法向量求二面角-空间向量.ppt

平面法向量在立体几何中的应用 利用法向量求二面角 一 平面的法向量的定义 1 利用平面法向量求直线与平面所成的角 直线与平面所成的角等于平面的法向量所在的直线与已知直线的夹角的余角 二 平面法向量的应用 例 2 利用平面法向量求二面角的大小 求二面角的大小 先求出两个半平面的法向量的夹角 然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小 2 利用平面法向量求二面角的大小 指入 指出平面的法向量的夹角的大小就是二面角的大小 例1 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 E F M N分别是A1B1 BC C1D1 B1C1的中点 求二面角M EF N的大小 A D1 C1 B1 A1 N M F E D C B 2 A D1 C1 B1 A1 N M F E D C B x y z 2 2 如图 在空间直角坐标系中 BC 2 原点O为BC的中点 点A的坐标是 1 1 0 点D在平面yoz上 且 BDC 90 DCB 30 求二面角D BA C的大小 A O z y x D C B 0 1 0 1 1 0 0 1 0 E 30 解 由题可知B 0 1 0 C 0 1 0 又A 1 1 0 得AC 1 AB 5 又BC 2 ACB 90 又 BCD 30 BDC 90 故BD 1 CD 3 由D点向BC作垂线DE 则DE 3 2 OE 1 2 得D 0 1 2 3 2 E 0 1 2 0 ED 0 0 3 2 BA 1 2 0 BD 0 1 2 3 2 面ABC的法向量为ED 可求得面ABD的法向量为n 2 3 3 1 cos 1 4 arccos 1 4 二面角D BA C的大小为arccos 1 4 例 例 在四面体ABCD中 AB 面BCD BC CD BCD ADB E F分别是A AD的中点 求证平面BEF 平面ABC 求二面角 的大小 1 如图 正 广州一模 2 广州二模 如图 D E F分别是AB BC CP的中点 AB AC 1 PA 2 1 求直线PA和平面DEF所成的角的大小 2 求点P到平面DEF的距离 小结 1 本节主要复习了法向量在求线面角和二面角方面的应用 注意所求角与法向量的联系 掌握基本的思想方法 2 立体几何问题求解的思想方法的发展趋势 用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势 而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具 故 学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础 3 利用法向量求点到平面的距离 A B 如图 点A到平面的距离d BA cos d A1 n 例2 已知棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1 E F分别是B1C1和C1D1的中点 求点A1到平面BDEF的距离 4 利用法向量证明面面垂直问题 m n 证明面面垂直可转化为证明它们的法向量垂直 例3 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 AB AA1 3 a E F分别是BB1 CC1上的点 且BE a CF 2a 求证 面AEF 面ACF A F E C1 B1 A1 C B x z y A F E C1 B1 A1 C B z y 不防设a 2 则A 0 0 0 B 3 1 0 C 0 2 0 E 3 1 2 F 0 2 4 AE 3 1 2 AF 0 2 4 因为 x轴 面ACF 所以可取面ACF的法向量为m 1 0 0 设n x y z 是面AEF的法向量 则 x nAE 3x y 2z 0 nAF