江苏省南通市如皋市歌风中学高三数学上学期12月月考试卷（含解析）.doc

2014-2015学年江苏省南通市如皋市歌风中学高三（上）12月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1已知复数z=i（1i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点位于第象限2某班要选1名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，则这个班的女生人数占全班人数的百分比为3函数f（x）=的定义域是4执行如图所示的程序框图，若输出s的值为11，则输入自然数n的值是5若函数f（x）=x2+6x1在区间（a，1+2a）上不是单调函数，则实数a的取值范围是6函数f（x）=+a （x0），则“f（1）=1”是“函数f（x）为奇函数”的条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）7若一直角三角形的三边长构成公差为2的等差数列，则该直角三角形的周长为8设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若xz，且yz，则xy”为真命题的是（填所正确条件的代号）x，y，z为直线；x，y，z为平面；x，y为直线，z为平面；x为直线，y，z为平面9在abc中，bc=ab，abc=120，则以a，b为焦点且过点c的双曲线的离心率为10已知r上的可导函数f（x）的导函数f（x）满足：f（x）+f（x）0，且f（1）=1则不等式f（x）的解是11设正项等比数列an的前n项和为sn，且s27+273s9=（39+1）s18，则数列an的公比为12已知函数f（x）=asin（x+）（a0，0）的图象与直线y=b（ab0）的三个相邻交点的横坐标分别是1，3，9，则f（m）=a的最小正数m为13在abc中，a=90，ab=ac=1，点p在边bc上，则的最大值为14已知函数f（x）=1+sinx，（x0，2）图象在点p处的切线与函数图象在点q处的切线平行，则直线pq与两坐标轴所围成的三角形的面积为二、解答题：本大题共6小题，计90分.15已知直三棱柱abca1b1c1的底面abc中，c=90，bc=，bb1=2，o是ab1的中点，d是ac的中点，m是cc1的中点，（1）证明：od平面bb1c1c； （2）试证：bmab116在abc中，三边bc、ac、ab的 长分别为a、b、c，若a=4，e为边bc的中点（1）若=1，求bc边上的中线ae的长；（2）若abc面积为，求的最小值17某森林失火了，火势正以平均每分钟200m2的速度顺风蔓延，消防队员在失火后10分钟到达现场开始救火，已知每个队员平均每分钟可灭火50m2，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，另外车辆、器械装备等损耗费用平均每人800元，而每烧毁1m2的森林的损失费为60元，消防队共派x名队员前去救火，从到达现场开始救火到把火完全扑灭共耗时n分钟（1）求出x与n的关系（2）问消防队派多少名队员前去救火，才能使得总损失最小？18椭圆c：=1（ab0）的左、右焦点分别是f1，f2，离心率为，过f1且垂直于x轴的直线被椭圆c截得的线段长为l（1）求椭圆c的方程；（2）点p是椭圆c上除长轴端点外的任一点，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆c有且只有一个公共点，设直线pf1，pf2的斜率分别为k1，k2，若k0，试证明：为定值，并求出这个定值19（16分）（2015海南模拟）已知各项均为正数的等差数列an的公差d不等于0，设a1，a3，ak是公比为q的等比数列bn的前三项，（1）若k=7，a1=2；（i）求数列anbn的前n项和tn；（ii）将数列an和bn的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列cn，设其前n项和为sn，求的值（2）若存在mk，mn*使得a1，a3，ak，am成等比数列，求证k为奇数20己知函数f（x）=（mx+n）ex（m，nr，e是自然对数的底）（1）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x+ey3=0，试确定函数f（x）单调区间；（2）当n=1，mr时，若对于任意x，2，都有f（x）x恒成立，求实数m的最小值；当m=n=1时，设函数g（x）=xf（x）+tf（x）+ex（tr），是否存在实数a，b，c0，1，使得g（a）+g（b）g（c），若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由2014-2015学年江苏省南通市如皋市歌风中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1已知复数z=i（1i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点位于第一象限考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的运算法则、几何意义即可得出解答： 