江苏省苏州市第五中学高中数学 第二章《圆锥曲线与方程》2.5圆锥曲线的统一定义学案 新人教版选修21.doc

25 圆锥曲线的统一定义一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议圆锥曲线的统一定义了解课本以抛物线的定义作为新知识的生长点，设计了用电脑实验探索的问题情境，在实验前，请学生大胆猜想 最后理论证明猜想， 并进行归纳总结，得出圆锥曲线的统一定义准线方程掌握多角度认识a， b， c， e的几何意义以及它们之间的关系二、预习指导1预习目标(1)了解圆锥曲线的统一定义；(2)掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的各种方法2预习提纲(1)回顾前4节的内容，思考并回答下列问题：抛物线是如何定义的?椭圆、双曲线、抛物线都可以用平面截圆锥面得到，这三种曲线还有没有什么联系?(2)阅读课本第5152页，链接http：/baikebaiducom/view/368458htm，回答下列问题：圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点f和到一条定直线l(f不在l上)的距离之比等于常数e的点的轨迹当0e1时，它表示_，当e=1时，它表示_椭圆(ab0)的准线方程是_，双曲线的准线方程是_，抛物线的准线方程为_，抛物线的准线方程为_；(3)课本第51页例1探究平面内到一个定点f和到一条定直线l(f不在l上)的距离之比等于一个位于区间(0，1)中的常数时，动点的轨迹思考，当距离之比等于一个大于1的常数时，动点的轨迹是什么?3典型例题(1)圆锥曲线的统一定义运用圆锥曲线的统一定义，有时需要构造运用定义的条件，对于含有字母的问题，有时需要对字母进行分类讨论例1 已知动点p(x，y)满足 ，则p点的轨迹是_a两条相交直线 b抛物线 c双曲线 d椭圆分析：从动点p的坐标(x，y)满足的关系式产生联想：表示动点p(x，y)到定点f(1，2)的距离，表示动点p(x，y)到定直线l：3x+4y+12=0的距离，然后我们可以利用圆锥曲线的统一定义求解解：将化为，设f(1，2)，l：3x+4y+12=0，则f为定点，l为定直线，且f不在l上，因此平面内动点p(x，y)到定点f和到定直线l(f不在l上)的距离的比等于常数e，而且e=1，所以p点的轨迹是抛物线，选b点评：本题的关键之处在于利用两点之间的距离公式和点到直线的距离公式，创设出运用圆锥曲线统一定义的情境思考：若将动点p满足的条件给为，结果又如何?例2 若方程1所表示的曲线为c，给出下列四个命题：若c为椭圆，则1t4或t1；曲线c不可能是圆；若c表示椭圆，且长轴在x轴上，则1t其中正确的命题是_分析：方程中含字母t，方程所表示的曲线c随着字母t的变化而变化解：若c为椭圆，则解得：1t4且，故不正确；当时，方程表示圆，故曲线c不可能是圆， 错误；若c为双曲线，则(4t)(t1)4或t1，故正确；若c表示椭圆，且长轴在x轴上，则解得1t9，a2=m+4，b2=9，c2=m5，右准线方程为，解得m=6或m=86点评：本题考查根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法4自我检测(1)中心在原点，短轴长为，准线方程为的椭圆的标准方程为_ (2)若椭圆的一条准线方程是，则=_ (3)若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线的离心率为 _(4)椭圆上一点p到左准线的距离为8，则点p到右焦点的距离为_三、课后巩固练习a组1求下列曲线的准线方程：(1) 16x2+9y2=144； (2) 4x2+25y2=100； (3) x24y2=64； (4) x2y2=8； (5) y2= 4x； (6) x2= 4y2已知p是椭圆上的一点，则p到一条准线的距离与p到相应焦点的距离之比为_ 3已知抛物线方程为，(1)若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_ ；(2)若抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_4已知椭圆上一点p到椭圆左焦点的距离为3，则点p到右准线的距离为_5在平面直角坐标系xoy中，双曲线上一点m，点m的横坐标是3，则m到双曲线右焦点的距离是_ 6 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 .7已知双曲线的右准线为x=4，右焦点f(10，0)离心率e=2，则双曲线方程为_8一个椭圆的离心率为e=，准线方程为x=4，对应的焦点f(2，0)，则椭圆的方程为_yxdfqbola9如图，f是椭圆焦点，a是顶点，l是准线，则在下列关系：e =，e =，e =，e =，e =中，能正确表示离心率的有_ 个b组10已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则_ 11过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为_ 12若椭圆内有一点a(1，1)，f为右焦点，m为椭圆上一动点，则ma+2mf的最小值是_，点m的坐标为_13已知点m是抛物线y2=2x上一动点，m在y轴上的射影是n，点a(，4)，则ma+mn的最小值是_14已知双曲线，m为其右支上一动点，f为其右焦点，点a(3，1)，则ma+mf的最小值是_c组15如图，正方体的棱长为，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则动点的轨迹是_ (填圆、抛物线、双曲线、直线)16已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点，使它到左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由知识点题号注意点求圆锥曲线的轨迹或轨迹方程7，8，15注意圆锥曲线方程可能是非标准方程圆锥曲线定义的应用16，9，10，11注意曲线上点到焦点的距离与到相应准线距离的相互转化综合问题1214，16注意几何法求最值的方法四、自学心得五、拓展视野从离心率看圆锥曲线间的关系早在17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一个形状的新思想的影响下，法国天文学家开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指明抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆从而他第一个掌握了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆，都可以从其中的一个连续地变为另一个，从而辩证地看到了各类圆锥曲线间的关系下面我们从离心率对圆锥曲线的形状的影响入手，来研究圆锥曲线间的关系，为了讨论这个问题，我们首先在同一直角坐标系中把椭圆、抛物线、双曲线这三种曲线的方程统一起来1椭圆、抛物线、双曲线的统一方程将椭圆按向量平移得到，即作椭圆的半通径(即过椭圆焦点且垂直于长轴的半弦)，用表示，易证，同时易知故椭圆的方程可写成类似地，将双曲线按向量平移得到，即作双曲线的半通径(即过双曲线焦点且垂直于实轴的半弦)，用表示，易证，同时易知故双曲线方程可写成对于抛物线，为半通径长，离心率，它也可写成，于是在同一坐标系下，三种曲线有统一方程，其中是曲线的半通径长，当，时分别表示椭圆、抛物线、双曲线2从离心率看圆锥曲线间的关系设椭圆、双曲线、抛物线有相同的半通径，即统一方程中的 不变，令离心率 变化，在这种情况下，我们讨论曲线变化趋势在同一坐标系下，作出这三种曲线如图所示，设分别是抛物线焦点、椭圆的左焦点和双曲线的右焦点，则有，所以这说明b点在a点右侧，而c点在a点左侧由此，我们来看三种曲线的位置关系(由曲线的对称性，只考虑第一象限内的情况)，从统一方程不难看出，当任意取定时，设椭圆、抛物线和双曲线上对应点的纵坐标分别为，有这说明，双曲线在抛物线上侧，而椭圆在抛物线下侧下面我们进一步讨论圆锥曲线间的关系(1)当离心率e由小于1无限趋近于1时，(符号“”表示无限趋近于)即ba这说明椭圆的左焦点无限趋近于抛物线的焦点，且椭圆在第一象限内向上移动无限接近抛物线又因为，所以由于e由小于1无限趋近于1，所以这说明椭圆右焦点沿x轴正向趋于无限远因此可以看出，在椭圆的情况下，当时，椭圆的极限情况就是抛物线(2)当离心率e由大于1无限趋近于1时，即ca这说明双曲线右焦点无限接近于抛物线的焦点，且双曲线右支在第一象限内向下移动无限接近抛物线又因为，所以由于e由大于1无限趋近于1，所以这说明双曲线左焦点沿x轴负方向趋于无限远因此可以看出，在双曲线的情况下，当时，双曲线的极限情况就是抛物线(3)在椭圆情况下，当时有，故当时，椭圆的极限情况是以点为圆心、以为半径的圆这个事实也可以从统一方程中，令，得到的就是这个圆的方程：25 圆锥曲线的统一定义自我检测(1) 或 (2)2(3) (4)2课后巩固练习a组1（1）a2=16，b2=9，c2=7，准线方程是；（2）a2=25，b