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第五章线性代数方程组的迭代法5 1迭代公式的建立5 2向量和矩阵的范数5 3迭代过程的收敛性 写成矩阵形式Ax b其中 5 1迭代公式的建立设线性代数方程组 设线性方程组 其中系数矩阵非奇异 且主对角元aii 0 i 1 2 n 由第i个方程解出xi 有 5 1 1雅可比迭代公式 建立迭代格式 写成 取初值 进行迭代 这种方法称为雅可比 Jacobi 迭代公式 雅可比迭代公式 即 i 1 2 n 雅可比迭代的算法框图 例用雅可比迭代法求解方程组 解从3个方程分离出 构造雅可比迭代公式 迭代计算 5 1 2高斯 塞德尔迭代 雅可比迭代收敛时 新值xi k 1 比老值xi k 更准确 在雅可比迭代中 算出新值xi k 1 后 用新值xi k 1 代替用于后面计算的老值xi k 期望这样会收敛得更快些 即为高斯 塞德尔 Gauss Seidel 迭代 设计思想 高斯 塞德尔迭代公式 高斯 塞德尔迭代公式的特点是 一旦求出变元xi的某个新值xi k 1 后 就改用新值xi k 1 代替老值xi k 进行这一步以后剩下的计算 因此 可将新值存放在老值所占用的单元内 公式可表为下列动态形式 用两次迭代的偏差来控制迭代过程的终止 高斯 塞德尔迭代算法框图 例用高斯 塞德尔迭代法求解方程组 解方程组化为等价的方程组 构造高斯 塞德尔迭代公式 迭代计算 1 56 2 684 2 95387 0 8804 1 94448 高斯 塞德尔迭代公式 0 3 计算结果 小结 一般情况下高斯 塞德尔迭代法比雅可比迭代法好 但情况并不总是这样 也有高斯 塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛得慢 甚至有雅可比迭代法收敛而高斯 塞德尔迭代法反而发散的例子 5 1 3超松弛法 SOR SuccessiveOver Relaxation 矩阵形式Ax b其中 5 1 4迭代公式的矩阵表示n个未知量n个方程的线性代数方程组 令系数矩阵 其中D为对角阵 L和U分别为严格下三角阵和严格上三角阵 L U A D 雅可比迭代公式 分量形式 矩阵形式 雅可比迭代的矩阵形式 雅可比迭代矩阵 将L U A D代入 写成
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