解：复数z=i（1i）=i+1，复数z在复平面上对应的点（1，1）位于第一象限故答案为：一点评： 本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题2某班要选1名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，则这个班的女生人数占全班人数的百分比为60%考点： 古典概型及其概率计算公式专题： 概率与统计分析： 设出男女生的人数，找出他们各自选1名学生做代表的概率然后求解即可解答： 解：设女生的人数是x，男生的人数是y，“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，解得：y=x，这个班的女生人数占全班人数的百分比是：=60%故答案为：60%点评： 本题考查概率的运用，关键是根据题意用x表示出“选出代表是女生”与“选出代表是男生”的概率3函数f（x）=的定义域是（0，5考点： 函数的定义域及其求法分析： 直接由根式内部的代数式大于等于0求解x的取值集合得答案解答： 解：由1log5x0，得0x5函数f（x）=的定义域是（0，5故答案为：（0，5点评： 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础题4执行如图所示的程序框图，若输出s的值为11，则输入自然数n的值是4考点： 程序框图专题： 算法和程序框图分析： 执行程序框图，写出每次循环得到的s，i的值，当i=5时由题意，此时应该不满足条件in，输出s的值为11，故应该n的值为4解答： 解：执行程序框图，有输入ni=0，s=1满足条件in，有s=1，i=1满足条件in，有s=2，i=2满足条件in，有s=4，i=3满足条件in，有s=7，i=4满足条件in，有s=11，i=5由题意，此时应该不满足条件in，输出s的值为11故答案为：4点评： 本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题5若函数f（x）=x2+6x1在区间（a，1+2a）上不是单调函数，则实数a的取值范围是（1，3）考点： 二次函数的性质专题： 函数的性质及应用分析： 先求出函数的对称轴，结合函数的单调性，得到不等式，解出即可解答： 解：对称轴x=3，若函数在（a，1+2a）不单调，a31+2a，解得：1a3，故答案为：（1，3）点评： 本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，是一道基础题6函数f（x）=+a （x0），则“f（1）=1”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 规律型分析： 根据函数奇偶性的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断解答： 解：若f（x）=+a 是奇函数，则f（x）=f（x），即f（x）+f（x）=0，即，2a1=0，即a=若f（1）=1，即f（1）=，解得a=“f（1）=1”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件故答案为：充要点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及充分条件和必要条件的判断，要求熟练掌握相应的定义和运算性质7若一直角三角形的三边长构成公差为2的等差数列，则该直角三角形的周长为24考点： 等差数列的性质专题： 等差数列与等比数列分析： 根据题意和等差数列的定义，设设一直角三角形的三边长分别为：a、a+2、a+4，再由勾股定理列出方程求出a，进而求出三角形的周长解答： 解：由题意设一直角三角形的三边长分别为：a、a+2、a+4，所以（a+4）2=a2+（a+2）2，即a24a12=0，解得，a=6或a=2（舍去），所以直角三角形的三边长分别为：6、8、10，所以该直角三角形的周长为24，故答案为：24点评： 