江苏省苏北四市高三数学上学期期末统考试题苏教版 (2).doc

1 苏苏 北北 四四 市市 数数 学学 试试 题题 数学数学 必做题部分必做题部分 本部分满分 160 分 时间 120 分钟 参考公式 参考公式 锥体的体积公式 1 3 vsh 其中s是锥体的底面面积 h是高 一 填空题 本题共一 填空题 本题共 1414 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 7070 分分 请把答案填写在答题卡上请把答案填写在答题卡上 1 设复数 12 2i izzm m r i为虚数单位 若 12 zz 为实数 则m 的值为 2 已知集合 2 aa a 1 1 3 b 且ab 则实数a的值是 3 某林场有树苗 3000 棵 其中松树苗 400 棵 为调查树苗的生长情况 采用分层抽样的 方法抽取一个容量为 150 的样本 则样本中松树苗的棵数为 4 在abc 的边 ab 上随机取一点p 记cap 和cbp 的面积分别为 1 s 和 2 s 则 12 2ss 的概率是 5 已知双曲线 22 22 1 xy ab 的一条渐近线方程为20 xy 则该双曲线的离心率为 6 右图是一个算法流程图 则输出s的值是 7 函数 lg 23 xx f x 的定义域为 8 若正三棱锥的底面边长为2 侧棱长为 1 则此三棱锥 的体积为 9 在 abc中 已知3ab o 120a 且abc 的面积 为 15 3 4 则bc边长为 10 已知函数 2f xx x 则不等式 2 1 fxf 的 解集为 11 已知函数 2sin 2 0 4 f xx 的最大值与最小正周期相同 则函数 f x在 1 1 上的单调增区间为 12 设等比数列 n a的前n项和为 n s 若 435 aaa 成等差数列 且33 k s 1 63 k s 其中k n 则 2k s 的值为 13 在平面四边形abcd中 已知3ab 2dc 点 e f分别在边 ad bc上 且 3adae 3bcbf 若向量ab 与 dc 的夹角为60 则ab ef 的值为 开始 结束 输出s 10n 2nn y n 0 1sn 第 6 题图 ssn 注意事项注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1 本试卷共 4 页 均为非选择题 第 1 题 第 20 题 共 20 题 本卷满分为 160 分 考 试时间为 120 分钟 考试结束后 请将本试卷和答题卡一并交回 2 答题前 请您务必将自己的姓名 准考证号用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置 3 作答试题 必须用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答 在其它位置 作答一律无效 4 如需作图 须用 2b 铅笔绘 写清楚 线条 符号等加黑 加粗 2 14 在平面直角坐标系xoy中 若动点 p a b到两直线 1 l yx 和 2 l 2yx 的距离 之和为2 2 则 22 ab 的最大值为 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 6 小题 共计小题 共计 9090 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明过程或演算步骤 字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知向量 cos sin a 2 1 b 1 若 ab 求 sincos sincos 的值 2 若2 ab 0 2 求sin 4 的值 16 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥pabc 中 点 e f分别是棱 pc ac的中点 1 求证 pa 平面 bef 2 若平面pab 平面abc pbbc 求证 bcpa 17 本小题满分 14 分 某单位拟建一个扇环面形状的花坛 如图所示 该扇环面是由以点o为圆心的两个同 心圆弧和延长后通过点o的两条直线段围成 按设计要求扇环面的周长为 30 米 其 中大圆弧所在圆的半径为 10 米 设小圆弧所在圆的半径为x米 圆心角为 弧度 1 求 关于x的函数关系式 2 已知在花坛的边缘 实线部分 进行装饰时 直线部分的装饰费用为 4 元 米 弧线 部分的装饰费用为 9 元 米 