第04章概率随机变量.doc

第4章 概率随机试验：对随机现象的客观观测。随机试验具有（1）可重复性；（2）可观测性；（3）随机性。样本空间：随机试验的所有结果的集合称作样本空间。概率的统计定义：在不变的一组条件下，重复进行n次试验。当n充分大时，若事件A发生的频率稳定地在某个常数p附近摆动，且一般来说，n越大，摆动幅度越小，则称常数p为事件A的概率，记为P(A) = p。（如，投硬币，求正面朝上的概率。）模拟投硬币1000次，正面朝上次数占总次数比率随时间变化的序列图概率的古典定义：若A1, A2, , An构成一个等可能完备事件组，而事件B是由其中m个基本事件构成，则事件B的概率用下式表示。 P(B) = m / n（投色子中求某个点的概率。）客观概率：由可重复试验定义的概率为客观概率。（如投硬币时，正面朝上的概率，某次火车晚点的概率，某校学生每年通过英语4级的概率，某段公路上车辆发生交通事故的概率等。）概率的统计定义和古典定义都指的是客观概率。主观概率：是对概率的主观解释。常用于不可重复试验的事件。（某学生来年能考上大学的概率，某市某天下雨的概率。）相互独立：若两个事件积的概率等于这两个事件概率的积，即 P(A B) = P(A) P(B)则称事件A，B相互独立。（例A、B表示两粒麦种各自发芽的概率。显然A、B相互独立，且相容。）互不相容：若事件A，B不能同时发生则称事件A，B为互不相容事件。（投色子中“1点”和“2点”是互不相容事件。但“1点” 和“奇数点”是相容事件。）注意：“相互独立” 和“互不相容”是两个不同的概念，不要混淆。互不相容事件一般不是相互独立事件。因为对于两个相互独立事件A，B，有P(A) 0，P(B) 0。则P(A B) = P(A) P(B) 0。当A，B为互不相容事件时，必有P(A B) = 0，不能满足相互独立的条件。见61页例1。条件概率：在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率称作事件B在给定事件A下的条件概率。表示为P(B|A)。利用概率的古典定义求概率时，完备事件组内的基本事件必须是等概的。下面介绍一种基本事件不一定是等概的求概率问题。贝努里试验过程若一个随机试验只含有两种相互对立的可能结果，则称作贝努里（Bernoulli）试验。如一个篮球运动员投篮命中率为0.7，非命中率为0.3，投篮一次，结果可能是“投中”也可能是“未投中”。这就是一次贝努里试验。观察一个灯泡使用寿命低于还是高于100小时也是一次贝努里试验。实际中，常常不是只考察一次贝努里试验，而是连续考察多次。把这样的序列称作贝努里试验序列。贝努里试验过程：在n次贝努里试验中，假设每次试验结果与其他各次试验结果无关，且每次试验中该试验结果出现的概率都是p,（0 p 1），则称这样的过程为n重贝努里试验过程。例1：一批小麦种子的发芽率为0.95，取10粒种子做发芽试验。求结果有8粒种子发芽的概率。解：每粒种子种下后是否发芽都是一次贝努里试验。若取10粒种子做发芽试验，则每粒种子是否发芽是相互独立的。10粒种子中有8粒发芽的可能结果的概率是P(A1, A2, , A10) = P(A1) P(A2) P(A10) = 0.958 0.052 = 0.00165855。10粒种子中有8粒发芽的可能结果共有种。因为种结果相互独立，所以10粒种子中有8粒发芽的概率是P(8) = 0.00165855 = 0.07463第5章 随机变量及其数字特征 在上一章，介绍的事件概率都是对某一事件而言。人们自然想到，对整个样本空间内各个事件的概率取值又如何呢？这就是随机变量的概率分布问题。随机变量及其分布的研究是以事件及其概率的研究为基础展开的。它是统计推断的理论基础。随机变量就是随机试验中被测量的量。随机试验每出现一个基本事件，随机变量就相应取一个实数值。从数学意义上讲，随机变量就是定义在样本空间上的函数。随机变量取各种可能值的概率称作随机变量的概率分布。随机变量定义（1）：按一定的概率取不同实数值的变量称为随机变量，用x, y等表示。随机变量定义（2）：样本空间内每一个可能结果w都唯一地对应着一个实数x(w)，则称实数值变量x(w)为随机变量。常用x, y等表示。如（1）天津站每日的客流人数。（2）某商场日销售电视机台数。（3）某储蓄所的日存款余额。（4）某地区居民的日用水量。（5）高速公路上单位时间内通过的机动车数量。（6）流水线上生产的罐装啤酒的净重值。