本题考查等差数列的定义，以及勾股定理的应用，属于基础题8设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若xz，且yz，则xy”为真命题的是（填所正确条件的代号）x，y，z为直线；x，y，z为平面；x，y为直线，z为平面；x为直线，y，z为平面考点： 复合命题的真假；空间中直线与平面之间的位置关系专题： 压轴题分析： 空间点线面的位置关系考查，借助于正方体考虑平行和垂直解答： 解：x，y，z为正方体从一个顶点出发的三条直线，结论错误；x，y，z为正方体中交于一点的三个平面，结论错误；由垂直于同一平面的两条直线平行可知正确；中有可能xy，结论错误；故答案为点评： 本题借助命题真假的判断考查空间点线面的位置关系，在空间中要多借助于比较熟悉的几何体，如正方体，三棱锥等9在abc中，bc=ab，abc=120，则以a，b为焦点且过点c的双曲线的离心率为考点： 双曲线的标准方程；双曲线的简单性质专题： 计算题分析： 先求出边ac的长，在利用双曲线的定义，求出离心率解答： 解：由题意知，ab=2c，又abc中，bc=ab，abc=120，ac=2c，双曲线以a，b为焦点且过点c，由双曲线的定义知，acbc=2a，即：2c2c=2a，=，即：双曲线的离心率为故答案为点评： 本题考查双曲线的定义及性质10已知r上的可导函数f（x）的导函数f（x）满足：f（x）+f（x）0，且f（1）=1则不等式f（x）的解是（1，+）考点： 导数的运算专题： 导数的综合应用分析： 由f（x）可知exf（x）e，构造函数g（x）=exf（x）e，然后利用导数研究函数的单调性即可解答： 解：构造函数g（x）=exf（x）e，则g（x）=exf（x）+exf（x）=ex（f（x）+f（x），f（x）+f（x）0，ex0，g（x）=exf（x）+exf（x）=ex（f（x）+f（x）0，即函数g（x）在r上单调递增，是增函数f（1）=1，g（1）=ef（1）e=ee=0，当x1时，g（x）g（1），即g（x）0，g（x）=exf（x）e0，即不等式f（x）成立，此时x1，故不等式的解集为（1，+），故答案为：（1，+）点评： 本题主要考查不等式的解法，根据不等式的性质，构造函数g（x）=exf（x）e，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，综合性较强11设正项等比数列an的前n项和为sn，且s27+273s9=（39+1）s18，则数列an的公比为3考点： 数列的求和专题： 等差数列与等比数列分析： 分别设出等比数列的首项和公比，分类写出等比数列的前n项和，分析q=1时不成立，当q1时由s27+273s9=（39+1）s18求解q的值解答： 解：设正项等比数列an的首项为a1，公比为q，当q=1时，有27，此式只有a1=0时成立，不合题意；当q1时，则，代入s27+273s9=（39+1）s18，得，整理得：q18（39+1）q9+39=0解得：q=3故答案为：3点评： 本题考查了等比数列的前n项和，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了学生的计算能力，是中档题12已知函数f（x）=asin（x+）（a0，0）的图象与直线y=b（ab0）的三个相邻交点的横坐标分别是1，3，9，则f（m）=a的最小正数m为6考点： 三角函数的周期性及其求法；由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式专题： 三角函数的求值分析： 由题意确定出函数的最小正周期，进而求出的值，得到f（x）取得最大值a时x的值，即为最小正数m解答： 解：根据题意得到f（x）最小正周期为91=8，即=，且x=6时，f（x）取得最大值a，则f（m）=a的最小正数m为6故答案为：6点评： 此题考查了三角函数的周期性及其求法，弄清题意是解本题的关键13在abc中，a=90，ab=ac=1，点p在边bc上，则的最大值为考点： 平面向量数量积的性质及其运算律；向量的模专题： 计算题分析： 先找到的关系，再把平方，转化成二次函数求最值问题即可解答： 解：a=90，ab=ac=1，且点p在bc上，又=当时取最大值，最大值为8的最大值为故答案为：点评： 本题考查向量模的运算和求解，求模可先平方属简单题14已知函数f（x）=1+sinx，（x0，2）图象在点p处的切线与函数图象在点q处的切线平行，则直线pq与两坐标轴所围成的三角形的面积为考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 综合题分析： 