第六章 二次型.doc

二次型一、内容提要1二次型.（1）定义，二次齐次多项式，称为二次型，其中.若记 . 则有：.，一一对应.所以，称的称为二次型的矩阵. 称的称为二次型的秩.（2）标准形，二次型经合同交换，化为：.称为的标准形，注：不唯一，可逆.（3）规范形，二次型经合同交换化为称为的规范形.其中为矩阵的秩，为正惯性指数，为负惯性指数.规范形唯一，惯性定理.2.合同矩阵，阶实对称若存在可逆，使得，则称合同.合同于3.正交矩阵：实矩阵满足时, 称为正交矩阵(1) 是正交矩阵(2) 是正交矩阵(3) 是正交矩阵, 即的列向量组是两两正交的单位向量 (4) 是正交矩阵, 即的行向量组是两两正交的单位向量 (5)存在正交矩阵, 使得4.化标准形方法.(1)正交交换法1.2.重根，线性无关.正交化，.单根3单位化：.4正交矩阵，有.作正交交换，化二次型为标准形：.(2)配方法.5.正定二次型.(1)定义，称正定，正定矩阵.，称负定，负定矩阵.(2)判定，正定正定 的所有顺序主子式0. 的正惯性指数. 可逆，使，即与合同.二、重点内容1化二次形为标准形.2正定二次形.三、典型例题1化二次型为标准形.（1）正交交换法.例1. 已知通过正交变换可化为标准形 ,求参数及所用正交变换矩阵T. 解： 的特征值.，又. .；.单位化正交矩阵.作，使.例2.已知的秩为2. (1)求及二次型矩阵的特征值；(2)指出表示何种二次曲面.解：（1）.， .（2）二次型的标准形为.表示椭圆柱面.例3.设为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程为双叶双曲面，则的正特征值个数（ ）0.1.2.3. 答： B 例4.二次型的秩为 2 .解1：因为于是二次型的矩阵为 ,由初等变换得 ,从而 , 即二次型的秩为2. 解2：因为, 其中 .所以二次型的秩为2.例5.设二次型求的矩阵的所有特征值； 若二次型的规范形为 求的值。解：的矩阵的所有特征值为； 若二次型的规范形为 则必有两个正特征值和一个零特征值，所以例6.已知二次型的秩为2.（I） 求a的值；（II） 求正交变换，把化成标准形；（III） 求方程=0的解.解： （I） 二次型对应矩阵为 ，由二次型的秩为2，知 ，得a=0.（II） 这里， 可求出其特征值为.解方程 ，得特征向量为：，解方程 ，得特征向量为：由于已经正交，直接将，单位化，得：令，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形：=（III） 由=0，得（k为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=，其中c为任意常数.例7. 设，则二次型的方阵为 . 解：记.则 是括号里的.记 ，为矩阵.则，. .二次型的方阵为.例8.设则在实数域上与合同矩阵为（ ）. . 解：则。记，则则正、负惯性指数相同，故选2正交二次型与正定矩阵.（1）正定正定. 的所有顺序子式0. 的正惯性指数. 可逆，使，即与合同.（2）定义，则正定，正定.例9. 问为何值时，为正定二次型. 解：.正定正定. .时，正定.例10.设为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为矩阵.(I) 计算，其中；（II）利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.解： (I) 因 ，有 = = =.（II）矩阵是正定矩阵.由(I)的结果可知，矩阵D合同于矩阵又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵.因矩阵M为对称矩阵，故为对称矩阵. 对及任意的，有 故为正定矩阵.例11设是阶正定矩