江苏省响水中学高中数学 第二章《函数零点的应用》导学案 苏教版必修1.doc

江苏省响水中学高中数学 第二章函数零点的应用导学案 苏教版必修11.会利用零点的分布求参数的取值范围.2.能通过构造函数解决有关的零点问题.3.根据一元二次方程根的分布条件讨论参数的取值范围.前面我们学习了零点的概念、零点存在性定理等.注意掌握零点的求法,利用数形结合的思想判断零点的个数问题,利用零点存在性定理判定零点所在区间的问题等.零点的应用是本部分考查的重点和热点,这一讲我们就来探讨零点的应用问题.思考并回答以下几个问题.问题1:求方程f(x)=g(x)的根所在的范围或者根的个数的一般方法:(1)转化为研究函数(x)=f(x)-g(x)在相应定义域内的情况,方程的根就是函数(x)的.(2)转化为研究函数y=f(x)和y=g(x)的图象的交点问题,两个函数图象的的横坐标所在的范围或个数,就是方程的根的范围或个数.问题2:已知含参数m的连续函数y=f(x)在区间a,b上存在零点,求参数m的取值范围的一般方法:(1)若y=f(x)在区间a,b上是单调函数,则只需解关于m的不等式即可.(2)若y=f(x)在区间a,b上不是单调函数,则需先求出y=f(x)在区间a,b上的最大值m(m)和最小值n(m),再解关于m的不等式组即可.问题3:判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的分布的一般方法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的分布问题可以转化二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的零点问题,结合图象和性质进行转化;(1)若方程的两根中的一根大于m,另一根小于m,则;当m=0,即方程的根一正一负时,.(2)若方程的两根都大于m,则;若方程的两根都小于m,则.(3)若方程的两根在区间(m,n)的两侧,则.(4)若方程的两异根都在区间(m,n)内,则.(5)若方程的两根中的一根在区间(m,n)内,另一根在(p,q)内,则.1.函数f(x)=ex+3x的零点个数为.2.函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是.3.若方程x2-2mx+2=0的两个不同的根都小于1,则实数m的取值范围是.4.求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.利用零点的分布求参数的取值范围关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根大于-2小于0,另一个根大于1小于3,求实数a的取值范围.合理构造函数,解决零点问题已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(ab),若,(0和y0时x的取值范围.(2013年天津卷)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为().a.1b.2c.3d.4考题变式(我来改编):第10课时函数零点的应用知识体系梳理问题1:(1)零点零点(2)交点问题2:(1)f(a)f(b)0(2)m(m)0,n(m)0问题3:(1)f(m)0c0,-b2am,0f(m)0,-b2a0,f(n)0,m-b2a0(5)f(m)f(n)0,f(p)f(q)0基础学习交流1.1显然函数f(x)为单调增函数,由f(-1)0,得函数f(x)仅有一个零点.2.(0,3)由已知得f(1)f(2)0,即a(a-3)0,解得0a0,m0,解得m-2.4.解:(法一)f(0)=1+0-2=-10,f(x)在(0,2)上必定存在零点,又f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.(法二)在同一坐标系下作出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的大致图象.由图象知g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.重点难点探究探究一:【解析】设f(x)=3x2-5x+a,其大致图象如图所示:则由图象结合函数零点的性质可知f(x)满足f(-2)0,f(0)0,f(1)0,解得-12a0.故实数a的取值范围是(-12,0).【小结】本题已知方程根(即函数的零点)的分布情况,要求参数的取值范围,解决此类问题的关键是利用函数的图象结合零点的性质将方程根(即函数的零点)的分布情况转化为参数所满足的条件.这里利用了函数在特殊点处的函数值符号来对参数进行限定.探究二:【解析】设g(x)=(x-a)(x-b),则f(x)的图象是由g(x)的图象向下平移2个单位得到的,显然g(x)的两个零点分别为a,b,f(x)的两个零点分别为,结合图象可得ab.【答案】ab【小结】本题先将方程根的问题转化为函数零点的问题,再结合新构造函数的图象和零点情况,直观形象地找到四个量的大小关系.探究三:【解析】f(x)=0x2-2|x|=a+1,令g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1,则有g(x)=x2-2x,x0,x2+2x,x0,g(x)、h(x)图象如图所示.g(-2)=g(0)=g(2)=0,g(-1)=g(1)=-1,当a+1-1,即a0,即a=-2或a-1时,g(x)与h(x)有两个交点;当-1a+10,即-2a-1时,g(x)与h(x)有四个交点;当a+1=0,即a=-1时,g(x)与h(x)有三个交点.故当a-1时,函数f(x)有两个零点;当-2a-1时,函数f(x)有四个零点;当a=-1时,函数f(x)有三个零点.【小结】在解决有关函数零点的问题时,往往要综合运用多种思想方法,一般有函数与方程、化归与转化、数形结合、分类讨论思想等.思维拓展应用应用一:(1)设f(x)=2x2-(m+1)x+m,则实数f(x)的图象是一条开口向上的抛物线,依题意得f(0)0,即m0,f(4)0或m0,即m0,26m+380或m0,解得-1913m13,(12)13(13)13,即f(13)0;f(12)=(12)12-(12)13,1213,(12)12(12)13,即f(12)0.即f(13)f(12)0,显然函数f(x)在r上单调递减,故方程(12)x=x13的解x0在区间(13,12)内.应用三:求函数f(x)=|x2-2x|-a的零点个数可以转化为求方程a=|x2-2x|的根的个数,进一步转化为求函数g(x)=|x2-2x|的图象与函数h(x)=a的图象的交点个数.函数g(x)=|x2-2x|和函数h(x)=a的图象如图所示.(1)当a1时,直线y=h(x)与y=g(x)的图象有两个交点,即函数f(x)有两个零点;(3)当a=1时,直线y=h(x)与y=g(x)的图象有三个交点,即函数f(x)有三个零点;(4)当0a1时,直线y=h(x)与y=g(x)的图象有四个交点,即函数f(x)有四个零点.基础智能检测1.由题意,得f(k-1)f(k)0,f(k)f(k+1)0,由零点存在性定理可知区间(k-1,k),(k,k+1)内各有一个零点,零点可能是区间内的任何一个值,故正确.2.根据题意只需函数y=f(x)与y=2在(-,0)上有交点即可.3.(13,1)当a=0时,函数f(x)=1在(-1,1)上没有零点,所以a0,所以根据根的存在性定理可知f(-1)f(1)0,即(-3a+1)(1-a)0,解得13a1.所以实数a的取值范围是(13,1).4.解:解方程-x2-2x+3=0得x1=-3,x2=1,即函数y=-x2-2x+3的零点为-3,1.画出函数的大致图象,如图所示:由图象可以看出:当-3x0;当x1时,y0时,x的取值范围为(-3,1);当y0时,x的取值范围为(-,-3)(1,+).