先求导函数，利用函数f（x）=1+sinx，（x0，2）图象在点p处的切线与函数图象在点q处的切线平行，求得p，q的坐标，进而可求pq的方程，由此可计算直线pq与两坐标轴所围成的三角形的面积解答： 解：设p（a，b），q（m，n）求导函数，f（x）=cosx，1f（x）1函数f（x）=1+sinx，（x0，2）图象在点p处的切线与函数图象在点q处的切线平行f（a）=g（m）a0，2），x0a=0，m=1直线pq的方程为：即x=0时，y=1，y=0时，x=3，直线pq与两坐标轴所围成的三角形的面积为 故答案为：点评： 本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查直线方程，解题的关键是正确运用导数的几何意义求出p，q的坐标二、解答题：本大题共6小题，计90分.15已知直三棱柱abca1b1c1的底面abc中，c=90，bc=，bb1=2，o是ab1的中点，d是ac的中点，m是cc1的中点，（1）证明：od平面bb1c1c； （2）试证：bmab1考点： 直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离分析： （1）连b1c利用中位线的性质推断出odb1c，进而根据线面平行的判定定理证明出od平面bb1c1c（2）先利用线面垂直的性质判断出cc1ac，进而根据线面垂直的判定定理证明出ac平面bb1c1c，进而可知acmb利用证明bcdb1bc，推断出cbm=bb1c，推断出bmb1c，最后利用线面垂直的判定定理证明出bm平面ab1c，进而可知bmab1解答： 证明：（1）连b1c，o为ab1中点，d为ac中点，odb1c，又b1c平面bb1c1c，od平面bb1c1c，od平面bb1c1c（2）连接b1c，直三棱柱abca1b1c1，cc1平面abcac平面abc，cc1ac，又acbc，cc1，bc平面bb1c1c，ac平面bb1c1c，bm平面bb1c1c，acmb在rtbcm与rtb1bc中，=，bmcb1bc，cbm=bb1c，bb1c+b1bm=cbm+b1bm=90，bmb1c，ac，b1c平面ab1c，bmab1c，ab1平面ab1c，bmab1点评： 本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用证明线线平行和线线垂直是解题的关键16在abc中，三边bc、ac、ab的 长分别为a、b、c，若a=4，e为边bc的中点（1）若=1，求bc边上的中线ae的长；（2）若abc面积为，求的最小值考点： 余弦定理的应用；基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用专题： 平面向量及应用分析： （1）利用=1，以及余弦定理列出方程组，通过cosaeb+cosaec=0，即可求bc边上的中线ae的长；（2）利用abc面积为，以及余弦定理求出bc的最值，然后利用基本不等式求的最小值解答： 解：（1）由题意知可得b2+c2=18，（2分）又，且cosaeb+cosaec=0，相加得（6分）（2）由条件得即平方相加得，（10分），即当b=c时，的最小值为（14分）点评： 本题考查余弦定理的应用，向量的数量积以及基本不等式的应用，考查计算能力17某森林失火了，火势正以平均每分钟200m2的速度顺风蔓延，消防队员在失火后10分钟到达现场开始救火，已知每个队员平均每分钟可灭火50m2，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用平均每人每分钟125元，另外车辆、器械装备等损耗费用平均每人800元，而每烧毁1m2的森林的损失费为60元，消防队共派x名队员前去救火，从到达现场开始救火到把火完全扑灭共耗时n分钟（1）求出x与n的关系（2）问消防队派多少名队员前去救火，才能使得总损失最小？考点： 根据实际问题选择函数类型专题： 函数的性质及应用分析： （1）由题意可知，消防队员到达现场时失火面积为10200=2000m2，列出x50n=2000+200n即可得到结果（2）设总损失为y，则y=125nx+800x+50nx60，代入（1），利用基本不等式求出最小值即可解答： 解：（1）由题意可知，消防队员到达现场时失火面积为10200=2000m2又依题意可知，x50n=2000+200n，（x5，且xn*）（6分）（2）设总损失为y，则y=125nx+800x+50nx60=3125nx+800x=（10分）=（14分）当且仅当答：消防队派29名队员前去救火，才使得总损失最小（16分）点评： 