江苏省南通市海安高级中学高三数学上学期12月检测试卷（含解析）.doc

2012-2013学年江苏省南通市海安高级中学高三（上）12月检测数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填在答题卡相应的位置上）1（5分）复数（i为虚数单位）的实部是1考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：把给出的复数分子分母同时乘以1+i，整理成a+bi（a，br）的形式，则实部可求解答：解：所以复数（i为虚数单位）的实部是1故答案为1点评：本题考查了复数的基本概念，考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法采用分组分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题2（5分）（2012泉州模拟）集合a=3，2a，b=a，b，若ab=2，则ab=1，2，3考点：并集及其运算；交集及其运算分析：根据题意，若ab=2，则2a，则可得2a=2，可得a的值，进而可得b的值，再由并集的意义，可得答案解答：解：根据题意，若ab=2，则2a，2b，而已知a=3，2a，则必有2a=2，故a=1，又由2b，且a=1则b=2，故ab=1，2，3，故答案为1，2，3点评：本题综合考查并集、交集的意义与运算，要求学生有一定的逻辑分析能力3（5分）已知等比数列an的各项都为正数，它的前三项依次为1，a+1，2a+5，则数列an的通项公式an=3n1考点：等比数列的性质专题：计算题分析：因为此等比数列的前三项依次为1，a+1，2a+5，根据等比数列的性质可得，第2项的平方等于第1第3项之积，列出关于a的方程，由各项都大于0，求出满足题意的方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入得到前3项的值，根据前3项的值分别求出等比数列的首项和公比，根据首项和公比即可写出等比数列的通项公式解答：解：由1，a+1，2a+5为等比数列的前3项，得到（a+1）2=2a+5，化简得：a2=4，由a+10得到a1，所以解得a=2，所以等比数列的前3项依次为：1，3，9，则a1=1，q=3，则数列an的通项公式an=3n1故答案为：3n1点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道综合题4（5分）若（，），sin2=，则cossin的值是考点：三角函数的恒等变换及化简求值专题：计算题分析：求出表达式的平方的值，根据角的范围确定表达式的符号，求出值即可解答：解：（cossin）2=1sin2=，又 ，cossin所以cossin=，故答案为：点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，注意角的范围三角函数的符号的确定，是本题的关键5（5分）（2013哈尔滨一模）设，是单位向量，且，则向量，的夹角等于60考点：数量积表示两个向量的夹角专题：计算题分析：根据，是单位向量，且，可得，两边平方，即可求得向量，的夹角解答：解：，是单位向量，且，两边平方可得：1+12cos=1cos=故答案为：60点评：本题考查向量知识的运用，考查向量的数量积，解题的关键是等式两边平方6（5分）若函数y=lnx+2x6的零点为x0，则满足kx0的最大整数k=2考点：函数的零点专题：函数的性质及应用分析：利用函数零点的判定定理即可得出解答：解：f（2）=ln220，f（3）=ln30，函数y=lnx+2x6的零点x0（2，3）满足kx0的最大整数k=2故答案为2点评：熟练掌握函数零点的判定定理是解题的关键7（5分）定义在r上的可导函数y=f（x）满足f（x+5）=f（x），（2x5）f（x）0已知x1x2，则“f（x1）f（x2）”是“x1+x25”的充分必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题；函数的性质及应用分析：求出函数y=f（x）图象的对称轴，然后根据（2x5）f（x）0，判定函数在对称轴两侧的单调性，最后根据函数的单调性对充分性和必要性分别加以验证，即可得到本题答案解答：解：f（5+x）=f（x），函数y=f（x）的图象关于x=对称（2x5）f（x）0，x时，f（x）0，可得函数f（x）单调递增；当x时，f（x）0，可得函数f（x）单调递减当f（x1）f（x2）时，结合x1x2，由函数单调性可得x25x1或x1x2x1+x25成立，故充分性成立；当x1+x25时，因为x1x2，必有x15x2成立，所以结合函数的单调性，可得f（x1）f（x2）成立，故必要性成立综上所述，“f（x1）