设花坛的面积与装饰总费用的比为y 求y关于x的 函数关系式 并求出x为何值时 y取得最大值 p a b c f e 第 16 题图 o 第 17 题图 3 18 本小题满分 16 分 已知abc 的三个顶点 1 0 a 1 0 b 3 2 c 其外接圆为ha 1 若直线l过点c 且被ha截得的弦长为 2 求直线l的方程 2 对于线段bh上的任意一点p 若在以c为圆心的圆上都存在不同的两点 m n 使得点m是线段pn的中点 求ca的半径r 的取值范围 19 本小题满分 16 分 已知函数 32 5 2 f xxxaxb a b为常数 其图象是曲线c 1 当2a 时 求函数 f x的单调减区间 2 设函数 f x的导函数为 fx 若存在唯一的实数 0 x 使得 00 f xx 与 0 0fx 同时成立 求实数b的取值范围 3 已知点a为曲线c上的动点 在点a处作曲线c的切线 1 l 与曲线c交于另一点b 在点b处作曲线c的切线 2 l 设切线 12 l l 的斜率分别为 12 k k 问 是否存在常数 使得 21 kk 若存在 求出 的值 若不存在 请说明理由 4 f e d c b a 第 21 a 图 20 本小题满分 16 分 已知数列 n a满足 1 ax 2 3ax 2 11 32 2 nnn sssnnn n n s是数列 n a 的前n项和 1 若数列 n a为等差数列 求数列的通项 n a 若数列 n b满足2 n a n b 数列 n c满足 2 21nnnn ct btbb 试比较数列 n b 前n项和 n b与 n c前n项和 n c的大小 2 若对任意 n n 1nn aa 恒成立 求实数 x的取值范围 数 学 试 题 数学数学 附加题部分附加题部分 注意事项注意事项 1 本试卷共 2 页 均为非选择题 第 21 题 第 23 题 共 4 题 本卷满分为 40 分 考 试时间为 30 分钟 考试结束后 请将本试卷和答题卡一并交回 2 作答试题 必须用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答 在其它位 置作答一律无效 21 选做题选做题 本题包括本题包括 a a b b c c d d 四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作 答答 若多做 则按作答的前两题评分若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 a a 选修选修 4 4 1 1 几何证明选讲 几何证明选讲 本小题满分 10 分 如图 点 d 为锐角abc 的内切圆圆心 过点a作直线 bd 的垂线 垂足为 f 圆 d 与边ac相切于点e 若50c 求def 的度数 b b 选修选修 4 4 2 2 矩阵与变换 矩阵与变换 本小题满分 10 分 设矩阵 0 0 a b m 其中00ab 若曲线c 22 1xy 在矩阵m所对应的变 5 换作用下得到曲线 2 2 1 4 x cy 求a b 的值 c c 选修选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系xoy中 已知直线l的参数方程是 2 2 2 4 2 2 xt yt t为参数 以 o 为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 圆c的极坐标方程 为2cos 4 由直线l上的点向圆c引切线 求切线长的最小值 d d 选修选修 4 4 5 5 不等式证明选讲 不等式证明选讲 本小题满分 10 分 已知 a b c均为正数 证明 2222 111 6 3abc abc 必做题必做题 第第 2222 题 第题 第 2323 题 每题题 每题 1010 分 共计分 共计 2020 分分 请在答题卡指定区域内作答 解请在答题卡指定区域内作答 解 答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 某品牌汽车 4s店经销 a b c三种排量的汽车 其中 a b c三种排量的汽车依次有 4 3 款不同车型 某单位计划购买 3 辆不同车型的汽车 且购买每款车型等可 能 1 求该单位购买的 3 辆汽车均为b种排量汽车的概率 2 记该单位购买的 3 辆汽车的排量种数为x 求x的分布列及数学期望 23 本小题满分 10 分 已知点 1 0 a 1 0 f 动点p满足2 ap affp 1 