江苏省响水中学高中数学 第二章《函数单调性的应用》导学案 苏教版必修1.doc

江苏省响水中学高中数学 第二章函数单调性的应用导学案 苏教版必修11.会利用作差法判断或证明函数的单调区间.2.能根据函数的单调性求函数的最值及函数的值域.基本函数的单调性可以根据函数的图象归纳其单调性,那么还有很多函数不是基本函数,而是由几个基本函数通过加减等各种运算复合而成的,它们的图象我们并不熟悉,那么这类函数的单调性怎么判断?问题1:(1)比较两个数a,b的大小可以通过作差来判断,即a-b0,形如这样比较大小的方法称为作差比较法.(2)判断函数f(x)在区间d上的单调性,可以先给出区间d上的任意两个数x1,x2,假设x1x2,再作差f(x1)-f(x2),通过化简、因式分解(若有分母,则先通分)等方法进行变形,判断出f(x1)-f(x2)的符号,若f(x1)-f(x2)0恒成立,则f(x)在区间d上是,以上通过作差法判断单调性的步骤可以简化为3个环节,即作差变形定号.问题2:函数的最大值与最小值是如何定义的?(1)设函数y=f(x)的定义域为i,如果存在实数m满足:对于任意的xi,都有;存在x0i,使得.那么,称m是函数y=f(x)的最大值.(2)设函数y=f(x)的定义域为i,如果存在实数m满足:对于任意的xi,都有;存在x0i,使得,那么,称m是函数y=f(x)的最小值.问题3:函数最值定义中的不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又有什么特征?f(x)m反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数;这个函数的图象特征是有,并且最高点的是m.f(x)m反映了函数y=f(x)的所有函数值不小于实数;这个函数的图象特征是有,并且最低点的是m.问题4:函数的值域与最值有何区别?(1)函数的值域是一个集合,而函数的最值属于这个集合.(2)函数的值域一定存在,但函数并不一定有最大(小)值.例如,函数y=1x,x(0,+)的值域为(0,+),它并不存在最大(小)值.1.若ab1,m=a+1a,n=b+1b,则m,n的大小关系是.2.已知函数f(x)=ax+b在r上是增函数,那么函数f(x)=x2+2ax+b在(0,+)上单调递.3.函数y=-3x2+2在区间-1,2上的最大值为.4.求函数f(x)=1x,x1,-x2+2,x1的最大值.函数单调性的判断与证明利用函数单调性的定义,证明函数f(x)=x在区间0,+)上是增函数.利用单调性求函数的值域或最值求函数y=2xx-1在区间3,7上的最大值和最小值.应用问题中的最值问题当季节交替时,季节性服装价格也会有一定的变化.设某服装开始时定价为10元,并且每周(7天)涨价2元,5周后开始保持20元的价格平稳销售;10周后当季节即将过去时,平均每周削价2元,直到16周末,该服装不再销售.(1)试建立价格p与周次t之间的函数关系式.(2)若此服装每件进价q与周次t之间的关系为q=-0.125(t-8)2+12,t0,16,tn+,试问该服装第几周每件销售利润最大?最大值是多少?(注:每件销售利润=售价-进价)画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,指出函数的单调区间和最大值.(1)函数f(x)=xx+2在区间2,4上的最大值为,最小值为.(2)求函数f(x)=2x2-4x+5在区间-3,2上的值域.某旅行团去风景区旅游,对机票费用有如下规定:若每团人数不超过30人,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30人,则给予优惠,每多1人,机票每张减少10元.每个团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15000元,假设一个旅行团体不能超过70人.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数式.(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?1.函数y=-x2+4x(-1x3)的最大值和最小值分别是.2.函数f(x)=x+7,x-1,1),2x+6,x1,2,则f(x)的最大值和最小值分别为.3.函数y=1x(12x0,a0)在x=3时取得最小值,则a=.考题变式(我来改编):第5课时函数单调性的应用知识体系梳理问题1:(1)ab(2)增函数减函数问题2:(1)f(x)mf(x0)=m(2)f(x)mf(x0)=m问题3:m最高点纵坐标m最低点纵坐标基础学习交流1.mnm-n=a+1a-b-1b=(a-b)-a-bab=(a-b)(ab-1)ab,因为ab1,所以a-b0,ab-10,ab0,所以m-n0,即mn.2.