桂林理工大学大学物理课后习题答案第六章(罗益民版).pdf

1 第 6 章 稳恒磁场 6 1 由毕 沙定律可得 点 点 点 点 点 6 2 在 X轴上 P 点的磁感应强度如图示 可得 显然 x 0处为 B的最大值 6 3 解法 一 由直电流磁场公式 可得 A点的磁感 见图示 的方向由右手定则知为垂直纸面向外 解法 二 P 点的磁感应强度大小为 3 0 d 4r rlI Bd ooa k a lI ij a lI B 2 0 2 0 4 d 4 d d oao 0 4 d d 2 0 jj a lI B aoo i a lI kj a lI B 2 0 2 0 4 d 4 d d oaa 2 4 d d 0 2 0 aj a lI B k a lI jij a Idl 2 0 2 0 16 d2 2 2 8 coa 2 2 2 4 d d 2 0 kij a lI B 16 d2 2 0 ki a lI i xd I i rr I iBB dd 2 2cos2 22 0 11 0 1 d 0 I Bm sin sin 4 22 0 r I B T 1073 1 102 203 10 3 4 3 3 10 a I B cos cos 4 21 0 b I B 习题 6 2 图 习题 6 3 图 2 3 326 sin 2 sin 60sin4 00 a I a I B 习题 6 3图 2 2 习题 6 3图 3 b为场点 P到载流直导线的垂直距离 第 1 段载流直导线在 A点产生的 第 2 段载流直导线在 A点产生的 B2 则 6 4 方向垂直纸面向外 6 5 1 P点的磁感应强度为 2 据题设 则 P点的 B为 令 则 0 1 B aab 2 3 60sin 180 60 21 180cos60 cos 4 0 2 b I B T 1073 1 4 3 2 3 2 3 4 3 00 a I a I T 1073 1 3 21 BBB 2 00 210 44 22 R Il R I BBB 4 3 2 4 2 4 00 R I R L 38 16 0 R I 21 BBB 2 3 22 2 3 22 2 0 2 1 2 1 2 xaRxaR NIR Ra 2 3 22 2 3 22 2 0 2 1 2 1 2 xRRxRR NIR B 222222 2 2 xRRvxRRu 33 2 0 11 2vu NIR B x v vx u u NIR x B d d1 d d1 3 2d d 44 2 0 3 习题 6 6 图 习题 6 7 图 习题 6 8 图 当 x 0时 u v 这表明 a R x 0处的 o 点磁场最为均匀 将上述条件代入 B中 可得 o点磁感 6 6 在薄金属板上距边界 O点为 l处取一元电流 dI 其宽度 dl 见图示 则此元电流在 P点产生的磁感为 故整个电流 I在 P点产生的磁感为 的方向垂直平面向外 6 7 在半球面上任意取一圆形元电流 如图所示 设此元电流半径为 r 宽为 故 dI 对球心 O的半张角为 其中心与球心 O 相距为 x 则 则此元电流 dI 在 O点产生磁感为 由此可得 O点的磁感应强度 的方向沿 x轴线向右 6 8 在半圆形金属薄片上取一直元电流 如图示 此元电流 dI在 P点产生的磁 感 由对称性分析知 半圆柱面上的电流在 P点产生的磁感为 2 142 14 2 0 2 1 2 1 2 3 v xR vu xR u d NIR 0 d d 0 x x B R NI RR NIR B 55 8 4 1 2 2 0 2 322 2 0 0 l a I Idd d 2 d 2 d 00 xl lI axl I B a ax a I xl l a I BB a ln 2 d 2 d 0 0 0 B Id ddRl d 2 d 2 d NI l R NI I cos sinRxRr dsin d 2 d 20 2 322 2 0 R NI rx Ir B dsind 2 0 0 R NI BB R NI R NI 4 d 2cos1 2 0 2 0 0 B ddd I l R I I d 22 d d 2 00 R I R I B sindcosdBBB 4 习题 6 9 图 的方向沿 x轴向右 6 9 在圆片上取一半径为 r 宽为 dr 的细圆环 此圆环上的运流元电流为 它在 x轴上 P点产生的磁感为 在 P 点的磁感强度为 的方向沿 x轴线向右 6 10 1 该圆环产生运流电流 在轴线上距离环心 x 处产生的磁感为 的方向沿 