求动点p的轨迹c的方程 2 在直线l 22yx 上取一点q 过点q作轨迹c的两条切线 切点分别 为 m n 问 是否存在点q 使得直线mn l 若存在 求出点q的坐标 若不 存在 请说明理由 6 参考答案 数学 部分 一 填空题 一 填空题 1 2 2 1 3 20 4 1 3 5 5 6 25 7 0 8 1 6 9 7 10 1 11 1 3 4 4 12 129 13 7 14 18 二 解答题 15 1 由 ab可知 2cossin0 a b 所以sin2cos 2 分 所以 sincos2coscos1 sincos2coscos3 6 分 2 由 cos2 sin1 ab可得 22 cos2 sin1 ab64cos2sin2 即12cossin0 10 分 又 22 cossin1 且 0 2 由 可解得 3 sin 5 4 cos 5 12 分 7 所以 22 347 2 sin sincos 4225510 14 分 16 1 在pac 中 e f分别是pc ac的中点 所以 paef 又pa 平面bef ef 平面bef 所以 pa平面bef 6 分 2 在平面pab内过点p作pdab 垂足为d 因为平面pab 平面abc 平面pab 平面abcab pd 平面pab 所以pd 平面abc 8 分 又bc 平面abc 所以pdbc 10 分 又pbbc pdpbp pd 平面pab pb 平面pab 所以bc 平面pab 12 分 又pa 平面pab 所 以bcpa 14 分 17 1 设扇环的圆心角为 则 30102 10 xx 所以 102 10 x x 4 分 2 花坛的面积 为 222 1 10 5 10 550 010 2 xxxxx x 7 分 装饰总费用为 9108 10 17010 xxx 9 分 所以花坛的面积与装饰总费用的比 22 550550 1701010 17 xxxx y xx 11 分 令17tx 则 3913243 101010 yt t 当且仅当t 18 时取等号 此时 12 1 11 x 答 当1x 时 花坛的面积与装饰总费用的比最 大 14 分 注 注 对 y 也可以通过求导 研究单调性求最值 同样给分 18 1 线段 ab 的垂直平分线方程为0 x 线段bc的垂直平分线方程为30 xy p a b c f e d 8 所以abc 外接圆圆心 0 3 h 半径 22 1310 圆h的方程为 22 3 10 xy 4 分 设圆心h到直线l的距离为d 因为直线l被圆h截得的弦长为 2 所以 2 10 13d 当直线l垂直于 x轴时 显然符合题意 即3x 为所求 6 分 当直线l不垂直于 x轴时 设直线方程为2 3 yk x 则 2 31 3 1 k k 解得 4 3 k 综上 直线l的方程为3x 或4360 xy 8 分 2 直线 bh 的方程为330 xy 设 01 p m nmn x y 因为点m是线段pn的中点 所以 22 mx ny m 又 m n都在半径为r 的圆 c上 所以 222 222 3 2 3 2 22 xyr mxny r 即 222 222 3 2 6 4 4 xyr xmynr 10 分 因为该关于 x y 的方程组有解 即以 3 2 为圆心 r 为半径的圆与以 6 4 mn 为圆心 2r为半径的圆有公共点 所以 2222 2 36 24 2 rrmnrr 12 分 又330mn 所以 222 1012109rmmr 对 0 1 m 成立 而 2 101210f mmm 在 0 1 上的值域为 10 所以 32 5 2 32 5 r 且 2 r10 9 15 分 又线段 bh 与圆c无公共点 所以 222 3 332 mmr 对 0 1 m 成立 即 9 2 32 5 r 故圆c的半径r 的取值范围为 10 4 10 35 16 分 19 1 当2a 时 2 352 31 2 fxxxxx 2 分 令f x 0 解得 1 2 3 x 所以f x 的单调减区间为 1 2 3 4 分 2 2 35fxxxa 由题意知 2 00 32 0000 350 5 2 xxa xxaxbx 消去a 得 32 000 5 20 2 xxxb 有唯一 解 6 分 令 32 5 2 2 g xxxx 则 2 651 21 31 g xxxxx 所以 g x在区间 1 2 1 3 上是增函数 在 11 23 上是减函数 8 分 又 11 28 g 17 354 g 故实数b的取值范围是 71 548 10 分 3 设 00 a