若随机变量x可能取的值为有限个或可列个，则称x为离散型随机变量。若随机变量x可能取的值是整个数轴，或数轴上的某个区间，则称x为连续型随机变量。连续型随机变量的概率分布是通过随机变量在一切可能区域内取值的概率定义的。最常用和最简便的形式是通过概率密度函数表示。对于随机变量x，若存在非负可积函数f (x)，（- x ），使对任意实数a, b, (a 0.5时，为左偏分布；p 0，则称x服从正态分布。记作x N(m, s2 )。m, s分别是x的数学期望和标准差。可以证明E(x) = x f (x) dx =xexp(-) dx = mVar (x) = (x - m)2 f (x) dx = (x - m)2exp(-) dx = s 2= s三种不同参数的正态分布曲线见图1。概率密度函数f (x)呈钟形。最大值点在x = m 处。曲线以x = m 对称。在x = m s 处密度函数曲线有拐点。当x 时，f (x) 以x轴为渐近线。当s 较大时，f (x) 曲线较平缓；当s 较小时，f (x) 曲线较陡峭。已知m 和 s的值，就可以完全确定正态分布密度函数。对某产品的物理量测量常服从于正态分布。标准正态分布定义：对于正态分布密度函数f (x)，当m = 0，s = 1时，即f0 (x) =exp(-)称连续型随机变量x服从标准正态分布。记作x N(0, 1 )。对于标准正态分布E(x) = 0，Var(x) = =1。标准正态分布曲线见图2。标准正态分布密度函数f0(x)有如下性质：（1） f0(x) 以纵轴对称；（2）x = 0 时，f0(x) 的极大值是 1/= 0.3989；（3）f0(x) 在x = 1处有两个拐点；（4）f0 (x) = 0。N(0,1)N(3,1.5)N(2,1)N(1,0.5) 图1 正态分布曲线 图2 标准正态分布曲线正态分布随机变量的标准化。若x N(m, s 2 )，a, b为任意实数，且a b，则Pa x b = exp(-) dx 设Z = (x -m) / s，则（参见微积分中换元积分法）Pa x b = P Z =exp(-) dZ显然Z是一个服从标准正态分布的随机变量。当x N(m, s 2 )时，则Z = N(0, 1 )可见对一般正态分布随机变量x做变换Z = (x -m) / s，则可以把x转化为服从标准正态分布的随机变量Z。对一般正态分布随机变量x计算概率非常不方便。通过标准化变换，利用标准正态分布累计概率表，则很容易计算出x取任意两个值之间的概率。 正态分布的线性性质： 若xi N (mi , si2), (i = 1, 2, , n), 且相互独立，则 N (, ) 若xi N (mi , si2), (i = 1, 2, , n ) 且相互独立，ai 0为常数，则 ai xi N (ai mi , ai 2 si2 )连续型随机变量的累计概率分布：用积分法计算连续型随机变量的累计概率。连续型随机变量的累计概率分布函数用F(x) 表示。定义为 F(x) = P(x xi), (- xi )曲线从0变化到1（76页）。图3 正态累计概率分布练习查正态分布表。例：PZ 30，t分布就很近似于标准正态分布。t分布的均值和方差分别为E(t(n) ) = 0Var(t(n) ) = n / (n -2), n 2N(0,1)t(5)c2(5)c2(3)c2(2) 图4 t分布密度曲线 图5 c2分布密度曲线注意：（1）当n 2时，方差无定义。（2）当n 时，Var(t(n) ) = 1，与标准正态分布的方差相同。t分布的百分位数可以通过t分布表（附录2）查到。练习查t分布表 (p.427)。t0.95(30) = 1.70 6.2.3 c2分布如果随机变量x有如下密度函数，f (x) = a n, x 0 0, x 0其中常量a n只与n有关（而与x关）n = 1, 2, , 则称连续型随机变量x服从自由度为n的c2分布。c2（读作“开方”，c 是希腊字母）分布是连续型的概率分布，并具有一个参数n。n是c2分布的自由度。n可以取所有正整数，从而构成一个c2分布族。n的不同值对应着c2分布族中不同的具体的c2分布曲线。服从自由度为n的c2分布的随机变量用c2 (n) 表示。c2 (n) 的取值范围是（0, ）。c2 (2) , c2 (3) , c2 (5) 的分布密度曲线见图5。c2分布密度曲线是单峰的，右偏倚的。随着自由度n的加大，偏倚程度变小。当n 增大时，c2分布的形状趋近于正态分布。