中等 生为主 板演抄录以下 6题的解 答过程 为方便读 者审视全卷 笔者保留了题序 4 若复数 与其共轭复数满足 l z I z 2 则 A 2 z 2 0 B z 一2 z一2 0 C 2 一 1 0 D 2 z 2 z 一1 0 情景回放生 设 b i o b R 通过解方程组求 出z 然后检验排除 故答案选 A 课堂反馈这 是对而不好 它 的奇思 妙想 由另一位 学生给 出 由 z 2 2可知 是方程 一2 z 2 0的两 2 0 1 0年第 1 2期 中 国数 学 教 育 个根 故答案选 A 这里的 妙 在于灵活运用了两个共轭复数 段函数的图象和性质 的性质 技能 8 看 粟 多 回俸 阳 砚 圈 多面体 的体积是 A c m3 B 2 c m c 5 c m D 7 c m3 单位 c m 如图 1 所示 则此 正视图 俯视图 情景回放生 画出这个多面体的直 观图 如图 2所示 单位正方体中削去 一 个正四面体 故答案选 C 课 堂反馈师生 的强烈感觉是三视 图 作为必考知识点 有可能成为命题的 实 验 田 涉及多面体的三视图的考题 似 乎难度会有所提高 二查 型 楚 煎 又考查 了灵活运用对称性解题的基本 1 5 如图 5所示 某城市的电视发射塔 C D建在市郊 的小山上 小山的高 B C为 3 5 米 在地面上有一点 测得 A C间的距离 为 9 1米 从 A观测 电视发射塔 C D的视角 C A D 为 4 5 则这座电视发射塔的高度 A D C D为 米 图5 情景回放生 着眼于 C D B D B C 然后解 B D B C所 在的两个直角三角形 得 C D 1 6 9 课堂反馈另一位学生提出 一步到位 设 AC B 0 1 则 s i n 百 1 2 COS O 丢 于 是 9 1 从 而 C D 1 6 9 这样求解更 为直接 简捷 糯 f 在 o 图2 上单调递增 则实数 的取值范围是 9 过双曲线等 一等 1 0 b 0 的右焦点F 作圆 C O z 的切线 F M 切点为 交 Y 轴于点 P 如图 3 所示 若 为线段 F P 的中点 则双曲线的离心率是 A B C 2 D 5 情景 回放生 设 出直线 F P的方 y 图 3 程 然后用直线 F P与圆相切的条件 以及利用中点的坐标公式 直接求解 故答案选 A 课堂反馈其实这是在杀鸡用牛刀 如果运用圆的切线性质 和根据中点条件 就会判断出 O F P是等腰直角三角形 从而 c 厂 a 我们的解题体会是解析几何问题 的解决需要重视发 挥平面几何知识 的功能 1 0 在直角坐标系中 如果两点A a b B 一 a 一 b 在函 数 Y f x 的 图象 上 那 么称 A B 为 函数f 的一 组关 于 原点的中心对称点 A 与 B 看作一组 函数 g x j 手 0 关 于 原 点 的 中 心 对 称 点 的 组 数 为 1o g 1 0 A 1 B 2 C 3 D 4 情景 回放生 画 出了函数 图象 但接下来无所适从 课堂 反馈 大家经 过讨论 如 图4所示 得出解答 画出Y轴右侧的图象关于原 点对称的部分 两者有 2 个交点 佛喝了一杯香茶 值得细细品味 s 1 一 一 4 L O 1 2 3 一 1 图 4 故答案选 B 解完这道题 仿 这是一道绝好的试题 既考查 了对数函数 三角函数 分 情景回放生 画出函数图象 如图 6所示 f 4 2 a 2 0 由 4 2 2 n 1 I D 1 解得 的取值范围 1 图6 课堂反馈学生们再一次强烈感受到了 画图一遍 思路 出现 的解题成功体验1 2 容易题讲评课教学中的 快闪 数学试卷讲评课还有一个节奏变化的问题 