第5章 参数估计与(单)假设检验 练习题.pdf

第 5 章 参数估计与假设检验练习题 1 设随机变量 X 的数学期望为 方差为 2 X1 X2 Xn 为 X 的一个样本 试比较 1 1 2 n i i X n E 与 1 1 2 n i i XX n E 的大小 前者大于后者 2 设 是未知参数 的无偏估计 且有 0 D 试证 2 不是 2 的无偏估计 3 设随机变量 X 与 Y 相互独立 已知 EX 3 EY 4 DX DY 2 试问 k 取何值时 Z k X 2 Y 2 Y 2 是 2 的无偏估计 16 7 4 设正态总体 X N 2 参数 2 均未知 X1 X2 Xn n 2 为简单随机样本 试确定 C 使得 1 1 2 1 2 n i ii XXC 为 2 的无偏估计 1 2 1 n 5 假设总体 X 的数学期望为 方差为 2 21n XXX 为来自总体 X 的一个样本 X S2 分别为样本均值和样本方差 试确定常数 c 使得 22 cSX 为 2 的无偏估计量 1 n 6 设 X1 X2 是取自总体 N 2 未知 的一个样本 试说明下列三个统计量 211 4 3 4 1 XX 212 2 1 2 1 XX 213 2 1 3 1 XX 中哪个最有效 2 7 设某总体 X 的密度函数为 其它0 0 3 3 2 x x xf X1 X2 Xn 为该 总体的样本 Yn max X1 X2 Xn 试比较未知参数 的估计量 X 3 4 与 n Y n n 3 13 哪 个更有效 n 1 时 n Y n n 3 13 更有效 8 从某正态总体取出容量为 10 的样本 计算出 150 10 1 i i x 2720 10 1 2 i i x 求总体期望与 方差的矩估计 和 2 15 47 9 设总体 X 具有密度 Cx CxxC xf 0 1 1 1 1 其中参数 0 0 从中抽得一样本 X1 X2 Xn 求参数 的矩估计量 1 C X 其中 n i i X n X 1 1 10 设总体 X 的概率密度函数为 0 1 1 2 1 0 2 1 其它 x x xf 其中 0 0 求参数 的极大似然估计 x r M L E 其中 n i i x n x 1 1 X r M L E 其中 n i i X n X 1 1 12 设总体 X 的概率密度为 1 0 0 1 0 1 1 x xx xf 其中 0 是未知参数 X1 X2 X n 是取自总体X的一个样本 试求 总体期望 EX 的最大似然估计量值 和最大似然估计量 nx x n i i n i i MLE 1 1 1ln 1ln nX X n i i n i i MLE 1 1 1ln 1ln 13 已知某地区各月因交通事故死亡的人数为 3 4 3 0 2 5 1 0 7 2 0 3 若死 亡人数 X 服从参数为 的 Poisson 分布 求 1 的极大似然估计值 2 利用 1 的结果 求 P X 2 1 5 2 MLE 2 0 4562 14 设 X1 X2 Xn 为总体 X 的一组样本 总体 X 密度函数为 x exf 1 2 1 参数 未知 且 0 1 试求未知参数 的极大似然估计量 2 检验其无偏性 1 n i iMLE X n 1 1 2 无偏估计量 15 设随机变量 X 与 Y 相互独立 且 X N 2 Y N 2 2 其中 0 是未 知参数 设随机变量 Z X Y 1 求 Z 的概率密度函数 f Z z 2 设 n ZZZ 21 是取自总体Z的简单随机样本 求参数 2 的最大似然估计量 2 MLE 3 证明 2 MLE 是 2 的无偏估计量 2 2 6 6 1 z Z ezf z R n i iMLE Z n 1 2 3 1 16 设总体 X 密度函数为 其它0 0 2 2 2 2 xe x xf x 参数 0 且未知 取样本 X1 X2 Xn 求总体未知参数 的最大似然估计量和矩估计量 n i iM L E X n 1 2 2 1 2 X ME 其中 n i i X n X 1 1 17 设总体 X 具有密度函数 其它0 10 1 xx xf 其中 为未知参数 且 0 取自总体 X 的一组样本 X1 X2 Xn 求 的矩估计量和极大似然估计 量 2 1 X X ME 其中 n i i X n X 1 1 2 1 ln n i i MLE X n 18 设随机变量 X 00 0 x xxe xf x 未知参数 0 且 EX 取样本 X1 X2 Xn 求总体期望 的矩估计量和极大似然估计量 并检验其无偏性 X ME 其中 n i i X n X 1 1 无偏 2 2 X MLE 其中 n i i X n X 1 1 22 2 2 2 DX n XEE MLE DX 0 有偏 19 作 n 次独立重复试验 观察到事件 A 发生了 m 次 试证明 P A p 的矩估计值和极 大似然估计值均为 m n 20 设 m XXX 21 是取自总体 X b n