概率论与数理统计习题(全).pdf

第一章 随机事件及其概率 1 写出下列试验的样本空间 1 抛掷三颗质地均匀的骰子 观察三颗骰子出现的点数和的情况 2 对一个目标进行射击 一旦击中便停止射击 观察射击的次数 3 在单位圆内任取一点 记录它的坐标 4 记录一个班一次概率考试的平均分数 2 将下列事件用事件 A B C 表示出来 1 A B C 中至少有一个发生 2 A B C 中只有 A 发生 3 A B C 中恰好有两个发生 4 A B C 中至少有两个发生 5 A B C 中只有一个发生 6 A B C 中不多于一个发生 7 A B C 都不发生 2 3 设 A B C 是三个事件 且 4 1 CPBPAP 0 BCPABP 8 1 ACP 求 A B C 中至少有一个发生的概率以及 A B C 全不发生的概率 4 设 A B 是两个事件 已知5 0 AP 7 0 BP 试求 与 8 0 BAPU BAP ABP 5 袋中装有标号为1 2 10的10个相同的球 从中任取3个球 试 求 1 3个球中最小的标号为5的概率 2 3个球中最大的标号为5的概率 3 6 4张卡片上分别写上字母d g o o 把这4张卡片随机排列 试求它们 恰好组成 good 的概率 7 已知N件产品中有M件是不合格品 今从中随机地抽取n件 试求 1 n件中恰有k件不合格品的概率 2 n件中至少有一件不合格的概率 8 5双不同的手套中任取4只 试问其中至少有2只配成一双的概率多大 9 袋中有5个白球6个黑球 从袋中一次取出3个球 发现是同一种颜色 求该颜色是黑色的概率 4 10 某建筑物按设计要求使用寿命超过50年的概率为0 8 超过60年的概 率为0 6 该建筑物经历了50年之后 它将在10年内倒塌的概率有多大 11 袋中有r只红球 t只白球 每次从袋中任取一只球 观察其颜色后放 回 并再放入a只与所取的那只球同色的球 若在袋中连续取球四次 试求第一 二次取到红球且第三 四次取到白球的概率 12 某年级有甲 乙 丙三个班级 各班人数分别占年级总人数的 4 1 3 1 12 5 已知甲 乙 丙三个班级中集邮人数分别占该班总人数的 2 1 4 1 5 1 试求 1 从该年级中随机地选取一个人 此人为集邮者的概率 2 从该年级中随机地选取一个人 发现此人为集邮者 此人属于乙班的 概率 5 13 已知男子有5 是色盲患者 女子中有0 25 是色盲患者 今从男女人 数相等的人群中随机挑选一人 恰好是色盲患者 问此人是男性的概率是多少 14 设A B是两个相互独立的事件 已知3 0 AP 试 求 65 0 BAPU BP 15 袋中有20个球 其中7个是红的 5个是黄的 4个是黄 蓝两色的 1个是红 黄 蓝三色的 其余3个是无色的 A B C分别表示从袋中任意摸 出1球有红色 有黄色 有蓝色的事件 证明 CPBPAPABCP 但A B C两两不独立 6 16 图中电路由5个元件组成 它们工作状况是相互独立的 元件的可靠度 都是p 求系统的可靠度 如图 1 4 3 2 5 17 三个人独立地去破译一份密码 已知各人能译出的概率分别为 5 1 3 1 4 1 问三人至少有一人能将此密码译出的概率 18 5名篮球运动员独立地投篮 每个运动员投篮的命中率都是40 他们 各投一次 试求 1 恰有两个投中的概率 2 至少有两个投中的概率 7 第二章 随机变量及其分布 1 将3个球随机地放入4个杯子中去 设X为杯子中球的最大个数 求X 的所有取值 并求概率 3 XP 2 某人射击的命中率为0 6 他独立进行了5次射击 记X为命中次数 求 他至少命中一次的概率 3 袋中有编号为1 2 3 4 5的5个球 从中任取三个球 以X表示三 个球的最大号码 求X的分布律 8 4 设在N件产品中有M件不合格品 从这批产品中随机地抽取n件作检查 求其中不合格品的件数X的分布律 此时称X服从参数为N M n的超几何 分布 5 已知随机变量X的分布律为 X 2 1 0 1 2 4 pk 0 2 0 1 0 3 0 1 0 2 0 1 试求关于t的一元二次方程有实根的概率 0 1 23 2 XXtt 6 设随机变量X的分布律为 2 1 k N a kXP N 试确定常数a 9 7 一大楼装有5个同类型的供水设备 调查表明在任一时刻t每个设备被使 用的概率为0 1 问在同一时刻 1 恰有2个设备被使用的概率是多少 2 至少有3个设备被使用的概率是多少 3 至多有3个设备被使用的概率是多少 4 至少有1个设备被使用的概率是多少 8 随机变量X的分布律为 求X的分布函数 并求 5 XP 和 53 XP 9 已知离散型随机变量X的分布函数为 