f（x2）”是“x1+x25”的充分必要条件故答案为：充分必要点评：本题给出函数单调性的命题，要我们进行充分必要性的判断，主要考查函数的单调性、用导函数的正负判断函数单调和充分必要条件的判定等知识，属于属中档题8（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过点a（2，1），且在点a处的切线方程2xy+a=0，则a+b+c=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；导数的概念及应用分析：由函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过点a（2，1），推导出8+4a+2b+c=1，由f（x）在点a处的切线方程2xy+a=0，推导出f（2）=34+2a2+b=2，a=3，由此能求出a+b+c的值解答：解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过点a（2，1），8+4a+2b+c=1，且f（x）=3x2+2ax+b，f（x）在点a处的切线方程2xy+a=0，f（2）=34+2a2+b=12+4a+b=2，f（x）在点a处的切线方程为y1=2（x2），即2xy3=0，解得a=3，b=2，c=1，a+b+c=3+2+1=0故答案为：0点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程的求法及其应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用9（5分）在平面直角坐标系中，两条平行直线的横截距相差20，纵截距相差15，则这两条平行直线间的距离为12考点：两条平行直线间的距离专题：计算题；空间位置关系与距离分析：作出图形，利用等面积，即可得到结论解答：解：由题意，如图所示，设两条平行直线间的距离为d，则ab=20，bc=15，abbcbc=25由等面积可得1520=25d，d=12故答案为：12点评：本题考查两条平行直线间的距离，考查学生的计算能力，属于基础题10（5分）（2012桂林一模）半径为4的球面上有a，b，c，d四点，且满足abac，acad，adab，则sabc+sacd+sadb的最大值为（s为三角形的面积）32考点：基本不等式；球内接多面体专题：计算题；压轴题分析：设ab=a，ac=b，ad=c，根据abac，acad，adab，可得a2+b2+c2=4r2=64，而sabc+sacd+sadb=（ab+ac+bc），利用基本不等式，即可求得最大值为解答：解：设ab=a，ac=b，ad=c，abac，acad，adab，a2+b2+c2=4r2=64sabc+sacd+sadb=（ab+ac+bc）（a2+b2+c2）=32sabc+sacd+sadb的最大值为32故答案为：32点评：本题考查求内接几何体，考查基本不等式的运用，属于基础题11（5分）已知a（3，），o是原点，点p的坐标为（x，y）满足条件，则z=的取值范围是3，3考点：向量的投影；简单线性规划专题：计算题分析：由已知，z即为在上的投影先根据约束条件画出可行域，再利用z的几何意义求范围只需求出向量 和 的夹角的余弦值的取值范围，从而得到z的取值范围解答：解：=，当 时，=3，当 时，=3，z的取值范围是3，3故答案为：3，3点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化12（5分）若对x，y1，2，xy=2，总有不等式成立，则实数a的取值范围是a0考点：基本不等式在最值问题中的应用专题：计算题分析：先根据均值不等式求得：（2x）（4y）的最大值，要使不等式成立，需（2x）（4y）a成立求出（2x）（4y）的最小值即可解答：解：，即a（2x）（4y）恒成立，只需a（2x）（4y）的最小值而（2x）（4y）=84x2y+xy=8（4x+2y）+2=10（4x+2y）=10（4x+）令f（x）=10（4x+） x1，2则导数f（x）=（4）=0故f（x）在x1，2是减函数所以当x=2时取最小值0即（2x）（4y）的最小值为0所以a0点评：本题主要考查了本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用属基础题13（5分）给出下列四个命题：“k=1”是“函数y=cos2kxsin2kx的最小正周期为”的充要条件；函数y=sin（2x）的图象沿x轴向右平移个单位所得的函数表达式是y=cos2x；函数y=lg（ax22ax+1）的定义域是r，则实数a的取值范围是（0，1）；设o是abc内部一点，且，则aob与aoc的面积之比为1：2；其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用；充要条件；函数y=asin（x+）的图象变换专题：应用题分析：当k=1时，函数y=cos2kxsin2kx=cos2x的最小正周期也为；函数y=sin（2x）的图象沿x轴向右平移个单位所得的函数表达式是y=sin2（x）化简 