可以证明（略），c2分布的均值和方差分别为E(c2 (n) ) = nVar(c2 (n) ) = 2 n, n 2由上两式知，当n 增大时，c2分布的均值和方差也分别增大。注意：c2分布的百分位数可以在c2分布表（附表3）中查到。 练习查c2分布表 (p.426)。例：已知 Pc2 c2a（10） = 0.05，求c2a。c20.95（10） = 18.31例：Pc2 c2a（18） = 0.01，求c2a。 c20.99（18） = 34.81例：Pc2 c2a（18） = 0.95，求c2a。c20.05（18） = 9.39 6.2.4 F分布如果随机变量x有如下密度函数，f (x) = b(n1, n2) , x 0 0, x 0其中常量 b(n1, n2) 只与n1和n2有关（而与x无关）n = 1, 2, , 则称连续型随机变量x服从第1自由度为n1，第2自由度为n2的F分布。F(100,100)F(10,10)F(2,8)图6 F分布密度曲线F分布是连续型的概率分布，并具有两个参数n1和n2 。n1和n2是F分布的两个自由度。n1称作第1自由度（或分子自由度），n2称作第2自由度（或分母自由度）。n1和n2可以取所有正整数，从而构成一个F分布族。每个（n1, n2）对应着F分布族中一个不同的具体的分布曲线。服从自由度为n1和n2的F分布的随机变量用F(n1, n2) 表示。F(n1, n2) 的取值范围是（0, ）。服从F分布的密度曲线见图6。F分布密度曲线是单峰的，右偏倚的。随着自由度n1和n2的加大，F分布的众数趋近于1。F分布的分布密度曲线随二个自由度的不同而不同。F分布表给出了左侧概率 a = 0.9，a = 0.95时，对应Fa（临界值）的值，即P（F 2注意：（1）当n2 2时，均值无定义。（2）当n2增大时，E(F(n1, n2) 趋近于1。F分布的方差为 Var(F(n1, n2) = , n2 4注意：（1）当n2 4时，方差无定义。（2）当n1, n2增大时，Var(F(n1, n2) 趋近于零。因为F分布有两个自由度，所以F分布是以不同的百分位数分别编表的。附表c-4给出F分布第95，99百分位数表（相对于a = 0.95 和a = 0.99）。 已知F分布第95，99百分位数，可利用下式求其第5，1百分位数。F1-a (n1, n2) = 1 / (Fa (n2, n1)注意：在上式的分母中n1, n2对调了位置。 练习查F分布表 (p.428)。例：已知 P（F F0.95（4，6）= 0.95，求F0.95（4，6）= ?。查F分布表，F0.95（4，6）= 4.5例：P ( F F0.05（6.4）) = 0.05 时，求 F 0.05（6.4）) = ?。 F0.05 (6，4) = = = 0.22例：已知 P（F F0.99（8，25）= 0.99，求F0.99（8，25）= ?。查F分布表 (p.430)，F0.99（8，25）= 3.32注意：t分布、c2分布、F分布是统计推断中常用到的三个统计量。6.3 随机变量Z、t、c2与F的关系1Z 2 = F(1, )2t( n) 2 = F(1, n)3. c2( n) / n = F(n, )第7章 中心极限定理第4章介绍过随机事件发生的频率具有稳定性，例如投硬币。在实践中人们还认识到大量观测值的算术平均数也具有稳定性。无论个别随机现象的结果如何，大量随机现象的平均结果实际上与每一个个别随机现象的特征无关。这种平均结果几乎不再是随机的了。7.1 大数定律设随机变量x1, x2, , xn 相互独立，服从同一分布，且分别具有相同的期望和方差（有限值），E(xi) = m, Var(xi) = s 2 (i = 1, 2, , n)，则对于任意正数e 有 |- m | e = 1 (7.1)其中=。|- m| e 是一个随机事件。定律表明当n 时，这个事件的概率趋近于1。随着n的增加，依概率收敛于m。7.2 中心极限定理设随机变量x1, x2, , xn相互独立，服从同一分布，且有相同的期望与方差（有限值），E(xi) = m, Var (xi) = s 2，( i = 1, 2, , n)，则对于一切实数 a b 有 a 12 = P = 1 - P(Z 2) = 1 - 0.9773 = 0.0227例2 某一部件包括10部分，每部分的长度X是一个随机变量，它们相互独立，服从同一分布E(X)