教学的前段节奏 明快 内容丰 富 信息量 大 兴奋 点多 根据 心理学原理 教 学的中段应该适当做些调整 其主色调是通过扫描中的 快闪 镜头放飞学习心情 调节课堂气氛 评价试题特点 我们可以让 学生在报告答案的同时 从知识考点 题目难度 关联程度等 诸方面加以扼要点评 以便大家更好地把握考试的重点 热点 冷点 做到心 中有 点 心 中有 题 心 中有 法 本卷第 2题考查二项展开式的通项 第 3 题考查充要条件 知识 和求 差 比较方法 第 5题 考查程序框 图的运行 第 6题考 查向量数量积的运算 第 7 题考查解直角三角形知识 第 1 1 题 考查线 性规划 第 l 2题考查数列 通项 第 l 4题考查 圆心到直 线距离的计算 第 1 6题考查均匀分组的方法 第 1 8 1 题利用正 弦定理化边为角 第 1 8 2 题运用三角形面积和向量数量积公 式 第 1 9题虽然考查随机变量的分布列 数学期望概念 但更 多的是考查排列 组合知识 这些小题大都属常见题 容易题和 易错题 难度与课本练习题 习题和复习题基本相当 限于篇 幅这里就不再一一列出 现仅分别摘录两位学生 以学习后进生 为主 对其中两题 的的发 言记 录 1 设非空集合 A 满足 A 日 则 A o A 使得 0 隹B B V A 有 B c j 0 B 使得 o A 中国数学教育 2 0 1 0 年 第1 2 期 1 1 至 B E N K A N T L A O 本刊特稿 D V E B 有 A 一 言两语答案选 B 考查集合的概念 同时又与简易逻辑 中的全称量词和存在量词的知识综合在一起 虽属基础题 但 可谓 小而新 1 3 已知 a o O 设方程 a cx a l 0的 1 个根是 则 1 一 a l n o 设方程 a c X a lx 2 0的 2 个根是 l 2 则 2 堕 设方程 a o x n l 3 0的 3个根是 1 2 托 则 X l X 2 X 3 一堕 n0 设方程 a o X a l x 嘞 0的4个根是 1 2 4 则 X l X 2 X 3 X 4 a 4 n0 由以上结论 推测出一般 的结论 设 方程 a o x 0 a n 一 a n 0的 n个根是 l 2 贝 l 2 一 言两语答案为 一 1 退 考查归纳推理的知识 难点在 于符号的处理 仿佛在观察数列的通项 答案一般不写成分段 形式 二 用 特 写 镜头讲评试卷 中的难题 数学试卷讲评课既要注重广度 又要挖掘深度 既要关注 学生的 面 也要照顾学生的 片 难题犹如堡垒 虽攻 之不 易 但解题的成就感高 学习的幸福感强 在讲评难题的过程 中 都会使各个层次的学生都学有所得 学有所长 学有所进 由此可见 讲评难题应成为数学试卷讲评课教学的重头戏 1 让解题 的思路来得宽广些 培养学生的发散性思维能力 是数学课堂教学的一项任务 具体到高三数学试卷讲评课 我们决不能因时间紧而忽视这项 任务一而贯之的落实 其实 数学解题的 强攻 和 轻取 通法 和 技巧 有时是 同样重要的 考场 中妙法解决 固然可 贺 但 笨法 成功更加可喜 因此 在试卷讲评课中 我们两 手都要抓 两手都要硬 要让解决难题的思路尽可能来得宽广些 2 0 如 图 7所示 在平面 内直线 与线段 A B相交 于 C 点 B C F 3 0 且 4C C B 4 将此平面沿直线 E F折成 6 0 的二面角 O L E j 平面 O L 点 P为垂足 1 求 AC P的面积 2 求异面直线A B与 F所成角的正切值 图 7 对这道 题 目 许 多学生第一念头 就是用 向量 的方法 这样 去解难度有些大 成功率不很高 