即可由函数y=lg（ax22ax+1）的定义域是r可得ax22ax+10恒成立，分类讨论若a=0，可判断；设ac边上的中线为bd，由o是abc内部一点，且，可得o为bd的中点，=可求解答：解：当k=1时，函数y=cos2kxsin2kx=cos2x的最小正周期也为，故错误函数y=sin（2x）的图象沿x轴向右平移个单位所得的函数表达式是y=sin2（x）=cos2x，故错误由函数y=lg（ax22ax+1）的定义域是r可得ax22ax+10恒成立，若a=0，满足条件解可得0a1，从而有0a1，故错误设ac边上的中线为bd，由o是abc内部一点，且，可得o为bd的中点，=，正确故答案为：点评：本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，函数图象的平移及对数函数的定义域，函数的恒成立问题的求解，是一道综合题14（5分）（2010崇文区一模）定义在r上的函数满足f（0）=0，f（x）+f（1x）=1，且当0x1x21时，f（x1）f（x2），则=考点：函数的值专题：计算题；综合题分析：先由已知条件f（0）=0，f（x）+f（1x）=1，求出一些特值，f（1）=1，可得f（）=，再由当0x1x21时，f（x1）f（x2），结合=f（）可以看出x时，f（x）=，再利用条件将逐步转化到内，代入求解即可解答：解：由f（x）+f（1x）=1可知f（x）的图象关于对称，由f（0）=0得f（1）=1，中令x=1可得f（）=，又因为0x1x21时，f（x1）f（x2），所以x时，f（x）=，由可得=，因为，所以，所以故答案为：点评：本题考查抽象函数的性质的应用问题及转化思想，综合性较强，难度较大二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）（2010陕西）如图，a，b是海面上位于东西方向相距5（3+）海里的两个观测点，现位于a点北偏东45，b点北偏西60的d点有一艘轮船发出求救信号，位于b点南偏西60且与b点相距20海里的c点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达d点需要多长时间？考点：解三角形的实际应用专题：应用题分析：先根据内角和求得dab和，dba及进而求得adb，在adb中利用正弦定理求得db的长，进而利用里程除以速度即可求得时间解答：解：由题意知ab=5（3+）海里，dba=9060=30，dab=9045=45，adb=180（45+30）=105，在adb中，有正弦定理得=db=10又在dbc中，dbc=60dc2=db2+bc22dbbccos60=900dc=30救援船到达d点需要的时间为=1（小时）答：该救援船到达d点需要1小时点评：本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力16（14分）如图，m，n，k分别是正方体abcda1b1c1d1的棱ab，cd，c1d1的中点（1）求证：an平面a1mk；（2）求证：平面a1b1c平面a1mk考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题：证明题分析：对于（1），要证明an平面a1mk，只需证明an平行于平面a1mk内的一条直线，容易证明ana1k，从而得到证明；对于（2），要证明平面a1b1c平面a1mk，只需证明平面a1mk内的直线mk垂直于平面a1b1c即可，而bc1mk容易证明，从而问题得以解决解答：证明：（1）连接kn，由于k、n为cd，c1d1、cd的中点，所以kn平行且等于aa1，aa1kn为平行四边形ana1k，而a1k平面a1mk，an平面a1mk，从而an平面a1mk（2）连接bc1，由于k、m为ab、c1d1的中点，所以kc1与mb平行且相等，从而kc1mb为平行四边形，所以mkbc1，而bc1b1c，bc1a1b1，从而bc1平面a1b1c，所以：mk面a1b1c面a1b1c面a1mk点评：本题考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理的使用，要注意其中的转化思想的应用，即：将线面平行转化为线线平行，将面面垂直转化为线面垂直17（14分）如图：在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