数学人教版五年级下册课外自主学习补充资源

ShuxuenenglipeiYang数学能力培养 课前谈话 教师出示一个俄罗斯套 娃 师 这是俄罗斯套娃 现在 你们看到几个娃娃 猜一猜里 边还会套着几个娃娃 生 5 个 生 6 个 师 教师逐个取出套娃 越往里面 套娃的体积会有什 么变化 取到第五个时追问 还有一层吗 如果有 它会有多 大 生 越往里面套娃的体积 越小 最里面的那个差不多粉 笔头那么大 师 观察一下这些套娃 从 外到里 有什么变化 生 套娃变得越来越小 教学流程 一 解决一组有联系的问 题 师 课件出示 5 5 5 立 方体 如果把这个套娃变成立 方体 看 有多少个小立方体 生 5 5 5 125 个 师 这里的 5 表示什么意 思 生 棱长含有 5 个小立方 体 师 是的 棱长为 5 1 出示活动要求 1 想一想 这个立方体从 外到里有几层 2 算一算 每层分别有多 少个小立方体 师 要求清楚了吗 好 请 每个同学都先独立算一算 再 到组内交流 看看你们的想法 一致吗 2 集体交流问题 从外到里 有几层 生 我们认为有 3 层 往里 面一层 这条棱长会少了两个 小立方体 也就是 2 学生指着 长 位置的棱长 这条也会少 2 宽 位置的棱长 这条也是 高 位置的棱长 所以每往 里一层棱长会少 2 生 我想补充一下 我们也 发现每往里一层棱长就会少 2 5 3 1 所以这个立方体 应该分 3 层 师 这两位同学的发言 大 家听得明白吗 大部分学生点 头 我们再做个解剖实验 来验 证刚才同学的想法是否正确 立方体逐个层面剥离 先剥离 上层面 并追问 能想象出来里 面是立方体了吗 再剥离正面与 右层面 现在能推测出来了吗 师 观察图形 为什么每往 里一层棱长会减少 2 生 我发现上下两层各少 了 1 左右两层也各少了 1 前 后也一样 生 老师 也就是长 宽 高 各少了 2 结合学生的回答 演示上 下层剥离 左右层剥离以及前 后层剥离 师 老师还发现有位同学 在立方体的一个面上画了一些 痕迹 一边说一边请该生到展 台展示作品 你能说说是怎么 思考的吗 生 其实要想知道立方体 有几层 只需要看立方体的一 吴恢銮 10 ShuxuenenglipeiYang数学能力培养 个面就可以了 以前我们研究 过正方形的染色问题 每往里 一层边就会少了 2 立方体也是 这个道理 师 把立体图形转化为平 面图形来解决 这是很棒的思 路 课件出示 师 受他的启发 老师觉得 还可以进一步转化成一条线段 来思考 边课件演示边说 任 意观察正方形的一边 每往里 一圈 边长有什么变化 说明 立方体染色与正 方形染色的问题结构与解题 的思维方式同工异曲 只是立 方体染色需要学生更强的空 间想象能力 不像二维的正方 形染色 可以让学生去涂一 涂 画一画再解决 而三维的 立方体染色问题只能在大脑 里想象与推理 难以通过画图 来降低想象的阻隔 沟通这两 者之间的联系 可以帮助学生 找到解决立方体染色问题的 思维方式的支点 那就是正方 形染色 从而降低难度 同时 又把知识串联在一起 生成智 慧 3 集体交流问题 每层有几 个小立方体 师 怎么计算每层小立方 体的个数 生 最外层 53 33 98 个 第二层 33 13 26 个 第三层 13 1 个 师 能解释一下你的算式 吗 生 用 5伊5伊5 的实心立方 体的总个数减去第二层 3伊3伊3 实心立方体的总个数就是包围 在外的这一层立方体的个数 生 老师 我有不同的方 法 我先算小立方体总面数 5 5 6 150 个面 而每个小 立方体的面只能算一次 八个 顶点的面重复了 所以还要减 去 2 8 16 个 面 也 就 是 150 16 134 个 但为什么我的 答案和他的不一样呢 生 还要减去每条棱上涂 两个面的 3 12 36 150 16 36 98 个 生 这样是可以的 但太麻 烦了 还是前一位同学的方法 好 师 第一种方法只要想清 楚相套的两个实心立方体是怎 样的 用体积相减就可以了 第 二种方法想到面与体的对应 也是不错的想法 要注意多面 一体的问题 说明 无论是想像立体图 形本身的结构 还是建立体 面 之间的对应 都是空间的观念 的重要内容 在学生思考的基 础上 通过多媒体技术来展示 和验证 形象 表象 想 象循环作用 发展学生的空间 观念 4 拓展 师 出示 7 7 7 的立 方体 这是棱长为 7 的立方体 推测一下 共有几层 每一层的 情况如何 学生口答 出示 9 9 9 立方体 逐 步呈现问题 