如果把向量方法的参考答案用 投影仪展示出来 就会发现 建立坐标系不易 运算量颇大 功底不深厚的学生算出最后结果很困难 投影仪展 示 向量方法的参考答案 1 解 如图 8 所示 在平 面 d内 过 点 尸作 P Mj E F 点 为垂 足 连接 B M 则 B MP为二面角 一 E 的平面角 以点 P为 坐标原 点 以直线 P M 为 轴 与 F 平行的直线为 Y轴 射线 船 为 轴 的正 半轴 建立如图 8所示的空间直角坐标系 P z 在 R t AB MC中 由 B C M 3 0 C B 4 得 C M 2 B M 2 在 R t 日 肘 P中 由 B MP 6 0 B M 2 得 z 图 8 MP 1 BP x 3 故 P O 0 0 B 0 0 C 一 1 一 2 丁 0 M 一 1 0 0 由厶4 C M 1 5 0 得A 1 一 4 丁 0 所以 1 2 0 2 一 2 丁 0 则 一 1 0 c o s ACP 一 s i n ACP 2 1 3 2 1 3 因此 s A 3 3 2 解 1 4 一 丁 0 2 丁 0 2 4 一2 X 3 V 1 3 所以A 曰 与E F 所成角的正切 值为单 0 考试中 不少学生用传统的方法去解居然旗开得胜 大获 成功 投 影仪展示 传统方法的参考答 案 1 解 如图 9所示 在平面 内 过点 P作 上E F 点 为垂足 连结 B M 则4 B MP为二面角 O L E 的平面角 在 R t AB MC中 由A B C M 3 0 C B 4 得 C M 2x 3 BM 2 在 R t AB MP中 由 B MP 6 0 B M 2 得 肘P 1 在 R t AC MP中 由C M 2 MP 1 得 C P c o s Z PC M 图 9 s i n P C M 1 2 2 0 1 0 年 第1 2 期 中国 数学教 g s i n Z Ac P s i n 1 5 0 C M 所 以 s 3 3 2 解 如图 9 过点 4作Ap E F 交 MP于点 Q 则Z B AQ是AB与 E F所成的角 且 A Q上平面础 在 AB MO中 由 Z B MQ 6 0 B M MQ 2 得 8 Q 2 在 R t B A Q中 由Aq AC e o s 3 0 C M 4 R Q 2 得 t a n Z B AQ 因此A 曰与E F所成角的正切值为 教学随想为了顺利地实施新课程 我们刻意营造了立体 几何学习的一个 向量氛围 命制立体几何高考题时也给向量 方法做了一些倾斜 这样处理在实施伊始 人们还是可以理解 的 但传统方法解立体几何题 毕竟是立体几何学习的本质和精 髓 那种厚 向量方法 薄 传统方法 的教学现象应该终结 浙江省这份测试卷所传递出的信息多么清晰 何等重要 对于 1 传统方法的参考答案还可以进一步改进 课堂上 请生 做了展示 如图 l O所示 在平面 内 过点 P作 P M上E F 点 M为 垂足 连接 B M 则 B MP为二面角 E 的平 面角 在 R t C中 由 B C M 3 0 C B 4 得 C M 2 B M 2 在 R t P中 由 B MP 6 0 B M 2 得 MP 1 在 R t AC MP中 由 C M 2 3 MP 1 在平面 O l 内 过点 作 上 点 为垂足 如 图 1 l 所示 可得 C N 2 x 3 A N 2 图 1 1 S A c p S直角梯形舟 一Sm 腓 一S F G v 3x 3 2 让解题的思路 来得 简捷 些 让解决难题的思路既来得宽广些 又来得更优些 更好些 这是我们课堂教学的不懈追求 对于试卷讲评课 我们更关注学 