于a、b两点（1）若a、b两点的纵坐标分别为、，求cos（）的值；（2）已知点，求函数的值域考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：平面向量及应用分析：（1）由三角函数的定义可得sin，sin，再由同角三角函数的基本关系可得coscos，代入两角差的余弦公式可得；（2）由数量积的运算可得f（）=，由得范围，逐步求范围可得答案解答：解：（1）根据三角函数的定义，得，又是锐角，所以，因为是钝角，所以所以（2）由题意可知，所以，因为，所以，从而，因此函数的值域为点评：本题考查平面向量的数量积的运算，以及三角函数的运算公式和值域，属中档题18（16分）已知o为平面直角坐标系的原点，过点m（2，0）的直线l与圆x2+y2=1交于p，q两点（i）若，求直线l的方程；（）若omp与opq的面积相等，求直线l的斜率考点：直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质专题：计算题分析：（）利用两个向量的数量积的定义求出，poq=120，得到o到直线l的距离等于，根据点到直线的距离公式求出直线l的斜率，从而得到直线l的方程（）因为omp与opq的面积相等，可得，再由p，q两点在圆上，可解得点p的坐标，由两点式求得直线l的斜率解答：解：（）依题意，直线l的斜率存在，因为直线l过点m（2，0），可设直线l：y=k（x+2）因为p、q两点在圆x2+y2=1上，所以，因为，所以，所以，poq=120，所以，o到直线l的距离等于 所以，得，所以直线l的方程为 ，或 （）因为omp与opq的面积相等，所以，设p（x1，y1），q（x2，y2），所以，所以，即（*）； 因为，p，q两点在圆上，所以，把（*）代入，得，所以，所以，直线l的斜率，即 点评：本题考查两个向量的数量积的定义，直线和圆相交的性质，求出点p的坐标是解题的难点19（16分）（2009浙江）已知函数f（x）=x3（k2k+1）x2+5x2，g（x）=k2x2+kx+1，其中kr（i）设函数p（x）=f（x）+g（x）若p（x）在区间（0，3）上不单调，求k的取值范围；（ii）设函数是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2x1），使得q（x2）=q（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由考点：利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系专题：计算题；压轴题；分类讨论分析：（i）因p（x）=f（x）+g（x）=x3+（k1）x2+（k+5）x1，先求导数：p（x），因p（x）在区间（0，3）上不单调，得到p（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，再利用分离参数的方法得出，最后再利用导数求出此函数的值域即可；（ii）先根据题意得出当k=0时不合题意，因此k0，下面讨论k0的情形，分类讨论：（）当x10时，（）当x10时，最后综合（）（）即可得出k值解答：解析：（i）因p（x）=f（x）+g（x）=x3+（k1）x2+（k+5）x1，p（x）=3x2+2（k1）x+（k+5），因p（x）在区间（0，3）上不单调，所以p（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，由p（x）=0得k（2x+1）=（3x22x+5），令t=2x+1，有t（1，7），记，则h（t）在（1，3上单调递减，在3，7）上单调递增，所以有h（t）6，10），于是，得k（5，2，而当k=2时有p（x）=0在（0，3）上有两个相等的实根x=1，故舍去，所以k（5，2）；（ii）当x0时有q（x）=f（x）=3x22（k2k+1）x+5；当x0时有q（x）=g（x）=2k2x+k，因为当k=0时不合题意，因此k0，下面讨论k0的情形，记a=（k，+），b=（5，+）（）当x10时，q（x）在（0，+）上单调递增，所以要使q（x2）=q（x1）成立，只能x20且ab，因此有k5，（）当x10时，q（x）在（，0）上单调递减，所以要使q（x2）=q（x1）成立，只能x20且ab，因此k5，综合（）（）k=5；当k=5时a=b，则x10，q（x1）b=a，即x20，使得q（x2）=q（x1）成立，因为q（x）在（0，+）上单调递增，所以x2的值是唯一的；同理，x10，即存在唯一的非零实数x2（x2x1），要使q（x2）=q（x1）成立，所以k=5满足题意点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决