第6章(弯曲应力).ppt

材料力学 MechanicsofMaterials 中南大学土木建筑学院力学系 DepartmentofMechanicsofSchoolofCivilEngineeringandArchitectureofCentralSouthUniversity 第六章弯曲应力 6 1概述 横力弯曲 纯弯曲 梁横截面上既有正应力又有切应力 梁横截面上只有正应力无切应力 常数 6 2弯曲正应力 在梁的纵向对称面内作用一对等值反向的力偶 梁处于纯弯曲状态 一 纯弯曲时的正应力 1 变形几何关系 实验现象 1 纵向线由直线变成曲线 且ab伸长 cd缩短 2 横向线仍为直线 且仍垂直于变形后的轴线 但相对其原方位有微小的偏转 平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍为平面 且仍垂直于变形后的轴线 绕截面的某一轴旋转一个小角度 中性层 在弯曲变形时梁中既不伸长也不缩短的一层纤维 中性轴 中性层与横截面的交线 由于载荷作用于对称纵截面内 故中性轴z与横截面对称轴y垂直 距中性层y处纤维ab变形前长度 纤维纵向线应变为 距中性层y处纤维ab变形后长度 变形规律 设中性层的曲率半径为 变形规律 2 物理关系 公式中曲率半径 未知 与内力 材料 截面有关 时 横截面上正应力分布规律图 中性轴z必过截面形心 同时中性轴z与截面纵向对称轴y垂直 故中性轴位置可确定 y z轴之交点为形心 x轴即为轴线 3 静力关系 1 y z轴为截面的形心主惯性轴 2 抗弯刚度 截面抵抗弯曲变形的能力 3 纯弯曲时正应力计算公式 横截面上的弯矩 横截面对于中性轴的惯性矩 所求应力的点距中性轴的垂直距离 上述公式适用于任何截面形式的梁发生平面弯曲的情形 梁弯曲变形凸出一侧为拉应力凹入一侧为压应力 二 横力弯曲时的正应力 弯曲平面假设不成立 应用时肯定有误差 但误差在允许范围内 横力弯曲时正应力计算公式 三 最大弯曲正应力 同一横截面上距离中性轴最远处正应力最大 矩形截面 实心圆截面 空心圆截面 抗弯截面系数 例 图所示悬臂梁 承受的集中力偶M 20kN m作用 梁采用No 18工字钢 钢的弹性模量E 200GPa 计算梁内的最大弯曲正应力与梁轴的曲率半径 解 截面的弯矩 查型钢表 梁内的最大弯曲正应力 梁轴的曲率半径 例 宽度b 6mm 2mm厚度的钢带环绕在直径D 1400mm的带轮上 已知钢带的弹性模量为E 200GPa 试求钢带内的最大弯曲正应力与钢带承受的弯矩 解 钢带的应力状态同弯曲 其轴线的曲率半径 横截面离中性轴最远距离 6 3弯曲切应力 一 矩形截面梁的弯曲切应力 假设 1 横截面上各点切应力方向平行于剪力 2 切应力沿截面宽度均匀分布 左右两个面上由正应力引起的轴力 顶面有切向力 由切应力互等定理 矩形截面 切应力沿截面高度抛物线分布 最外缘处切应力等于零 中性轴处切应力最大 二 工字形截面梁的弯曲切应力 1 腹板的切应力 最大切应力在中性轴上 腹板内切应力沿高度抛物线分布 最小切应力在腹板与翼缘的交界处 2 翼缘的切应力 翼缘部分切应力复杂且很小 一般不作计算 认为翼缘承受截面弯矩 腹板厚度d远小于翼缘宽度b时 可认为腹板上的切应力均匀分布 腹板的面积 三 圆形截面梁的弯曲切应力 截面上各点的切应力方向与剪力方向平行的假设不成立 在中性轴上 切应力方向与剪力平行 且均匀分布 并达切应力最大值 此时 薄壁圆环形截面 6 4薄壁梁的弯曲切应力流 弯曲中心 一 切应力流 薄壁截面梁 壁厚远小于横截面的其他两个尺寸 1 薄壁截面上切应力方向必平行于截面周边的切线方向 并形成切应力流 2 切应力沿壁厚方向可视为均匀分布 横截面与y轴相交的各点处切应力为零 而y轴两侧各点处的切应力对称 最大切应力仍然发生在中性轴上 二 弯曲中心 对于薄壁截面梁 由于切应力方向必须平行于截面周边的切线方向 所以截面上与切应力对应的分布内力系向截面内不同点简化 会得到不同的简化结果 如果此力系向某一特定点A简化 其结果是主矢不为零而主矩为零 则A点称为弯曲中心 开口薄壁槽形截面梁 腹板上的切应力 翼缘上的切应力 线性分布 抛物线分布 即弯曲剪力 有截面法求出 扭转变形 向A点简化 向C点简化 当外力通过弯曲中心时 外力和横截面上的剪力在同一纵向平面内 开口薄壁梁只有弯曲变形 若外力不通过弯曲中心时 把外力向弯曲中心简化 将得到一个通过弯曲中心的力和一个扭转力偶矩 通过弯曲中心的力仍引起弯曲变形 而扭转力偶矩将引起扭转变形 开口薄壁截面梁的抗扭刚度较小 