常微分题集一.doc

1. 方程有只含的积分因子的充要条件是。有只含的积分因子的充要条件是2.称为伯努利方程，它有积分因子_3. 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。 , , 4. 形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n1 2、 z=5.指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1） （2） （3）（4） （5） （6）1辨别题（1）一阶，非线性 （2）一阶，非线性 （3）四阶，线性（4）三阶，非线性 （5）二阶，非线性 （6）一阶，非线性1、 当_时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。2、_称为齐次方程。1、2、（1）方程是（ 不 ）.(A)可分离变量方程 （B）线性方程(C)全微分方程 （D）贝努利方程二.解方程1,。解：所给微分方程可写成 即有 上式两边同除以，得 由此可得方程的通解为 即 2.求解方程解：所给方程是关于可解的，两边对求导，有（1） 当时，由所给微分方程得；（2） 当时，得。因此，所给微分方程的通解为 ， （为参数）而是奇解。、求下列方程的通解。3、。解：方程可化为令，得由一阶线性方程的求解公式，得所以原方程为：4.（xy+解：因为又因为所以方程有积分因子：u(x)= 方程两边同乘以得：也即方程的解为5、解：令，则即从而又故原方程的通解为t为参数6. x=+y解：将方程改写为=+ （*） 令u=,得到 =x+u,则(*)变为x=, 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln+lnC, 故方程的解为arcsin=lnCx。7.tanydx-cotxdy=0解：变量分离 cotxdy=tanydx, 两边积分得 ln(siny)=-ln+C或sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0或ctgx=0得 y=k(k=0、1) ，x=t+(t=0、1)也是方程的解。 tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。8. 方程化为 令，则，代入上式，得 分量变量，积分，通解为 原方程通解为 9. 解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 +10.解 因为，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通积分为 即 11. 解 令，则，代入原方程，得 ， 当时，分离变量，再积分，得 ，即通积分为： 12. 解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 + 13.2xylnydx+dy=0 解：=2xlny+2x , =2x,则 =,故方程有积分因子=，原方程两边同乘以得dx+dy=0是恰当方程. d(lny)+ydy=0,两边积分得方程的解为lny+=C。14. =6-x 解：1）y=0是方程的特解。2）当y0时，令z=得=z+x. 这是线性方程，解得它的通解为z=代回原来的变量y得方程解为=；y=0.15. =2 解：令x=u+3, y=v2, 可将原方程变为=，再令z=，得到z+=，即=，分离变量并两端积分得=+lnC即ln+2arctgz=+lnC，ln=2arctgz+lnC 代回原变量得v=C所以，原方程的解为y+2=C.16.求方程解：这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.17求方程的通解。解：积分：故通解为：18解 ： 方程化为 令，则，代入上式，得 分量变量，积分，通解为 原方程通解为 19 . 解 ：因为，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通积分为 即 20.解 当时，分离变量得 等式两端积分得 方程的通积分为 21. 解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 + 22.解 积分因子为 原方程的通积分为 即 23.解 由于，所以原方程是全微分方程 取，原方程的通积分为 即 24. （1）解 当时，分离变量得 等式两端积分得 即通解为 25. 解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 原方程的通解为 + 26. 解：，则所以另外也是方程的解27.1、 解：为一阶线性方程 代入公式，得方程的通解为28.解： 为一阶线性方程 代入公式，得=所以方程的通解为29 解： 两边同时乘以，方程为恰当方程 所以方程的通解为30、解：令 则原方程消去后，有 由此，得 所以故原方程的通解为31.解：令，得到两边对求导，得当时 则当时 即 积分，得 把代入，得 32 .、解：这是时的伯努利方程。令得 代入原方程得到 这是线性方程，求得它的通解为代回原来的变量，得到 这就是原方程的通解此外，方程