高二数学简单的涂色问题4.doc

课题：简单的涂色问题课型：高三复习课【教学目标】一、基础知识目标： 1、使学生能利用分步计数原理（乘法原理）、分类计数原理（加法原理），解决线形区域涂色、环形区域涂色问题. 2、使学生能掌握利用分类计数原理涂色时的分类标准：（1）根据对称区域是否涂相同颜色进行分类；（2）根据涂色所用颜色的种数进行分类。二、能力训练目标：通过学生讨论、分析，逐步培养学生观察、分析、综合和类比的能力，尤其是提高学生分类讨论的思维能力与创新能力，使学生会准确地阐述自己的思路和观点。三、创新素质目标：引导学生从日常生活中寻找和构造数学模型，并提高学生应用数学去解决问题的能力，逐步培养学生的发现意识和能力。【教学重点、难点】 重点：利用两个基本原理解决线形区域与环形区域的涂色问题 难点：利用分类计数原理时如何选择分类的标准（1）根据着色种数进行分类涂色； （2）根据对称区域涂色是否相同进行分类涂色。【教学过程】一、问题引入：前面几节课我们主要复习了排列、组合的应用问题，在解决排列、组合的应用问题时，我们首先要弄清什么？（要完成怎样的一件事）然后考虑如何去完成这件事？（是分类还是分步） （陈嘉舒）在现实生活中，我们经常会碰到这样的问题：比如说为了某个庆典活动，用几种不同颜色的花卉，能摆放出各种各样的花坛；又如我们经常看到的中国地图、世界地图（教室的后墙也有）它们都是利用6种不同的颜色对各个省、市或者不同的国家进行着色，为了区分起见都是对相邻的区域涂成不同的颜色。实际上如果要绘制一张世界地图，图中把每个国家（或地区）各涂上一种颜色，为使每相邻的两个国家（或地区）的颜色不同，问至少需要几种颜色？四种颜色是否已够？这就是著名的四色问题。这是在1852年，英国人喀斯里写信给德.摩根，从数学上提出这个问题，德.摩根又将这个问题请教数学家哈密顿；1878年，英国数学家凯利在伦敦数学年会上又提出这个问题。近百年来，不少数学家对此进行了研究，并推动了图论的发展，直到1976年，才有两位年青的美国数学家阿皮尔和海肯借助高速电子计算机，用了一千二百小时的计算时间证明了四色问题。二、例题分析【例题】用5种不同颜色给图1中的四个区域涂色，如果每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，那么涂色方法有 种。（同桌的同学可以相互讨论）DCBA图1分析一：这是一类线形区域的涂色问题，我们可以对各个区域依次涂色：第一个区域A共有5种涂色方法；第二个区域B只要与第一个区域A不同色，则共有4种涂色方法；第三个区域C只要与第二个区域B不同色，则共有4种涂色方法；第四个区域D只要与第三个区域C不同色，则共有4种涂色方法；根据分步计数原理（乘法原理）依次对这四个区域涂色共有种.还有其它方法吗？（如果没有学生想到，作适当提示）用5重颜色给4个区域涂色，最多可用几种颜色，最少呢？因此可以对所用颜色的种数进行分类讨论。例题：分析二：这里共有5种颜色可供选择，根据题意：我们最多选择4种颜色，最少选择2种颜色.我们也可对所选择的颜色的种类进行分类讨论：第一类：用4种颜色进行涂色，共有种；第二类：用3种颜色进行涂色，则有且只有两个区域必须涂同种颜色，那么有A与C同色，或者有A与D同色，或者有B与D同色，共有三种情况，其中每一种情况都有种；共有种；第三类：用2种颜色进行涂色，则必须满足有A与C同色且B与D同色，共有种.根据对涂色种数进行分类，对这四个区域涂色共有种.两种方法进行比较，这里显然是利用第一种方法简单，直接利用分步计数原理对各区域依次进行涂色.【变题1】在例题1的基础上，请同学们加上一个区域，有哪些加法？如何解决？（分组讨论：六人一组，第一排的右边这个同学为组长，每组把讨论的情况汇总给组长，组长做好纪录，再回答问题）1、列式，并给出答案；2、讲出所列式子的道理；3、如果哪一组有多种解法，可都列出来；4、如果小组出现意见分歧，无法判断，也可均列出，供大家判别；5、小组其他成员可以补充.DCBADCBADCBADCBADCBADCBA如果把例题的四个矩形沿B、C剪开再翻折：DCBA图2【变题2】给图2中的四个矩形涂色，使得有公共边的矩形颜色不同，现有四种颜色供选择，这样的涂法种数有_.（先同例1进行比较，它们都是四个矩形，有什么不同？）分析：这里是A、B、C、D四个区域首尾相连的环形区域的涂色问题假如也利用分步计数原理（乘法原理）对这四个区域依次涂色可以吗？问题出在哪里？请大家思考，同桌可以讨论？这时第四个区域D不再有3种涂色方法了？是不是2种呢？（不是）要分A与C涂色是否相同.当A与C同色时，则D有3种涂色方法，则共有种；当A与C不同色时，则D有2种涂色方法，则共有种；总共有：种涂色方法.教师总结：根据先对称区域是否涂同色进行分类，然后再依次涂色。分析二：最多可用4种颜色，最少可用2种颜色去涂色根据着色种数进行分类：（1）用4种颜色去涂色则有种.（2）用3种颜色去涂色则有两类（1）A与C同色；（2）B与D同色.若A与C同色，则只要在4种颜色中任意选择3种颜色去涂A、B、D这3个区域即可，共种；若B与D同色，则只要在4种颜色中任意选择3种颜色去涂A、B、C这3个区域即可，共种。（3）用2种颜色去涂色，则A与C同色并且B与D同色，那么只要在4种颜色中任意选择2种颜色去涂A、B这两个区域即可，共种； 根据对涂色种数进行分类，对这四个区域涂色共有：种涂色方法.将例题与变题2进行比较有何不同，例题中A、B、C、D四个区域连成一条线，是线形区域的涂色问题，利用分步计数原理直接对各区域依次涂色比较简单，变题2中A、B、C、D首尾相连组成一个环，是环形区域的涂色问题，一般利用分类计数原理。常用的分类标准是（一）根据对称区域是否图相同颜色进行分类；（二）是根据着色时所用颜色的种数进行分类。如果我们在变题2的基础上，中间再挖一块出来，那么如何来涂色.如果将此图形适当改变，则可转化为变题324513图3【变题3】如图3一圆面分成五个部分，有4种颜色的涂料，要求相邻部分涂不同的颜色，则涂法种数为 A、 72 B、 36 C、 24 D、 12 （ A ）（2003年高考全国卷）先涂E，再涂其余四块 可知共有种 分四色涂和三色涂。如果再把区域D一分为二，那又该如何涂色.【变题3】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图4），现要求栽种4种不同颜色的花，每部分栽种1种，且相邻部分不能栽种同种颜色的花，不同的栽种方法有_种654321图4（2003年高考江苏卷）分析:这个问题是用四种颜色涂6个区域，经分析必须要用到四种颜色（全部用，颜色种数分类不行）因此我们要把6个区域分成4组（每一组涂一色），相邻区域不能分在同一组，所以1号区域单独一组，其余三个区域只能分成2、2、1三组，也就是这五个区域有一个区域单独一组，可分为2、3、4、5、6号五种情况：每种情况都有。然后对每一种情况再进行涂色，比如2与4，3与5同色，我们只须涂1、2、3、6共 总共由。三、演练反馈练习2：四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为、的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为( )(A)96 (B)