若横向力不通过弯曲中心 将引起比较严重的扭转变形 不但要产生扭转切应力 有时还将因约束扭转而产生附加正应力 应尽可能避免这种情况 所以 确定开口薄壁截面的弯曲中心是有其实际意义的 例 图所示矩形截面悬臂梁承受均布载荷q作用 比较梁的最大正应力与最大切应力 解 梁的最大剪力 最大弯矩为 6 5梁的弯曲强度条件 一 弯曲正应力强度条件 确定危险截面 充分考虑弯矩 截面尺寸 材料 当材料抗拉 抗压性能不同 脆性材料 时 应分别进行抗拉 抗压的强度计算 对于等直梁 当中性轴为亦截面对称轴时 危险截面在 当中性轴不为截面对称轴时 危险截面在 处 处 两个截面 根据梁的强度条件可讨论三类强度问题 例 图示圆截面轴AD 中段BC承受均布载荷q 10kN m作用 材料许用应力 140MPa 试确定轴径 解 确定支座约束力 作弯矩图 确定轴径 AB CD段最大弯矩 确定AB CD段轴径 确定BC段轴径 BC段最大弯矩 例 T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图示 铸铁的抗拉许用应力为 t 30MPa 抗压许用应力为 c 160MPa 试校核梁的强度 解 求支座约束力 作弯矩图 解得 截面性质 形心位置 截面对中性轴的惯性矩 强度校核 最大拉应力校核 B截面和C截面可能是最大拉应力发生位置 C截面 B截面 C截面应力分布图 B截面应力分布图 最大压应力校核 最大压应力在B截面 B截面 所以此梁的强度满足要求 B截面应力分布图 例 单梁吊车跨度l 10 5m 由No 45a工字钢制成 材料的 140MPa 试计算能否起吊F 85kN的重物 若不能 则在上下翼缘各焊接一块100 100的钢板 钢板长a 7m 再校核其强度 求加固钢板的经济安全长度 解 校核未加固梁的强度 当小车位于梁的中点时 在梁的中点位置处弯矩最大 查型钢表 所以此梁不能起吊F 85kN的重物 校核加固梁的强度 加固处截面强度校核 当小车位于梁的中点时 在梁的中点位置处弯矩最大 未加固处截面强度校核 设加固钢板长度为a 当小车作用在梁中点位置处 未加固截面的最大弯矩 当小车作用在加固钢板边缘处 未加固截面的最大弯矩 所以未加固截面的最大弯矩 未加固截面 所以加固以后该梁是安全的 计算加固钢板的经济安全长度 设加固钢板为x 二 弯曲切应力强度条件 一般情况梁的强度主要由正应力控制 切应力一般会满足要求 以下情况必须复核切应力强度 1 梁的最大弯矩较小 而最大剪力却很大时 粗短梁 支座附近有很大集中力作用 3 各向异性材料 木梁顺纹 组合截面梁胶粘层抗剪强度计算 2 在焊接或铆接的组合截面钢梁中 横截面腹板部分的宽度与梁高之比小于型钢截面的相应比值 例 图示起重机梁用工字钢制成 已知荷载F 20kN 并可沿梁轴移动 梁的跨度l 6m 许用正应力 100MPa 许用切应力 60MPa 试选择工字钢型号 解 按梁弯曲正应力强度条件初步选择工字钢型号 当小车位于梁的中点时 在梁的中点位置处弯矩最大 查型钢表选择No 22a工字钢 查型钢表选择No 22a工字钢 按梁弯曲切应力强度条件复核初步选择的工字钢型号 当小车位于支座位置时 在此位置剪力最大 所以选择工字钢满足弯曲正应力和弯曲切应力强度条件 例 图示左端嵌固 右端用螺栓联结的悬臂梁 在自由端作用一集中力F 不考虑上下层梁的摩擦 试分析螺栓的受力 解 螺栓联结后 两根梁看成一个整体 高2a 宽b 在F作用下整体弯曲 两根梁的接触面相当于整个梁的中性层 各横截面中性轴处切应力 中性层面上切应力 中性层面上的剪力 实际中性层间的剪力完全由螺栓承受 所以螺栓受剪力 中性层面上切应力 6 6梁的合理强度设计 一 梁的合理截面形状 1 合理的截面形状应该是截面面积较小 抗弯截面系数较大 定量分析 矩形 矩形比方形合理 方形比圆合理 方形 圆 假设矩形 方形和圆的面积相同 即 定性分析 Wz与截面面积对于中性轴的分布有关 材料分布越远离中性轴 截面的Wz越大 可认为梁横截面正应力沿高度线性分布 中性轴附近正应力值很小 该处的材料未发挥作用 可以将材料移置距中性轴较远处 使之充分利用 2 考虑材料的特性来选择截面的合理形状 抗拉和抗压强度相等的材料 宜采用中性轴为对称轴的截面 如矩形 工字形 圆形等 抗拉和抗压强度不相等的材料 宜采用中性轴偏向一侧 许用应力较小的一侧 的截面 使y1和y2之比接近于下列关系 例 图示梯形截面承受正弯矩作用 已知材料的许用拉应力 t 45MPa 许用压应力 c 80MPa 为使梁重量最轻 试确定截面的顶边宽度a与底边宽度b的最佳