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理论力学 中南大学土木工程学院 1 第五章点的运动学 理论力学 中南大学土木工程学院 2 以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位置的方法叫自然法 一 弧坐标 自然轴系 1 弧坐标 设动点M的轨迹为如图所示的曲线 则动点M在轨迹上的位置可以这样确定 在轨迹上任选一点O为参考点 并设点O的某一侧为正向 动点M在轨迹上的位置由弧长s确定 视弧长s为代数量 称它为动点M在轨迹上的弧坐标 当动点M运动时 s随着时间变化 它是时间的单值连续函数 即s f t 理论力学 中南大学土木工程学院 3 二 点的速度 三 点的加速度 式中v称为速度矢量在切线上的投影 理论力学 中南大学土木工程学院 4 切向加速度 表示速度大小的变化 法向加速度 表示速度方向的变化 理论力学 中南大学土木工程学院 5 第六章刚体的简单运动 理论力学 中南大学土木工程学院 6 例 刚体的运动 理论力学 中南大学土木工程学院 7 OB作定轴转动CD作平移 AB 凸轮均作平移 理论力学 中南大学土木工程学院 8 一 刚体平移的定义平行移动 平移 刚体在运动中 其上任意两点连线方向始终保持不变 直线平移 曲线平移 理论力学 中南大学土木工程学院 9 得出结论 即 二 刚体平移的特点平移刚体在任一瞬时各点的运动轨迹形状 速度和加速度都一样 即 平移刚体的运动可以简化为一个点的运动 理论力学 中南大学土木工程学院 10 一 刚体定轴转动定轴转动 刚体运动时 有上或其扩展部分有两点保持不动 通过两点的直线称为转轴 不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内做圆周运动 二 转角和转动方程 转角 单位弧度 rad f t 为转动方程方向规定 从z轴正向看去 理论力学 中南大学土木工程学院 11 三 定轴转动的角速度和角加速度 2 角加速度设当t时刻为 t t时刻为 理论力学 中南大学土木工程学院 12 如果w与a同号 则转动是加速的 如果w与a异号 则转动是减速的 w与a同号 转动加速 w与a异号 转动减速 机器中的转动部件或零件 一般都在匀速转动情况下工作 转动的快慢用转速n表示 其单位为转 分 r min rpm 则n与w的关系为 理论力学 中南大学土木工程学院 13 刚体定轴转动时 不在转轴上的各点都在垂直于转轴的平面内作圆周运动 圆心在轴线O上 半径R等于点到转轴的距离 设刚体以w从定平面A绕定轴转动到B处 转角为j 定轴转动刚体上任一点做圆周运动 刚体上一点从M0转到M 取M0为弧坐标原点 方向 沿圆周的切线 指向与转动方向一致 速度 点的弧坐标 一 角速度w与v的关系 理论力学 中南大学土木工程学院 14 设角加速度如图所示 切向加速度 即 转动刚体内任一点的切向加速度 又称转动加速度 的大小 等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积 它的方向由角加速度的符号决定 当a是正值时 它沿圆周的切线 指向角j的正向 否则相反 理论力学 中南大学土木工程学院 15 即 转动刚体内任一点的法向加速度 又称向心加速度 的大小 等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积 它的方向与速度垂直并指向轴线 点的全加速度为 一般情况下不合成 法向加速度 理论力学 中南大学土木工程学院 16 如果w与a同号 角速度的绝对值增加 刚体作加速转动 这时点的切向加速度at与速度v的指向相同 如果w与a异号 刚体作减速转动 at与v的指向相反 这两种情况如图所示 理论力学 中南大学土木工程学院 17 理论力学 中南大学土木工程学院 18 第七章点的合成运动 理论力学 中南大学土木工程学院 19 定系 地面为参考系 动系 相对于地面运动物体上的参考系 工程实际中两类问题 机构运动 机构运动通过选择合适的动点 动系转变为点的合成运动 来解决机构传递问题 理论力学 中南大学土木工程学院 20 理论力学 中南大学土木工程学院 21 理论力学 中南大学土木工程学院 22 动点 定系 动系 绝对运动 相对运动 绝对速度绝对加速度 相对速度相对加速度 牵连运动 刚体运动 理论力学 中南大学土木工程学院 23 动点 动系 设想该瞬时将该动点固定在动系上 而随着动系一起运动所具有的速度和加速度 