如果在这个立方体的表 面先涂蓝色 然后去掉所有涂 有蓝色的小立方体 在所得的新立方体表面 涂红色 再去掉所有涂有红色 的小立方体 在所得的新立方 体表面再涂蓝色 如此不断重复 直到所有 的小立方体都涂上颜色为止 师 谁来说一说现在你获 得了哪些信息 有看不懂的地 方吗 教师强调 如此不断重 复 直到所有的小立方体都涂 上颜色为止 这句话是什么意 思 是按照怎样的规律去涂每 层的颜色的 师 你猜问题可能是什么 生 有多少小立方体涂了 蓝色 有多少小立方体涂了红 色 师 如果我们知道了蓝色 的小立方体个数 红色可以 用 生 全部 蓝色 师 那好 我们就来回答他 说的第一个问题 有多少个小 立方体涂了蓝色 1 集体交流 生 从外到里共有 5 层 每 层棱长分别为 9 7 5 3 1 然后 我算出每层小立方体的个数 最外层 93 73 386 第二层 73 53 218 第三层 53 33 98 第四层 33 13 26 第五层 13 1 所以 涂有蓝色的小立方体 有 386 98 1 485 个 生 不用求出每层 只要求 出奇数层的就可以了 师 偶数层是 生 红色的 2 尝试概括 师 若有一个立方体 棱长 是 n n 2 那么最外层有多少 11 本专栏由浙江省新思维 教育科学研究院协办 更多信 息请登录 查询 ShuxuenenglipeiYang数学能力培养 个小立方体 生 n3 n 2 3 3 回顾梳理 师 让我们回头看看刚才 是怎么解决这个问题的 要想 算出涂有蓝色立方体的个数 首先要 想象出大立方体从 外到内共有几层 然后 计 算出每层小立方体的个数 最 后计算出涂有蓝色小立方体 的总数 说明 由于题目的语言 叙述比较复杂 学生理解起来 有一定的难度 采用逐步呈现 的方式 但坚持让学生独立审 题 独立尝试 锻炼学生独立 解决问题的能力 在交流阶 段 通过课件演示 思路梳理 把解决问题的方法落实到每 个学生 二 变式与挑战 1 呈现问题 一个长方体由 10 6 4 个同样大小的小立方体组成 在表面先涂蓝色 然后去掉所 有涂有蓝色的小立方体 在所 得 的 新 长 方 体 表 面 涂 红 色 如此不断重复 1 这个长方体由外到内 共有几层 2 第 2 层长 宽 高是多 少 3 涂有蓝色的小立方体 共有多少个 师 你能独立解决这个问 题吗 不展开解题活动 2 停顿后 继续出示问题 追问 1 如果这个长方体 是 10 7 5 形状的 会有几 层 最里面的一层长 宽 高分 别是多少 追问 2 如果这个长方体 是a b c a b c 2 形状的 想一想 它的最外面一层有多 少个小立方体 请同学们独立完成练习纸 第 2 题 到时我们来看看谁 的解法最棒 说明 从立方体染色问 题变式到长方体染色问题 既 可以检查学生前面内容的掌 握情况 又能锻炼他们的迁移 能力 同时渗透代数思想 建 立长方体染色问题的数学模 型 实现学习内容的进一步抽 象与概括 三 全课总结 师 今天我们研究了什么 问题 我们是怎么研究的 你 还有什么问题 编辑点评 立方体涂色问题涉及到 课 程 标 准 中 众 多 的 核 心 词 空间观念 模型思想 推理能力 问题解决等等 从 这个角度看 这样的教学内容 是有价值的 这是学生经历有 意义的学习过程的前提条件 在本课涉及到的众多核心词 中 空间观念是由教学内容本 身所决定的 在教学中的体现 也是显而易见的 在数学中 推理能力虽然重要 但不是这 个内容与教学最有特色的 因 而略去不说 这里重点说说模 型思想与问题解决 因为这与 吴老师创造性的教学设计密 切相关 第一是模型思想 面对一个 5 5 5 的立 方体 如何研究它有几层 每 层有多少个 在没有一层层地 打开来看之前 学生依赖的方 法主要是两个 一是空间想 象 二是图形特征 从教学的 过程来看 学生的思考超出了 我们的想象 许多同学能把这 个问题的研究与平面中正方 形染色问题联系起来 甚至进 一步从抽象的一维的线段图 上来分析 这种分析与研究问 题的方法是数学方法的精华 是数学模型思想的重要体现 第二是问题解决 在这节课中 学生经历的 基本学习过程是 先研究 5 5 5 的立方体 通过观察分 析 交流各自的思考方法 再 通过计算的手段把方法加以 优化 为概括数学模型建立基 础 然后 把发现的方法运用 于相似性的问题解决之中 进 一步检验模型推广方法 最后 得到一个一般性的数学结论 把这个学习过程作进一步的 概括 可以描述为 提出问 题 独 立 研 究 交 流 方 法 建 立 模 型 推 广