增因为函数f(x)=ax+b在r上是增函数,所以a0,函数f(x)=x2+2ax+b的对称轴是x=-a0,所以在(0,+)上是增函数.3.2函数y=f(x)在区间-1,2上的最大值为f(0)=2.4.解:当x1时,函数f(x)=1x为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f(1)=1;当x1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,最大值为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.重点难点探究探究一:【解析】任取x1,x20,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1-x2=(x1-x2)(x1+x2)x1+x2=x1-x2x1+x2,0x1x2,x1-x20.从而知f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).函数f(x)=x在区间0,+)上是增函数.【小结】对于本题,很可能会认为由0x1x2可直接得到0x1x2,这种做法在高一初学阶段的理由是不充分的,因为这个结论的得出恰恰是利用了函数f(x)=x的单调性,而此点是需要证明的.探究二:【解析】y=2xx-1=2+2x-1,设3x1x27,则有f(x1)-f(x2)=2x1-1-2x2-1=2(x2-1)-(x1-1)(x1-1)(x2-1)=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1).3x10,(x1-1)(x2-1)0.f(x1)f(x2),即函数y=2xx-1在区间3,7上是减函数.当x=3时,函数y=2xx-1在区间3,7上取得最大值f(3)=3;当x=7时,函数y=2xx-1在区间3,7上取得最小值f(7)=73.【小结】如果函数在区间a,b上是单调函数,则可利用单调性求出该函数在区间a,b上的最大(小)值.探究三:【解析】(1)p=10+2t,t0,5,20,t(5,10,40-2t,t(10,16.(2)二次函数最值分3种情况计算:若t0,5(tn+),l=10+2t+0.125(t-8)2-12,则当t=5时,lmax=9.125元;若t(5,10(tn+),l=20+0.125(t-8)2-12,则当t=6或10时,lmax=8.5元;若t=(10,16(tn+),l=40-2t+0.125(t-8)2-12,则当t=11时,lmax=7.125元.故第五周每件销售利润最大,最大值为9.125元.【小结】解实际应用题要弄清题意,从实际出发,引进数学符号,建立数学模型,列出函数关系式,分析函数的性质,从而解决问题,要注意自变量的取值范围.实际应用问题中,最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决,本题转化为二次函数求最值,利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.思维拓展应用应用一:函数图象如图所示.由图象得,函数的图象在区间(-,-1)和0,1上是递增的,在-1,0和(1,+)上是递减的,最高点是(1,4),故函数在(-,-1),0,1上是增函数;函数在-1,0,(1,+)上是减函数.函数的最大值是4.应用二:(1)2312(1)f(x)=xx+2=x+2-2x+2=1-2x+2,函数f(x)在2,4上是增函数,ymin=f(2)=22+2=12,ymax=f(4)=44+2=23.(2)f(x)=2x2-4x+5=2(x-1)2+3,二次函数f(x)的对称轴为直线x=1.由二次函数的性质可知f(x)在-3,1上为减函数,在1,2上为增函数.当x=1时,f(x)取得最小值3;当x=-3时,f(x)取得最大值35.f(x)的值域是3,35.应用三:(1)设旅行团的人数为x,机票价格为y元,则y=900,1x30,900-10(x-30),30x70,即y=900,1x30,1200-10x,30x70.(2)设旅行社可获得利润为q元,则q=900x-15000,1x30,(1200-10x)x-15000,30x70,即q=900x-15000,1x30,-10x2+1200x-15000,30x70,当x1,30时,qmax=90030-15000=12000(元),当x(30,70时,q=-10(x-60)2+21000,即当x=60时,qmax=21000(元),故当每团人数为60时,旅行社可获得最大利润21000元.基础智能检测1.4和-5f(x)的最大值为f(2)=4,最小值为f(-1)=-5.2.10和6当-1x1时,6x+78,当1x2时,82x+610,f(x)min=f(-1)=6,f(x)max=f(2)=10.3.(1,2y=1x在12,1)上单调递减,故值域为(1,2.4.解:f(x)=mx