即受动参考系这个刚体的牵连或拖带而产生的速度和加速 牵连点是动系上的点 不同瞬时牵连点不同 理论力学 中南大学土木工程学院 24 理论力学 中南大学土木工程学院 25 理论力学 中南大学土木工程学院 26 理论力学 中南大学土木工程学院 27 动点 AB杆上A点 动系 固结于凸轮上 定系 固结在地面上 凸轮顶杆机构 理论力学 中南大学土木工程学院 28 绝对运动 铅直运动 相对运动 圆周运动 牵连运动 凸轮直线平移 理论力学 中南大学土木工程学院 29 绝对速度 va 相对速度 vr 牵连速度 ve 理论力学 中南大学土木工程学院 30 绝对加速度 aa相对加速度 ar牵连加速度 ae 理论力学 中南大学土木工程学院 31 动点 AB杆上的A点动系 偏心轮 绝对运动 直线运动相对运动 圆周运动牵连运动 定轴转动 理论力学 中南大学土木工程学院 32 绝对运动 圆周运动相对运动 直线运动牵连运动 定轴转动 圆轮摇杆机构 动点 圆盘上的A点动系 O A摆杆 理论力学 中南大学土木工程学院 33 摇杆滑道机构 绝对运动 水平直线运动 相对运动 沿OB轴线的直线运动 牵连运动 OB杆的定轴转动 动点 CD杆上的A点 动系 固结于OB上 理论力学 中南大学土木工程学院 34 曲柄滑块机构 动点 O1A上A点 动系 固结于BCD上 绝对运动 圆周运动 相对运动 直线运动 牵连运动 BCD平移 动点 BCD上的套筒F点 动系 固结于O2E上 绝对运动 直线运动 相对运动 直线运动 牵连运动 定轴转动 理论力学 中南大学土木工程学院 35 相对轨迹清楚 可以确定相对速度和相对加速度的方位 理论力学 中南大学土木工程学院 36 理论力学 中南大学土木工程学院 37 理论力学 中南大学土木工程学院 38 建立动点的绝对速度 相对速度和牵连速度之间的关系 将上式除以Dt后 取Dt 0时的极限 得 一 证明 由各速度的定义 理论力学 中南大学土木工程学院 39 说明 va 动点的绝对速度 vr 动点的相对速度 ve 动点的牵连速度 是动系上一点 牵连点 对地的速度 动系作平移时 牵连速度等于动系上各点的速度 动系作定轴转动时 牵连速度垂直于动点与转轴的连线 大小为该连线与动系转动的角速度的乘积 即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和 这就是点的速度合成定理 理论力学 中南大学土木工程学院 40 由速度合成定理va ve vr 作出速度平行四边形如图示 解 动点取直杆上A点 动系固结于圆盘 绝对速度va 待求 方向 AB相对速度vr 未知 方向 CA牵连速度ve OA 2e 方向 OA 理论力学 中南大学土木工程学院 41 解 取套筒铰接点即OA杆上的A点为动点 穿过套筒的摆杆O1B为动系 绝对速度va r 方向 OA相对速度vr 方向 O1B牵连速度ve 方向 O1B 理论力学 中南大学土木工程学院 42 解 取套筒与AB杆的铰接点A为动点 动系与OC固连 分析A点速度 有 理论力学 中南大学土木工程学院 43 解 以小环M为动点 动系取在AB杆上 动点的速度合成矢量图如图 由图可得 理论力学 中南大学土木工程学院 44 分析 相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化 因此两物体的接触点都不宜选为动点 否则相对运动的分析就会很困难 这种情况下 需选择满足上述两条原则的非接触点为动点 可以发现 凸轮上C的轨迹是直线 若选OA为动系 其相对轨迹也容易确定是直线 解 取凸轮上C点为动点 动系固结于OA杆上 绝对运动 直线运动 绝对速度 va v 方向向右 相对运动 直线运动 相对速度 vr未知 方向平行OA 牵连运动 定轴转动 牵连速度 ve待求 方向垂直OC 由速度合成定理作出作出速度平行四边形 理论力学 中南大学土木工程学院 45 解 先选O1A上A点为动点 动系固结于BCD上 作出速度平行四边形 如图示 再选BCD上F点为动点 动系固结于O2E上 由vFa vFe vFr作出速度平行四边形 如图示 理论力学 中南大学土木工程学院 46 解取M为动点 AB为动坐标系 相对速度 牵连速度如图 取M为动点 CD为动坐标系 相对速度 牵连速度如图 由上面两式可得 其中 将等式两边同时向铅直轴投影得 则动点M的绝对速度为 理论力学 中南大学土木工程学院 47 由上述例题可看出 求解合成运动速度问题的一般步骤为 选取动点 动系和定系 工程问题选地面作定系 三种运动的分析 