本题考查函数与方程的实际应用，基本不等式的应用，考查计算能力18椭圆c：=1（ab0）的左、右焦点分别是f1，f2，离心率为，过f1且垂直于x轴的直线被椭圆c截得的线段长为l（1）求椭圆c的方程；（2）点p是椭圆c上除长轴端点外的任一点，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆c有且只有一个公共点，设直线pf1，pf2的斜率分别为k1，k2，若k0，试证明：为定值，并求出这个定值考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （1）由已知条件推导出=1，=，由此能求出椭圆c的方程（2）设p（x0，y0）（y00），则直线l的方程为yy0=k（xx0）联立，得（1+4k2）x2+8（ky0k2x0）x+4（y022kx0y0+k2x021）=0由此利用根的判别式结合题设条件能证明为定值8解答： （1）解：c2=a2b2，将x=c代入椭圆方程=1，得y=过f1且垂直于x轴的直线被椭圆c截得的线段长为l，=1，即a=2b2（2分）离心率e=，（4分）a=2，b=1（5分）椭圆c的方程为+y2=1（6分）（2）证明：设p（x0，y0）（y00），则直线l的方程为yy0=k（xx0）联立，（8分）整理得（1+4k2）x2+8（ky0k2x0）x+4（y022kx0y0+k2x021）=0由题意知=0，即（4x02）k2+2x0y0k+1y02=0（10分）又+y02=1，16y02k2+8x0y0k+x02=0，k=（12分）由（2）知=+=，（15分）=（）=8，为定值，这个定值为8（16分）点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查两数和为定值的证明与求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用19（16分）（2015海南模拟）已知各项均为正数的等差数列an的公差d不等于0，设a1，a3，ak是公比为q的等比数列bn的前三项，（1）若k=7，a1=2；（i）求数列anbn的前n项和tn；（ii）将数列an和bn的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列cn，设其前n项和为sn，求的值（2）若存在mk，mn*使得a1，a3，ak，am成等比数列，求证k为奇数考点： 数列的求和；等差数列与等比数列的综合专题： 计算题分析： （1）因为k=7，所以a1，a3，a7成等比数列，又an是公差d0的等差数列，利用等差数列的通项公式及等比数列的定义可以得到an=a1+（n1）d=n+1，bn=b1qn1=2n，（i）用错位相减法可求得anbn的前n项和为tn=n2n+1；（ii）因为新的数列cn 的前2nn1项和为数列an的前2n1项的和减去数列bn前n项的和，所以计算可得答案；（2）由题意由于（a1+2d）2=a1（a1+（k1）d，整理得4d2=a1d（k5），解方程得，又因为存在mk，mn*使得a1，a3，ak，am成等比数列，及在正项等差数列an中，得到24+（m1）（k5）=（k3）3，分析数特点即可解答： 解：（1）因为k=7，所以a1，a3，a7成等比数列，又an是公差d0的等差数列，所以（a1+2d）2=a1（a1+6d），整理得a1=2d，又a1=2，所以d=1，b1=a1=2，所以an=a1+（n1）d=n+1，bn=b1qn1=2n，（i）用错位相减法或其它方法可求得anbn的前n项和为tn=n2n+1；（ii）因为新的数列cn 的前2nn1项和为数列an的前2n1项的和减去数列bn前n项的和，所以所以（2）由（a1+2d）2=a1（a1+（k1）d，整理得4d2=a1d（k5），因为d0，所以，所以因为存在mk，mn*使得a1，a3，ak，am成等比数列，所以，又在正项等差数列an中，所以，又因为a10，所以有24+（m1）（k5）=（k3）3，因为24+（m1）（k5）是偶数，所以（k3）3也是偶数，即k3为偶数，所以k为奇数点评： 此题考查了等差数列，等比数列的定义及通项公式，还考查了解方程的能力，数列求和的错位相减法，及学生的计算能力20己知函数f（x）=（mx+n）ex（m，nr，e是自然对数的底）（1）若函数f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x+ey3=0，试确定函数f（x）单调区间；（2）当n=1，mr时，若对于任意x，2，都有f（x）x恒成立，求实数m的最小值；当m=n=1时，设函数g（x）=xf（x）+tf（x）+ex（tr），是否存在实数a，b，c0，1，使得g（a）+g（b）g（c），若