生解题品质的提高 由此 后者往往比前者更为重要 教学中要 通过比较学生各种思路和方法的好坏 摸索出解决难题的规律 总结出解决难题的捷径 并让学生们在方法的取舍中学会交流 合作和共享 2 1 如 图 1 2所示 已知抛物线 C的顶 点在原 点 焦 点为 0 1 1 求抛物线 C的方程 2 在抛物线 C上是否存在点 P 使得过点 P的直线交 C于另一点 Q 满足 j O F 且 尸 9与 C在 点 P处 的 切线垂直 若存在 求出点 P的坐标 若不存在 请说明理由 对于 1 学生几乎都能运用抛物 线的标准形式 求出抛物线 c的方程 4y 投 影仪展 示 0 图 1 2 2 解 设 尸 Y q x 则抛物线 C在点 P处的切线方程是Y Y 直线 的方程是 Y 一 2 Y 将上式代入抛物线 C的方程 得 一4 2 y 1 0 故 2 一 2 一 8 4 y 所以 2 8 1 y 2 4 y1 4 1 1 而 Y 一1 y 2 1 一1 1 2 y lY 2 一 Y l Y 2 1 一4 2 Y 1 y 4 2 y l 4 一2 y 一 一7 2 y 1 一 4 Y 2 y 1 z 一 yl 二 2 2 yl 0 故 Y l 4 此 时 点 P的坐标是 4 4 经检验 符合题意 所以 满足条件的点 P存在 其坐标为 J p 4 4 教学随想提高解析几何解题品质的关键是重视运算的方 法和技巧 现在 许多学生对解析几何问题是 思路想得到 结 果做不出 究其原因 大多是被过程中的运算卡住了壳 这显 然是平时不重视运算的简捷性所产生的后果 因此 讲评解析几 何问题中 只讲思路分析 轻视运算过程 的现象要加以改变 要多让学生展示中间运算少而巧的解题过程 对 2 生 给出了新思路和好方法 其运算量明显减少 2 解 设 P X Y Q 2 因为y 1 所以 1 当 p 尸斜率不存在时 不满足题意 设直线 的方程为 Y k x b 中国数学 教育 2 0 1 0 年 第1 2 期 1 3 本刊特稿 由ly k x 得 一 4 一 4 6 0 4 由 得 4 4 X l X 2 一 一 4 6 因为 一 1 所以 l X X 2 一1 y 2 1 0 k 1 X I X 2 6 1 l 2 b一1 O 6 z一6 b 1 4 二 又 因 为 尸 Q 与c 在 点尸 处 切 线 垂 直 所 以 P b 一 2 将P 点 坐 标 代 入 4 y 得 鲁 4 b 一 2 联立 曼 2 所 以 Jp 一 4 4 或 4 4 3 让解题 的思路来得 自然些 思路 方法 技巧是数学试卷讲评课教学 的三个关键 词 思 路打不开 方法怎形成 方法没掌握 技巧哪会来 技巧不讲 究 魅 力咋感受 说实在 的 如果 数学 里没有 技巧性 的东西 就会大大削弱其吸引力 但 传授 技巧不能 从天而降 要 让学生在熟练掌握方法 的基础上 自然形成解题技 巧 要让学生 明白 不是技巧的技巧才是最好的技巧 要使技巧 常态化 要让技巧 草根化 2 2 已知 函数 f x 1 2 n 9 a 一4 x 5 1 2 a x 4 a a R 1 当 o 0时 求 函数 f x 的单调递增区问 2 若函数f x 在区间 0 2 上的最大值为2 求 n的取值 范围 对 1 学 生们不难 求 出函数 f 的单调递增 区间为 1 投 影仪展示 0 2 2 解 一方面 由题 意 得 1 2 f 2 2 即 0 n 1 另一方面当 0 n 时 f x 一 9 x 一1 2 x 4 a 一4 x 5 令g 一 2 x 9 x 一1 2 x 4 a 一乱 5 x 贝 0 g m ax g 0 g m ax X 3 4