xf x 则点a处切线方程为 000 yf xfxxx 与曲线c yf x 联立方程组 得 000 f xf xfxxx 即 2 00 5 2 2 xxxx 所以b点的横坐标 0 5 2 2 b xx 12 分 由题意知 2 1000 35kfxxxa 2 2000 525 2 1220 24 kfxxxa 若存在常数 使得 21 kk 则 22 0000 25 1220 35 4 xxaxxa 即存在常数 使得 2 00 25 4 35 1 4 xxa 所以 40 25 1 0 4 a 解得4 25 12 a 15 分 10 故 25 12 a 时 存在常数4 使 21 4kk 25 12 a 时 不存在常数 使 21 kk 16 分 20 1 因为 2 11 32 2 nnn sssnnn n 所以 321 14sss 即 321 2314aaa 又 12 3ax ax 所以 3 149ax 2 分 又因为数列 n a成等差数列 所以 213 2aaa 即 6149xxx 解得1x 所以 1 111221 n aandnnn n 4 分 因为 21 n ann n 所以 21 220 n an n b 其前n项和0 n b 又因为 22 21 1641 nnnnn ct btbbttb 5 分 所以其前n项和 2 1641 nn cttb 所以 2 2 821 nnn cbttb 7 分 当 1 4 t 或 1 2 t 时 nn cb 当 1 4 t 或 1 2 t 时 nn cb 当 11 42 t 时 nn cb 9 分 2 由 2 11 32 2 nnn sssnnn n 知 2 21 312 nnn sssnn n 两式作差 得 21 63 2 nnn aaannn n 10 分 所以 321 613 nnn aaann n 作差得 3 6 2 nn aann n 11 分 所以 当1n 时 1n aax 当31nk 时 312 16366234 nk aaakxknx 当3nk 时 33 1614966298 nk aaakxknx 11 当31nk 时 314 161666267 nk aaakxknx 14 分 因为对任意 n n 1nn aa 恒成立 所以 12 aa 且 3133132kkkk aaaa 所以 3 636698 698665 66563 xx kxkx kxkx kxkx 解得 137 156 x 故实数x的取值范围 为 13 7 15 6 16 分 数学 部分 2121 选做题选做题 a a 选修选修 4 4 1 1 几何证明选讲 几何证明选讲 由圆d与边ac相切于点e 得90aed 因为 dfaf 得90afd 所以 a d f e四点共圆 所以defdaf 5 分 又 111 180 90 222 adfabdbadabcbaccc 所以 1 90 2 defdafadfc 由50c 得25def 10 分 b 选修选修 4 24 2 矩阵与变换 矩阵与变换 设曲线c 22 1xy 上任意一点 p x y 在矩阵m所对应的变换作用下得到点 111 p x y 则 1 1 0 0 xax byy 即 1 1 axx byy 5 分 又点 111 p x y在曲线 2 2 1 4 x cy 上 所以 2 2 1 1 1 4 x y 则 2 2 1 4 ax by 为曲线 c的方程 又曲线c的方程为 22 1xy 故 2 4a 2 1b 因为00ab 所以3ab 10 分 c 选修 选修 4 44 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 12 因为圆c的极坐标方程为 sin2cos2 所以 sin2cos2 2 所以圆c的直角坐标方程为022 22 yxyx 圆心为 2 2 2 2 半径为 1 4 分 因为直线l的参数方程为 2 2 2 4 2 2 xt yt t为参数 所以直线l上的点 22 4 2 22 tt p 向圆c 引切线长是 22 2 22 2222 4 214242 6 2222 tt pcrt 所以直线l上的点向圆c引的切线长的最小值是62 10 分 d 选修 选修 4 4 5 5 不等式选讲 不等式选讲 证法证法一 因为a b c 均为正数 由均值不等式得 2 222 3 abcabc 3 2 分 因为 1 3 111 abc abc 3 所以 2 2 3 111 abc abc 9 5 分 故 22 2222 33 111 abcabcabc abc 39