确定点运动的轨迹来判断各速度的方向 根据速度合成定理作出速度平行四边形矢量图 由速度平行四边形 求出未知量 恰当地选择动点 动系是求解合成运动问题的关键 动点 动系的选择原则 动点和动系必须分别属于两个不同的物体 否则绝对 相对和牵连运动中就缺少一种运动 不能构成合成运动 动点相对动系的相对运动轨迹要易于直观判断 已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外 理论力学 中南大学土木工程学院 48 机构传动问题中动点 动系的选取 理论力学 中南大学土木工程学院 49 即当牵连运动为平移时 动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和 一般式可写为 理论力学 中南大学土木工程学院 50 解 取杆上的A点为动点 动系与凸轮固连 绝对速度va 方向 AB 绝对加速度aa 方向 AB相对速度vr 方向 AC 相对加速度art 方向 ACarn vr2 R 方向沿AC指向C牵连速度ve v0 方向水平 牵连加速度ae a0 方向水平 理论力学 中南大学土木工程学院 51 由速度合成定理 作出速度平行四边形 如图示 因牵连运动为平移 故有 其中 作加速度矢量图如图示 将矢量方程投影到x轴上 得 理论力学 中南大学土木工程学院 52 整理得 3个矢量组成的方程 通常可用几何法求解 例如3个力的平衡 画力三角形求解 速度合成定理3个速度矢量 可用三角形求解 3个以上的矢量组成的方程 通常用解析法求解 即采用投影的方法求解 左边各矢量在某轴上投影的代数和 右边各矢量在同一轴上投影的代数和 机构传动问题 求加速度的投影轴通常在垂直于相对轨迹的方向 因为速度合成定理可求得动点的相对速度 但相对速度往往是某瞬时的特殊值 不能通过求导得出相对切向加速度 理论力学 中南大学土木工程学院 53 解 动点为曲柄上A点 动系固结在滑杆BC上 根据速度合成定理va ve vr作出速度平行四边形 如图示 小车的速度 在水平方向投影 理论力学 中南大学土木工程学院 54 解 取滑块A为动点 动系与滑道BCD固连 作速度平行四边形 曲柄OA的角速度为 由速度合成定理va ve vr求得 由加速度合成定理作加速度矢量图 将加速度向h轴上投影有 理论力学 中南大学土木工程学院 55 解 动点 A点 OA杆 动系 BC杆 由几何关系得 根据牵连运动为平移的加速度合成定理 在铅直轴上投影得 理论力学 中南大学土木工程学院 56 解 用运动方程求解 因推杆作平移 其上各点的速度和加速度都相同 现取推杆上与凸轮的接触点M分析 建立图示坐标 理论力学 中南大学土木工程学院 57 解 取圆盘的中心C为动点 动系与平底推杆AB固连 分析动点的速度和加速度如图所示 可求得 向y轴投影 或者 理论力学 中南大学土木工程学院 58 点的加速度合成定理 动系转动时 动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度 相对加速度与科氏加速度的矢量和 令 称为科氏加速度 于是有 法国科里奥利 1792 1843 理论力学 中南大学土木工程学院 59 牵连运动为转动时 加速度合成定理为一般式为 动系作定轴转动时 牵连切向加速度垂直于动点与转轴的连线 大小为该连线与动系转动的角加速度的乘积 动系作定轴转动时 牵连法向加速度沿动点与转轴的连线指向转轴 大小为该连线与动系转动的角速度平方的乘积 理论力学 中南大学土木工程学院 60 一般情况下科氏加速度aC的计算可以用矢积表示 理论力学 中南大学土木工程学院 61 解 顶杆上A为动点 动系固结于凸轮上 根据速度合成定理作出速度平行四边形 求得 由牵连运动为转动时的加速度合成定理 绝对加速度aa 方向平行AB 理论力学 中南大学土木工程学院 62 科氏加速度 科氏加速度的方向为vr顺w的转向转900的方向 将方程向aC方向投影 得 加速度问题 往往超过三个矢量 一般采用解析 投影 法求解 投影轴的选取依解题简便的要求而定 大多在相对轨迹的法向投影 科氏加速度方位 投影为矢量两边在投影轴上的代数和相等 理论力学 中南大学土木工程学院 63 解 小环M为动点 动系固结在曲杆OBC上绕O轴转动 作出速度平行四边形 如图示 由三角关系求得小环的绝对速度和相对速度分别为 向aC方向投影 有 解得 理论力学 中南大学土木工程学院 64 解 动点为CD上的固定点A 动系固结于OB上 根据速度合成定理va ve vr作出速度平行四边形 如图示 理论力