且对X的每 个可能值 有 求X的分布律 1 1 10 2 0 0 0 x x x xF k x0 k xXP 10 10 问A为何值时 是一随机变量X的分布函数 0 0 0 e x xA xF x 11 设X是 2 5 上的均匀分布随机变量 求关于u的二次方程 0244 2 XXuu 有实根的概率 11 12 连续型随机变量X的分布函数为 1 arcsin 0 ax axa a x BA ax xF 其中 a为正常数 求 1 常数A和B 2 22 a x a P 3 X的概率密度 13 设随机变量X的概率密度为 其它 0 32 21 2 xcx xcx xf 试确定常数 c 并求 X 的分布函数及 51 XP 12 14 设X N 3 22 1 求 52 XP 104 XP 2 XP 3 XP 2 确定 c 使得 cXPcXP 3 设 d 满足 问 d 至多为多少 9 0 dXP 15 设 X 的分布律为 X 2 1 0 1 3 pk 5 1 6 1 5 1 15 1 30 11 求 2 XY 的分布律 13 16 设 求 1 1 0 NX 2 XY 2 的概率密度 X Ye 17 设 X 的概率密度为 x x xf 1 1 2 求 3 1XY 的概率密 度 14 第四章 随机变量的数字特征 1 设随机变量 X 的分布律为 X 20 1 pk 0 30 20 5 求 1 2 3 XE 2 XE 53 2 XE 2 设连续型随机变量 X 的概率密度为 0 10 2 其它 xbxa xf 且 5 3 XE 求 1 常数 a b 的值 2 2 XEXE 23 3 设 X Y 的分布律为 X Y 1 2 3 0 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 3 1 0 1 0 1 0 1 求 1 2 3 YEXE XYE 2 YXE 4 设 X Y 的概率密度为 0 10 12 2 其它 xyy yxf 求 1 2 3 YEXE XYE 22 YXE 24 5 设 X 的分布律为 X 20 2 pk 0 40 30 3 求 2 XDXD 6 设 求 baUX XD 7 设 X 与 Y 独立 且2 YEXE 1 YDXD 求 2 YXE 25 8 设随机变量 X 与 Y 相互独立 且1 YEXE 2 XD 求 3 YD XYD 9 设 X 为随机变量 C 是常数 且 XEC 证明 2 CXEXD 10 设 X Y 的概率密度为 0 0 10 8 其它 xyxxy yxf 求 cov YXYEXE 26 11 设 X Y 的联合分布律为 X Y 0 1 2 3 1 0 8 3 8 3 0 3 8 1 0 0 8 1 证明 X 与 Y 不相关 但 X 与 Y 不独立 12 已知 1 YEXE1 ZE 1 ZDYDXD 0 YX 2 1 ZX 2 1 ZY 求 ZYXD 27 第五章 大数定律与中心极限定理 1 设X1 X2 Xn是独立同分布的随机变量 设 baUXi i n i X n X 1 1 求 XE与 XD 2 设 X 服从 1 1 的均匀分布 试用切比雪夫不等式估计的 下界 6 0 XP 3 设X1 X2 X30相互独立 且都服从参数为1 0 的指数分布 求 350 30 1 i i XP 28 4 报童沿街向行人兜售报纸 设每位行人买报纸的概率为 0 2 且他们买报 与否是相互独立的 试求报童在向 100 位行人兜售之后 卖掉报纸 15 份 30 份 的概率 5 一复杂系统由 n 个相互独立工作的部件组成 每个部件的可靠性 即部 件在一定时间内无故障的概率 为 0 9 且必须至少有 80 的部件工作才能使整 个系统工作 问 n 至少为多少才能使系统的可靠性为 0 95 29 第六章 样本及抽样分布 1 在正态总体中随机抽取一个容量为 36 的样本 试求样本 均值 3 6 52 2 NX X落在 50 8 到 53 8 之间的概率 2 由正态总体 N 20 3 分别得到容量为 10 和 15 的独立样本 求其样本 均值 3 设X1 X2 X6来自正态总体N 0 22 的样本 求 差的绝对值大于 0 3 的概率 54 6 2 6 1 i i XP 30 第八章 假设检验 1 现有一批矿砂 测得 5 个样品的镍含量 分别为 3 25 3 27 3 24 3 26 3 24 设测定值总体服从正态分布 但参数未知 问在05 0 下能否认为这批矿砂的 镍含量为 3 25 2 某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布 某日 测得 5