x轴正向 2 此圆环的磁矩为 的方向沿 x轴正向 6 11 带电粒子作圆周运动在轨道中心产生的磁感强度为 其磁矩为 T1037 6sin 2 5 2 0 0 2 0 R I d R I B 2 dd d s T q I rrrrd 2 d2 2 322 2 0 d 2 d xr Ir B 2 322 3 0 d 2xr rr R xr rr BB 0 2 322 22 0 d 4 d x Rx Rx x Rx x xRx xr r x xr r RR 2 2 2 2222 4 d d 4 22 22 0 22 2 220 00 2 322 2 2 2 122 2 0 B R R T q I 2 2 2 322 2 0 2 322 2 0 2 2xR RR xR IR B 2 322 3 0 xR Rn B 322 2RnRRISPm m P T13 1052 0 102 2106 1 10 4 202 619 7 2 0 a ev B 5 习题 6 13图 习题 6 15图 习题 6 16图 6 12 1 通过 abcd面的磁通量 2 通过 befc面的磁通量 3 通过 aefd面的磁通量 6 13 如图示 取坐标轴 ox 在 x 处取一面元 直电流 I1产生的磁场穿过 dS面的元磁通量 为 穿过该矩形面积的磁通量为 由于 且矩形处于二电流的中心对称位置 故穿过此矩形面积的磁通量为 6 14 穿过 S面的磁通量为 6 15 1 由安培环路定理可得 2 22 222 aev v a e avaIaPm 224 61910 mA102 9 2 102 2106 11052 0 Wb24 04 03 02 11 BS 0 2 Wb24 0 5 0 4 0 5 03 02cos 23 BS xlSdd 1 x xlI SB 2 d dd 110 0 20110110 1 ln 2 d 2 d 20 0l lllI x xlI ll l 21 II 0 20110 1 ln2 l lllI Wb102 2 1 0 2 01 0 ln25 020410 67 r R I B 2 0 2 Rr 42 d 0 0 2 0 Il rdr R Il SB R Wb1011010 67 ar 2 0 1 2 2 0 1 2 2 a Ir Br a I rB bra r I BIrB 2 2 0 202 6 习题 6 17图 习题 6 18 a 图 3 4 6 16 1 如图示 过 P 点作一半径为 r 的圆形回路 圆心为 O 由安培环路定律可得 故绕线环内磁感强度 B的大小与径向距离 r 成反比 2 通过矩形载面的磁通量为 6 17 设有 1 2无限大载流平面 各载有反向等值面电流 K 如图 先计算载流平面 1 产生的磁感强 度 根据对称性分析 P 点的方向应平行于平面 方向向上 沿 Y轴 与 P点对应的另一 侧应与等值反向 故过 P点作矩形回路 L1 如图示 由安培环路定理可得 即 这表明 无限大载流平面产生均匀磁场 与距离无关 1 二平面间 P点的磁感应强度 载流平面 1 在 P点产生方向平行平面向上 载流平面 2 在 P 点产生方向也平行平面向上 故 P 点的合磁感应强度为 2 二平面之外空间的磁感应强度由分析可得 6 18 内部具有空腔的载流柱体产生的磁场计算 通常采用挖补迭加法 即假定空腔部分通有等值而 反向的均匀电流 其电流密度与实体部分的相同 这样取代的结果 其等价磁场分布即为均匀载流 圆柱体 半径为 R 和反向均匀载流的圆柱体 半径为 r 二者磁场的迭加 本题实体部分的 crb 2 2 22 22 0 3 0 22 22 22 22 03 bcr rcI B I bc rc bc brI IrB 0 4 Bcr r NI BNIurB 2 2 0 0 1 200 ln 2 d 2 dd 2 1r r h NI rh r NI SB r r Wb108 6 1ln1057 11000102ln 2 6 270 NIh 1 B 1 B 1 B 1 B 1 01 d L abKlB abKabB 012 jKB 2 0 1 1 B 2 B jKBBB 021 0 21 BBB 1 I 2 I 7 习题 6 18 b 图 电流密度为 故应假设空腔内通地 设载流的圆柱体产生的磁场为 载流的圆柱体产生的磁场为 则其在空间各点的 磁场为 1 轴线 O上的磁感强度 由于在的轴线上 故 而 O轴在之外相距轴为 a 故得 的方向垂直 O轴向上 与 I2方向形成右螺旋 2 轴线上的磁感强度 