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文档简介

一 主要内容 二 典型例题 三 综合练习 第3 4章特征值和特征向量 二次型 复习 一 主要内容 1 矩阵的特征值和特征向量 2 求A的特征值与特征向量的方法 1 定义 3 特征值和特征向量的性质 2 相似矩阵与矩阵的对角化 1 相似矩阵概念 2 相似矩阵性质 3 矩阵的对角化 1 实对称矩阵A的性质 A的特征值为实数 2 实对称阵A对角化的方法 求A的特征多项式及所有特征值 对每一特征值 求相应齐次方程组的基础解系 将基础解系正交化 单位化 以所得的正交单位特征向量组构造正交矩阵 3 实对称阵的对角化 其中正是A的全部特征值 A的属于不同特征值的特征向量正交 存在正交矩阵Q 使得 4 二次型的标准形与规范形 1 二次型及其矩阵表示 2 可逆线性替换与矩阵的合同 矩阵的合同 可逆线性替换 3 标准形与规范形 化二次型为标准形 1 正交变换法 2 配方法 3 初等变换法 5 正定二次型和正定矩阵 1 正定二次型和正定矩阵的定义 2 正定二次型的判定 二 典型例题 例1 解 例2设是A的特征值 证明 证 例3 解 1 二次型的矩阵为 其矩阵表达式为 2 矩阵A的特征多项式为 3 二次型的秩为3 正惯性指数为2 4 由二次型f的标准形可知 f是不定的 既不正定 也不负定 解 例5 则原二次型化标准形 所作的可逆线性替换为X CY 其中 例6试问t为何値时 以下二次型为正定二次型 解该二次型的矩阵 当A的顺序主子式 都大于零时 A是正定阵 对应的二次型为正定二次型 例7 设A为正定矩阵 证明 A 1和A 也是正定矩阵 证明 因为A为正定矩阵 故A为实对称矩阵 A的特征值全大于零 易见都是实对称矩阵 并且 A 1的特征值为全大于零 A 的特征值为也全大于零 故A 1和A 都是正定矩阵 三 综合练习 1 平时作业 2 第3 4章综合练习 见公共邮箱 siasxd 密码 xdsias 习题4 A 1 1 3 6 13 17 3 B 1 3 5 7 10 三 综合练习 1 部分作业 2 综合练习 见公共邮箱 siasxd 密码 xds
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