p 的容量为 m 的简单随机样本 其中 n 1 0 p 1 求参数 p 2 的无偏估计量 22 11 S n X n p 其中 m i i X m X 1 1 m i i XX m S 1 22 1 1 21 方差 2 已知 置信度为 1 为使正态总体均值 的置信区间长度不大于 L 样 本容量至少为多少 不小于 2 2 2 2 4 u L 的最小正整数 22 设总体 X N 102 未知 若要使 的置信度为 0 95 的双侧置信区间的长度 为 4 求样本容量 n 最小应为多少 97 23 由总体 X N 2 2 未知 取得一个样本 X1 X2 X9 计算出 x 10 2 10 9 1 9 1 2 i i x 试求 的双侧置信区间 0 05 8 847 11 153 24 从一批钉子中随机抽取 16 枚 测得平均长度为 2 125 cm 样本标准差为 0 01713 cm 假设钉子的长度 X 服从方差为 0 012 的正态分布 求总体 X 的均值 的置信度为 90 的置信区 间 计算结果保留小数点后三位有效数字 2 121 2 129 25 从一大批电子元件中随机抽取 100 只 测得元件的平均寿命为 1000 小时 如果电子元件 的寿命服从正态分布 且均方差 40 小时 求 0 05 时 电子元件平均寿命的置信区间 992 16 1007 84 26 设总体 X 容量为 4 的样本为 0 5 1 25 0 8 2 0 已知 Y lnX 服从正态分布 N 1 1 求总体 X 的数学期望 2 求 的置信度为 95 的置信区间 1 2 1 e 2 0 98 0 98 27 假设钢珠的直径服从正态分布 现从钢珠的生产线中抽取容量为 9 的样本 单位 mm 测的直径的平均值 x 31 05 s2 0 252 试求 总体 和 2 的双侧置信区间 0 05 t 0 025 8 2 306 t 0 05 9 1 8333 325 3 9 2 95 0 919 16 9 2 05 0 535 17 8 2 025 0 18 2 8 2 975 0 30 858 31 242 0 0285 0 2294 28 设总体 X N 2 参数 2 均未知 X1 X2 Xn 为简单随机样本 n i i X n X 1 1 n i i XXW 1 22 若假设 H0 0 H1 0 试写出假设检验时使用的统 计量的表达式 1 nnW X T 其中 n i i X n X 1 1 n i i XXW 1 22 29 设某批产品的某项质量指标服从正态分布 并且方差根为 150 从该批产品中抽取容量为 25 的一组样本 并测得该项指标的平均值为 1645 单位 问是否可以认为这批产品得该项指标值 为 1600 单位 0 05 t 2 24 2 064 0 1 96 0 975 t 25 1 708 U 检验法 双侧 接受 H0 可以 30 某灯泡厂所生产的灯泡的使用寿命 N 2 如果生产正常时 2000 小时 现在抽检 25 个灯泡后 得 x 1832 s 498 试问生产是否正常 0 05 t 检验法 双侧 接受 H0 正常 31 某食品厂用自动装罐机装罐头食品 规定当标准重量为 250 克 标准差不超过 3 克时 机 器工作正常 每天定时检查机器情况 现抽取 16 罐 测的平均重量为 252 克 样本标准差为 4 克 假定罐头重量服从正态分布 试问该机工作是否正常 0 05 不正常 32 设某次考试的考生成绩服从正态分布 从中随机地抽取 25 位考生的成绩 算得平均成绩 为 81 5 分 标准差为 15 分 试问 在显著水平 0 05 下 是否可以认为这次考试全体考生的平均成 绩为 85 分 并写出检验过程 t 检验法 双侧 接受 H0 可以 33 设某校高中二年级的数学考试成绩服从正态分布 第一学期全年级数学考试平均分为 80 分 第二学期进行了教改 随机抽取 25 名学生的数学成绩 算得平均分为 85 分 标准差为 10 分 问 教改是否有效果 0 05 t 检验法 右侧 否定 H0 接受 H1 有效果 34 某工厂生产一种金属线 抗拉强度的测量值 X N 2 且知 105 6 kg mm2 现经过改进生产了一批新的金属线 从中随机地取 10 根作实验 测出抗拉强度值 并计算得均值 x 106 3 kg mm2 标准差 s 0 8 kg mm2 问这批新线的抗拉强度是否比原来金属线的抗拉 强度高 0 05 t 检验法 右侧 否定 H0 接受 H1 是 35 某工厂采用一种新的方法处理废水 对处理后的水测量所含某种有毒物质的浓度 X N 2 测量 10 个水样 得到以下数据 x 17 10 s2 2 902 而以往用老方法处理废水 后 该种有毒物质的平均浓度为 19 问新方法是否比老方法好 0 05 计算结果保留小数点 后一位有效数字即可 t 检验法 左侧 否定 H0 接受 H1 是 36 某工厂生产的滚珠的直径 X 单位 毫米 服从正态分