因为 而在的轴线上 且 故 的方向与构成右螺旋 故垂直向上 P点的磁感强度 由于和方向相反 P在之左侧 故与反向 即 方向垂直联线向下 3 证明空腔内的磁场是均匀的 在空腔内任取一点 A 如图示 则二反向电流在 A点产生的磁场为 22 rR I J J 1 I 1 B 2 I 2 B 21 BBB 1 I0 1 B 2 I O 2020 20 22 rJ aa I BB 2 2 22 2 0 22 2 0 rRa Ir rRa rI 0 B O 0 2 B O 2 I RaOO JaRJ R a a R I BBO 222 02 2 0 2 10 1 2 2 22 0 22 0 rR Ia rR Ia O B 1 I O 21 BBBP 1 I 2 I OO 2 B 1 B 2 22 20 2 10 21 a I R aI BBBP 4 2 22 22 22 0 2 2 2 0 rRa raI a r R RaJ p B O O 21 II 8 习题 6 19图 由于 A点既在体内 又在体内 故 且 因为 故的大小为 为一恒量 的方向由定 即垂直联线向上 这表明空腔内为均匀磁场 6 19 1 电流元所受磁力由按培定律可得 方向垂直纸面向外 方向街纸面向里 2 直线电流在均匀磁场中受磁力为 因此 方向垂直纸面向里 3 如图示 在圆弧上任取一电流元 它所受到的磁力为 由于 bc弧上所有电流元的均指向 21 BBBA 1 I 2 I 22 0 211 0 1 2 2 rJBrJB 12 JJ 2 2 22 0 11 0 21 rJrJBBBA 2 2 1 0 211 0 aJrrJ aJ 1A B 22 22 0 1 0 rR Ia aJBA A B aJ 1O O BlIf dd 2 3 10120100 860sindd 42 11 lBIf N 4 1039 1 1 df 2 2 10120100 8135sindd 42 22 lBIf N 4 1013 1 2 df sinIBlf IBRRIBIBlfab 2 2245sin N 12 102 32 0100 820 ab f abcd ff lId KlIBBlIf dsindd f d K KlIBfbc dsin N100 32 010820 sin 12 2 0 KK KIBRKdIRB 9 习题 6 20图 方向垂直纸面向外 6 20 1 导轨光滑 垂直圈平面 故 ab杆上所受磁场力为 的方向垂直 ab向右 故 ab杆向右平移 欲保持杆静止 须加一等值反向的外力 2 导 轨 非 光 滑 时 如 电 路 平 面 与B正 交 则 杆ab受 到 摩 擦 力 为 因为 故不能保持杆静止 欲要使杆静止 则应 与电路平面斜交 以减少 ab所受磁场力的水平分力 当时 即达到平衡 设此时 与电路平面法线的交角为 见图示 ab杆上所受磁力的水平分力为 欲保持平衡 则要求 B是的函数 由于 B的分子为常数 欲使 B值为极小值 则必须 满足极值条件 即 此时 B的大小为 故的方向必须向左倾斜 31 6 21 1 DC边所受磁力为 方向垂直 DC向左 EF边所受磁力为 bc f bcda ff B N250 15 050 IBlf f 0 ff Nmgfr88 58 916 0 ffr B f ffr B n coscosIBlff mgIBlN Nff r sin sin cos IBlmgIBl cossin Il mg B 0 cossin 1 d d tg sincos 316 0 11 tgtg T1 0 31cos31sin6 0 0 150 8 90 16 0 min B min B 01 0 2 02010 102 2 7210 12 d bII bBIFDC N108 4 DC F 10 习题 6 23图 的方向垂直 EF向右 CE边所受磁力为 方向垂直 CE向上 DE边所受磁力为 2 线圈所受合力为 合力的大小为 合力的方向垂直 DC向左 线圈所受磁力矩为 由于与方向一致故 M 0 6 22 1 abc中电流 I 为顺时针方向 其中 ab边所受磁力为 的方向垂直 ab指向纸外 ac边所受磁力 垂直纸面向里 cb边电流与磁场平行 所以 2 线圈的磁矩为 方向垂直线圈平面向外 故线圈所受磁力矩为 N108 09 001 0 2 02010 102 2 57210 12 ad bII bBIFEF EF F ad d CE l lII lBIFF d 2 dd 210 2 N102 9 01 0 09 001 0 ln2010102ln 2 5 7210 d adII CE F CEDE FF EFDCCEDEEFDC FFFFFFF N102 7108108 454 EFDC FFF F BpdM m m Pd B N867 01 010 2 3 60sin IBlFab ab F abac FF ac F 0 cb F mm PIl l IISP 4 3 60sin 2 2 2 BIlBPM m 2 4 3 mN1033 411 010 4 3 22 11 习题 6 24图 习题 6 25图 磁力矩的方向沿轴向上 3 线圈转过角度过程中磁力矩作功 6 23 在圆环左侧任取一电流元 如图示 则该电流元所受电流的磁场力为 根据对称性 左半载流圆环所受磁力应为的 合力方向水平向右 同理可分析 右半环 其所受合力亦为方向亦水平向右 故 的方向垂直 AB向右 6 24 设边长为 a 其侧视图如右图示 当处于平衡态时其磁力矩与重力矩平衡 三边电流可等效一 闭合电流 其磁矩 与构成角 故对水平轴的磁力矩为 三个边的重力对水平轴的重力矩为 m为一个边的铜线质量 即 由平衡条件 即 M O O 2 2 4 3 IBlIBSIW J1033 411 010 4 3 22 lI d 12 I sin2 d dd 120 21 R lII lBIf sindd 1 ff afffsindd 1左 sindff右 210 210 2 sinII R II adfffF 右左合 F 2 IaPm m P B cossin 2 1 BIaBPM m sinsin 2 2 2 mga a mgM sin2amg Sam 21 MM sin2cos 2 amgBIa tg I gS tg Ia mg B 22 158 9109 81022 10 1 36 tg 12 习题 6 26图 习题 6 27图 6 25 题设圆柱体半径为 R 长为 l 其侧视图如右图 欲使圆柱体静止 其所受磁力矩与重力矩等值 反向 圆柱上的载流线圈的磁矩 方向如图示 故所受磁力矩为 此圆柱体的重力矩为 平衡条件 即 6 26 在圆环盘面上距圆心 O为 r 处取一宽为 dr 的细圆环 如图示 当盘转动时 细圆环上形成圆形 运流电流 又 1 环心 O的磁感强度为 方向垂直 盘面向外 2 环盘受到的磁力矩为 为环盘的等效磁矩 其大小为 的方向由右手定则判定垂直盘面向外 的方向过 O点竖直向上 J103 9 3 RLNIPm2 sin2sin 1 RLBNIBPM m sin 2 mgRM 21 MM sinsin2mgRRLBNI NLB mg I 2 rr rrs T dq Id 2 d2 2 d d 22 aR q r aR rq Id d 22 2 22 22 0 22 00 0 aR aRq dr aR q r dI dBB R a 2 0 aR q 0 B BPM m m P 4 dd 223 22 2 aR q rr aR q IrP R a m m P 42 sin 22 aR Bq BPM m M 13 6 27 1 如图示 电子束 e 由南 S 向北 N 运动 即其速度 v 指向 N 地磁场垂直分量垂直纸 面向里 故电子束受到的洛仑兹力 使电子作顺时针向的圆周运动 因此电子束向东 E 漂移 偏转 2 电子在洛仑兹力作用下作圆周运动 半径其向心加速度为 其向心加速度 为电子的动量 它与电子的动能的关系为 3 当电子沿管轴方向通过 d 0 2m时 设此时电子偏转为 x 见图示 电子作圆周运动的半 径 R为 由图示可知 6 28 由题设 6 29 由题设质子沿 x y轴的速度分量分别为 故质子作螺旋 运动的半径为 螺距为 BVef eB mV R eB mV ReVB R mV 半径 2 2 2 m eBp m eBV R V a mVp K E K mEp2 31 194 31 519 2 101 9 106 11022 12 101 9 105 5106 12 2 m E m eB mE m eB a K K 214ms 102 6 K mE eBeB mV R2 1 m7 6 105 5106 1 106 1102 1101 92 519 19431 aRdsin sin11 cos1 2 RRx m1098 2 7 6 2 0 117 6 11 32 2 RdR KBVBVeBVeF xyyx N 1024 6 10 03 0315 02 106 1 14 619 K K 1616 sm103 sm1